专题9.1 直线的方程（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题9.1直线的方程题型一倾斜角与斜率题型二直线与线段的相交关系求斜率范围题型三求直线的方程题型四直线的定点问题题型五直线与坐标轴围成的三角形问题题型六直线平行或垂直题型七距离公式的应用题型八对称问题题型一 倾斜角与斜率例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据两点斜率公式求解即可.【详解】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135°，∴，解得．故选：D例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且，所以，又在上单调递增，故，所以.故选：C练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【答案】【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.【详解】如图：

当直线l的斜率，直线l的倾斜角的取值范围为：.故答案为：.练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】/【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则，由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，，因为，，所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，．故答案为：，．练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______【答案】【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.【详解】如图，，，，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，，所以有.故答案为：.例4．（2023秋·高三课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线过点.如图，

由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．【详解】直线过定点，且，由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，解得，故选：B．练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

【答案】【分析】根据题意结合图形求出直线的斜率，直线的斜率，即得直线斜率的取值范围．【详解】根据图形，∵直线的斜率是，直线的斜率是，∴过点的直线与线段有公共点时，直线的斜率的取值范围是．故答案为：．练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为_________．【答案】【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.【详解】如下图所示，

由题知，直线过点.当时，直线化为，一定与相交，所以，当时，，考虑直线的两个极限位置.①经过，即直线，则；②与直线平行，即直线，则，因为直线与的延长线相交，所以，解得，所以.故答案为：.练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是______.【答案】【分析】根据的几何意义即可求解.【详解】如图所示：因为,，所以，，，因为点是线段AB上的动点，所以.故答案为：练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则直线l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】根据给定条件，结合图形求出直线l的斜率取值范围，即可作答.【详解】令点，依题意，直线l与x轴的交点在线段上（不含端点B，C），如图，直线斜率，直线斜率，因此直线l的斜率或，所以直线l斜率的取值可能是或1.故选：BC题型三 求直线的方程例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点；(2)经过点，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是；(4)经过两点；(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；(6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.【详解】（1）由点斜式得，即.（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，由点斜式得，即.（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；所以直线方程的截距式为：，即.（4）由两点式得，即.（5）斜率，由点斜式得，即.（6）斜率为，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，所以所求直线方程为或，即或.例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为，，且这条直线经过点，求直线l的一般式方程．【答案】或.【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求解作答.【详解】直线l的倾斜角为，，当为锐角时，，直线l的斜率，由直线点斜式方程得：，即，当为钝角时，，直线l的斜率，由直线点斜式方程得：，即，所以直线l的一般式方程为或.练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，因此，其直线方程为，即.故选：A练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】化简直线方程分别为和，显然的斜率是的纵截距,的纵截距是的斜率，对于A中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；对于B中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然成立；对于C中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；对于D中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；故选：B.练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.【详解】点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得,即.故选：D练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．【答案】(1)，此时直线的方程为．(2)(3)【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程；（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．【详解】（1）依题意设，，，设直线的方程为，代入得，所以，则，当且仅当，即、时取等号，从而，当且仅当，即、时取等号，此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．（2）由（1）可得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，即．（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，令，解得，令，解得，所以，，则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.题型四 直线的定点问题例7．（2022·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果.【详解】把直线方程整理为，令，故，所以直线恒过定点为.故选：C.例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线【答案】B【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点，一定不经过原点，故A正确；当时直线即为，直线过二、三象限，当时直线即为，若，则，，直线过一、二、三象限，若，则，，直线过二、三、四象限，所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，故选：B练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线过定点问题分析运算.【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，所以所有直线都通过定点为.故选：A.练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.【详解】，，即，所以点的轨迹方程为，显然不论取何值，总有满足方程，即点的轨迹过定点，故选：A练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点________.【答案】【分析】将直线方程化为形式求解即可.【详解】直线方程（）可化为，（），∴由，解得，∴直线（）必过定点.故答案为：.练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数成等差数列，则直线必过定点______.【答案】【分析】由成等差数列，可得，即，故直线可得．【详解】成等差数列，，，直线必过点．故答案为：．练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．【答案】2【分析】根据两直线经过定点，即可根据和，利用斜率得垂直关系即可分情况求解.【详解】直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；当时，易求得，此时，综上可知，．故答案为：2题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线的方程为．(1)求直线过的定点P的坐标；(2)直线与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当面积最小时，求直线的方程；【答案】(1)；(2)【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解；（2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线的方程可化为，联立方程组解得，所以直线过的定点．（2）设直线，则，由（1）知，直线过的定点，可得，因为，所以，解得，当且仅当且即时，等号成立，所以面积为，此时对应的直线方程为，即．例10．（2023秋·高三课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．【答案】或【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设，过点，则，即；当直线不过原点时，设，过点，则，即；综上所述：直线方程为或.故答案为：或.练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.【答案】【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可.【详解】设直线的方程为，则解得则直线的方程为+=1，即.故答案为：练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．【答案】或【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出．【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点代入可得：，解得，所以直线的方程为：，综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为__________.【答案】或【分析】设直线方程为，则，解得的值，即得此直线方程.【详解】设直线方程为，则，解得或直线的方程为或故答案为：或.练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线，.(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.【答案】(1)定点A的坐标为(2)或【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线可化为，则，解得，直线l过定点，且定点A的坐标为；（2）直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即；当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为，代入点，得，解得，此时直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线与直线平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线的方程.【答案】【分析】由平行可设直线方程为，分和两种情况，并结合题意列等式即可【详解】直线与直线平行，则设其方程为，当时，直线方程为，故可得在轴上的截距和在轴上的截距都是为，不满足题意，当时，方程化为截距式为，因为直线在轴上的截距比在轴上的截距大，所以，解得，直线的方程为.题型六 直线平行或垂直例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案.【详解】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，求得,所以所求直线的斜截式方程为，故选：B.例12．（2023·高三课时练习）已知直线和，若，则___________．【答案】3【解析】由由有，即可求，然后验证、是否共线.【详解】∵，有，∴，解得或，当时，，，即、为同一条直线；当时，，，即；∴，故答案为：3练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可得出单.【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以，所以.故选：D.练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为，点与点的中点为，所以直线l的方程为，即.故选：B练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线和，当________时，；当________时，；当________时，与相交．【答案】/0.5且【分析】利用直线平行、垂直、相交的性质求解.【详解】由题知，，，解得；，，解得；与相交，，解得且.故答案为：；；且练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为__________和__________．【答案】【分析】化简两直线为斜截式方程，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由直线，整理得直线，整理得，因为两直线平行，可得，又由在轴上的截距为，即，可得，所以.故答案为：；.练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线，若且，则的值为（

