专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题16抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（

）A． B． C． D．【解析】由可得，准线方程为，直线，联立，消去并整理得，，设直线与抛物线的两个交点为，，则，所以直线截抛物线所得弦长为.故选：B2．设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24【解析】由抛物线可知，由抛物线的定义可得，即，又在抛物线上，，.故选：D.3．过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．【解析】因为直线过点，所以直线的方程为.由得，.

设，则.因为，整理得，解得，所以抛物线的准线方程是.故选：D.4．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【解析】设，，由题意可知，则，两式相减，得，因为是弦AB的中点，所以，，所以，即，直线AB的斜率为2，所以弦AB所在直线的方程为，即，故选：C.5．已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点，若的面积为，则（

）A．1 B． C． D．2【解析】由得，．因为，，，故．由，则，抛物线经过点的切线方程是，将代入上式整理得，同理得到抛物线经过点的切线方程是．解方程组得，所以．所以到直线的距离，的面积，所以，故选：A6．已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【解析】由题意可得，设直线的方程为，由题意可得直线与抛物线必有2个交点，与抛物线相切，联立方程组，可得，所以，解得，故直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，则，所以.故选：C.

7．已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为，联立，得，方程的判别式，设点、，由韦达定理可得，，由已知和抛物线定义知，所以，得，即，故，解得.故选：A.8．已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（

）A．16 B．26 C．14 D．24【解析】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程．由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，设，其中，由，得．在点A处的切线方程为，化简得，①同理可得在点B处的切线为，②联立①②得，由M的横坐标为4，得，将AB的方程代入抛物线方程，可得，，得，，则．故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（

）A．时，的最小值为B．的取值范围是C．当点是弦的中点时，直线的斜率为D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有【解析】抛物线的焦点，准线方程为，对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，由消去x并整理得，则，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为，A正确；

对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，若，则直线的斜率，C错误；对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.故选：ABD10．已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线AB过焦点F时，最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D．【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，设直线的倾斜角为，画图为：

根据抛物线的定义：，从图可知，，，在中，，所以，同理，则，故当时，故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；对于B项，由A可知，，故B正确；对于C项，，当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；当直线过焦点时，，当直线不过焦点时，不是定值，举例当时，此时，，即，，，故D错误；故选：BC.11．过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（

）A．的准线方程是B．过的焦点的最短弦长为2C．直线过定点D．若直线过点，则的面积为24【解析】将代入中得，即，则抛物线为，所以的准线方程是，故A正确；抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为，联立，可得，设交点为，则，，所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；设，，直线为，联立，可得：，所以，，又，所以，因为，，即，所以，化简整理得，即，得，所以直线为，所以直线过定点，故C正确；若直线过点，则，即，，所以，，直线为，即，所以，点到直线的距离为，所以，故D不正确.故选：AC.12．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（

）A．抛物线的准线方程为B．若，则的面积为C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为D．若，则【解析】对于A中，抛物线可得其准线方程为，所以A错误；对于B中，设，因为，可得，解得，可得，所以，所以B正确；对于C中，抛物线，可得其焦点坐标为，当直线的斜率不存在时，可得，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，根据抛物线的定义，可得，解得，所以直线的方程为，不妨取，所以到直线的距离为，所以C错误；对于D中，设直线的方程为（不妨设）由，可得，则，因为，此时直线的方程为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．抛物线截直线所得弦长等于.【解析】设直线与抛物线的交点为、，由抛物线的方程可得焦点，可得直线过焦点，联立，消去，得，可得，则，由抛物线的性质可得．14．若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为．【解析】设过点的弦的端点为、，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，则，两式作差可得，因此，直线的斜率为.故答案为：.15．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点（在的左侧），又为坐标原点，点（异于）也为抛物线上一点，且，则实数的值为.【解析】由于直线斜率为且过焦点，则其方程为，将直线方程与抛物线方程联立，消去可得①设∴∴，∵

∴即，∴①式变为，

解得∴，

∴，

设

则有，解得或16．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于点，，，且，则.【解析】由题意知，则可设直线的方程为，由，可得①，所以，，所以.因为，，，所以在中，由余弦定理得，因此，得，代入①式得，得因此四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【解析】（1）由题意，直线的方程设为，联立直线与抛物线方程，可得，，可得，设,，,，，，因为，所以，可得，可得，所以直线的方程为：．即．（2）直线的方程设为，

令，可得，所以，所以,，,，因为，所以：,,，所以，，，，，化简可得，，，可得，，，．18．已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即19．已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率.【解析】（1）由线段的垂直平分线与直线交于点，可得，即点到点的距离等于点到直线的距离，又因为，的方程为，所以，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为.（2）解：根据题意，直线的斜率不为，设直线，且，联立方程组，可得，则，所以，所以，又点，点到直线的距离为，所以，又以线段为直径的圆恒过点，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以或，又直线不经过点，所以，所以，此时满足，所以，解得或，所以直线的斜率为或.

20．设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.(1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；(2)求的值.【解析】（1）设，，，，因为直线AB的斜率不为0，所以设AB直线的方程为，联立方程，消去y，得，所以，，所以，，所以直线的倾斜角为或.（2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为，（k存在，A不为原点），联立方程，消去x得，，，即，所以，即，所以直线PA的方程为，即，同理可得，直线PB方程为：，因为点在直线PA，PB上，所以，，所以直线AB的方程为：设直线PD的方程为，联立方程，消去x，得，得，，联立方程，消去x，得，由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部，所以.

21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.【解析】（1）抛物线的焦点为，当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，，解得，所以，抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，设点、，联立可得，由韦达定理可得，，又因为直线的方程为，

将代入直线的方程可得，可得，即点，所以，，因为，则，所以，直线的方程为，联立可得，则，故，则，由的中