专题16直线与圆的综合性问题（学生版）

专题16直线与圆的综合性问题直线与圆、圆与圆是解析几何学中最基本内容,也是高考必考查的内容,主要考查直线与圆相切、相交、相离.本专题主要研究两个内容：一、直线与圆，针对直线与圆的相切、相交、相离问题，举例说明处理直线与圆问题的基本方法：直线与圆、圆与圆是解析几何学中最基本内容,也是高考必考查的内容,主要考查直线与圆相切、相交、相离.本专题主要研究两个内容：一、直线与圆，针对直线与圆的相切、相交、相离问题，举例说明处理直线与圆问题的基本方法：（1）要诀1.关注圆心到直线距离，利用半径、半弦、弦心距构成直角三角形,这样可以简化运算；（2）要诀2.关注直线过定点，知道直线过定点,可知直线大致位置，便于分析直线与圆位置关系；（3）要诀3.关注代数式几何意义，理解代数式几何意义，可以借助图形，达到以形助数目的。二、圆与圆，两圆的位置关系有5种，题型主要有以下4种类型：（1）判断两圆位置关系；（2）求公切线条数；（3）求公切线长；（4）研究公共弦。通过本专题学习，你能解决以上问题，并获得基本解题策略。——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：直线、圆的位置关系【典例剖析】例1.(2022·新高考2卷)设点A(-2,3)，B(0,a)，直线AB关于直线y=a的对称直线为l，已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1选题意图:选题意图:高考真题,在平时早已熟练掌握的直线与圆相交的问题中，又加入了直线关于直线对称问题,凸显高考命题的创新性，考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.思维引导：首先求出直线AB的斜率,然后根据B在直线y=a上,且直线l与直线AB关于直线y=a对称即可得到直线l【变式训练】练11(2022·江西省抚州市联考)已知圆C1:x2+y2-8x-8y+16=0与圆C2:x2+A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定练12(2021·新高考2卷·多选)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+yA.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切练13(2022·重庆市联考)已知点A(-2,3)，B(2,1)，圆C:x2+y2=r2(r>0)与线段AB(【规律方法】1.直线与圆的位置关系的判断直线l:Ax+By+C=0（A,B不全为0）与圆(x-（1）几何法：圆心(a,b)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d，d<r⇔直线与圆相交；d=r⇔直线与圆相切；（2）代数法：由&Ax+By+C=0&(x-aΔ>0⇔直线与圆相交；Δ=02.圆与圆的位置关系的判断（圆C1，圆C2的半径分别为d>rd=rr1d=r0≤探究2：圆中的弦长与切线问题【典例剖析】例2.(2022·新高考1卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3选题意图选题意图：高考真题,该题目考法新颖,开放有度.只需写出一个正确答案即可，观察图象，很容易确定x=-1是其中一条切线方程,另外当两圆相切时,直接把两圆的方程相减,也可以快速得出答案.着重考查考生的思维引导：方法1:设直线方程为x+by+c=0，利用点到直线的距离公式可求出b与【变式训练】练21(2022·广东省深圳市联考)写出一个与直线y=(2-3)x和y=(2+3)x都相切的圆(答案不唯一)练22(2022·天津卷)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m练23(2022·福建省百校联考)已知抛物线y2=2p1x(p1>0)与抛物线x2=2p2y(p2>0)【规律方法】1.有关弦长问题的两种求法设直线l被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则弦长公式：AB=2若斜率为k的直线与圆交于A(x则AB=1+k特别地，当k=0时，AB=x12.直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．3.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=(2)过圆x-a2+y-b2=(3)过圆x2+y2=4.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共探究3：与圆有关的最值问题【典例剖析】例3.(2021·新高考1卷·多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4, 0)，B(0, 2)A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，|PB| =32 D.当∠PBA最大时，选题意图选题意图：高考真题,此题涉及的考点与圆有关的最值问题是高考的热点问题.本题考查了点到直线的距离，及圆上的点与定点所成角最大或最小问题,需熟练掌握平面几何知识,数形结合才能正确解答.考查了直观想象、逻辑推理及数学抽象的核心素养.思维引导：根据点和圆的距离范围判断AB，根据直线与圆相切判断CD．【变式训练】练31(2022·广东省汕头市一模)点G在圆(x+2)2+y2=2上运动，直线x-y-3=0分别与x轴，y轴交于M，NA.10 B.232 C.92 练32(2022·浙江省名校联考)设直线l:(a+2)x-(a-1)y-3a-3=0(a∈R)与圆C:x2(r>0)交于A，B两点，当△ABC面积的最大值为2时，a的值为

．练33(2022·北京市一模)在平面直角坐标系中，直线y=kx+mk≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，AB=22，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点1,1的距离的最大值为(

)A.42 B.32 C.22 练34(2022·湖北省武汉市联考·多选)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现:椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上,称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:x(a>b>0)的离心率为22,F1，F2分别为椭圆的左、右焦点,点A在椭圆上,直线l:bx+ay-aA.直线l与蒙日圆相切

B.C的蒙日圆的方程为x2+y2=2a2

C.记点A到直线l的距离为d，则d-AF2的最小值为(4【规律方法】1.借助几何性质求最值：根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.=1\*GB3①最小圆问题，转化为求半径最小值问题；=2\*GB3②求圆上点到圆外点距离最值，转化为求圆外点到圆心的距离，加上半径即为最大值，减去半径即为最小值；=3\*GB3③形如u=y-bx-a=4\*GB3④形如t=ax+by的最值，转化为直线ax+by-t=0与圆有交点，或者用三角代换