）A． B．5 C． D．7【答案】B【分析】利用直线一般式下平行与垂直的性质求解即可.【详解】因为，所以由，得，解得，由，得，解得，所以．故选：B．题型七 距离公式的应用例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线过点.求分别满足下列条件的直线方程.(1)若直线与直线平行；(2)若点到直线的距离为1.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线平行设出直线方程，代入点即可求出结果；（2）分斜率存在和斜率不存在两种情况，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可求出直线方程.【详解】（1）设直线方程为将代入得，所求直线方程是（2）若直线的斜率不存在，则过的直线为，到点的距离为1，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为.由点到直线的距离为1，可得.解得，所以直线方程为，即.综上得所求的直线方程为或.例14．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．【答案】或【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；若斜率存在时，设过点的直线，即．根据题意，可得，解得或，当时，直线方程为，当时，直线方程为综上可得，直线方程为或．故答案为：或练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.【详解】依题意，将直线变为，又，所以两平行线间的距离为.故选：A.练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，根据条件列出关于的方程，求解即可.【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，原点到这条直线的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，∵原点到这条直线的距离为1，∴，解得，∴直线的方程是，即，综上，直线的方程是和.故选：A.练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为________________.【答案】或【分析】利用点在线上及点线距离公式得到关于A的坐标的方程组，解之即可.【详解】依题意，设点A的坐标为，则有，解得或.故答案为：或.练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．【答案】或【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；若斜率存在时，设过点的直线，即．根据题意，可得，解得或，当时，直线方程为，当时，直线方程为综上可得，直线方程为或．故答案为：或练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.【答案】或，对应直线PM的方程为或.【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程.【详解】设，由题意，解得或，所以或，当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即；当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即.题型八 对称问题例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【答案】D【分析】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.【详解】点A，B关于直线对称，则，即，①且AB中点在已知直线上，代入得，②联立①②组成的方程组，解得，故选：D.例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线的方程为.（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________；（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________.【答案】.【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程.【详解】因为直线和直线关于点对称，在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上，将点代入直线可得，所以直线的方程为；设直线与直线的交点为，所以，解得，则，在直线上取点，设关于直线对称的点为，则①因为与的中点坐标为，所以②由①②可得，所以因为直线和直线关于直线对称，所以直线经过点和点，所以直线的两点式方程为，整理得直线的一般式方程为.故答案为:;.练习36．（2023秋·上海奉贤·高三校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边