专题4.6 构造函数解决抽象不等式及比较大小（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题4.6构造函数解决抽象不等式及比较大小题型一构造函数型可导函数题型二构造函数型可导函数题型三构造函数型可导函数题型四导函数带常数型题型五比较大小题型一 构造函数型可导函数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可.【详解】因为，所以，构造函数，当时，，所以函数在区间内单调递增，且，又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，所以在区间内单调递减，且．不等式整理可得：，即，当时，，则，解得；当时，，则，解得，又，所以．综上，不等式的解集为．故选：A．例2．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】设，并判断出为偶函数，利用导数求出其单调性，将所求的式子转化为，从而得到，解出的范围.【详解】由，，设所以，即为上的偶函数当时，，因为，所以则在区间上单调递增所以即即等价于，即解得．故选：A.练习1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：B.练习2．（2023·高二单元测试）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反练习即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，若，则，故A错误，若，则，故B错误；对于CD，因为，在上的导函数存在，且，令，则，所以在上单调递减，因为，即，所以，由得，则，故C正确；由得，则，故D错误.故选：C.练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知为函数的导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到函数的单调性，再转化为解不等式即得解.【详解】令，所以，所以为上的增函数，由，所以，则不等式等价于，则不等式的解为。故选：C.练习4．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，由已知可推得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减.不等式变形可得，.根据二倍角的余弦公式，可得出.然后根据的奇偶性和单调性，可推得，平方求解不等式，即可得出答案.【详解】由已知可推得，.令，则，所以，所以，为偶函数.又，因为当时，，所以，，所以在上单调递增.又为偶函数，所以在上单调递减.由可得，.因为，所以，.因为在上单调递减，为偶函数，所以有，平方整理可得，，解得.故选：C.【点睛】关键点睛：构造函数，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性.练习5．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________．【答案】【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．【详解】，，设，则，则，为奇函数，又当时，，在上是减函数，从而在上是减函数，又,等价于，即，，解得,故的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.题型二 构造函数型可导函数例3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】或【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解之即得答案.【详解】令，则，由当时，，所以当时，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，即不等式等价为，所以，所以或.故答案为：或.例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.【详解】设，则，因为恒成立，所以，所以在单调递增，则，，，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，即．故选：B练习6．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案．【详解】设，，由题意得时，，单调递增，因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：C．练习7．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）设定义在上的可导函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用导数说明函数的单调性，不等式等价于，即，结合单调性即可得解.【详解】因为，所以令，则，即在定义域上单调递减，又，所以，因为，所以不等式等价于，即，所以，即不等式的解集为.故选：D练习8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________．【答案】【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集.【详解】解：构造函数，其中为奇函数且，则，所以，函数为奇函数，且，，当时，，所以，函数在上是单调递增函数，因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数，故，当时，，可得；当时，，可得．综上所述，不等式的解集为．故答案为：练习9．（2023春·天津南开·高二天津二十五中校考阶段练习）设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是________.【答案】【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.【详解】设，则，因为当时，，所以当时，，所以函数在上单调递增，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，即是上的奇函数，故函数在上单调递增，，又，所以，所以，不等式等价于，解得或，不等式的解集是解集为.故答案为：.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【分析】令，由及可得，，从而得关于对称，再令，则原不等式等价于，利用导数得在上单调递增，再由得关于对称，从而得在上单调递增且有，从而得答案.【详解】解：令，因为，所以，所以（为常数），又因为，所以，所以＝0，即，则函数关于对称，令，则原不等式等价于，当时，因为，则，此时单调递增．因为，所以函数关于对称，则函数在时单调递增，又因为，则，，所以的解集为，即原不等式的解集为．故答案为：．题型三 构造函数型可导函数例5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．【详解】解：依题意令，则，所以在上单调递减，对于不等式，显然，则，即，又，所以，所以，即，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：B．例6．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据得到的单调性，再变形不等式由单调性求解即可.【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，设，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得，所以不等式的解集为，故选：B练习11．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.故选：B.练习12．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C.练习13．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论【详解】由题意，，由，得．设函数，则，∴在上单调递增，从而．即，即．故选：A.【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．练习14．（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可.【详解】因为，所以函数在区间上单调递减，不等式可化为，即，解得.故选：A练习15．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，由此可知，即可判断出A、B选项；构造和可判断出C、D选项.【详解】由题意：，设，则，由得，因为，所以，又、是定义域为的恒大于0的可导函数，故，B错误，，A错误；，因为，不知道正负，所以C不一定成立；，即，D正确.故选：D.题型四 导函数带常数型例7．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则不等式（2）的解集为______.【答案】【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解.【详解】当时，由，得，即．令，则在，，上也为偶函数，且当时，总成立，在上是增函数．不等式（2）可化为（2），则，又，，，解得，，．故答案为：【点睛】本题考查了构造函数，判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.例8．（2022秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．【答案】【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．【详解】的解集为的解集，令，则，因为，所以当时有，所以，即当时，单调递增，又因为，所以，所以的解集为的解集，由单调性可知，又因为为偶函数，所以解集为练习16．（2022春·安徽滁州·高二校考期末）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.【详解】因为满足，，令，则，所以在R上是增函数，又，则，不等式可化为，即，所以，所不等式的解集是，故选：C练习17．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.【详解】不等式转化为，令，则，在上单调递减，，，的解集为，即不等式的解集为.故答案为：练习18．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）设函数是定义在上的可导函数，且，，若关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知等式变形为，即，令，可知，结合可得，由此得到解析式，将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数求得单调性和最值，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】，由得：，则，令，则，，又，，则；，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，当时，恒成立，大致图象如下图所示，则当时，与有两个不同交点，即当时，方程有两个不等实数根.故选：D.练习19．（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】设，，即，，在上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为.故选：D【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.练习20．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的结构特征构造函数，并判断其单调性，结合可得的解集，即可求得答案.【详解】设，则,∵，∴,而,故,∴在R上单调递增，又，故，∴的解集为，即不等式的解集为，故选：B【点睛】方法点睛：像此类给出一个关于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.题型五 比较大小例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导可得在上单调递增，即可得，从而得出大小，构造函数，求导可得在上单调递增，即可得，从而得出大小，即可得结论.【详解】解：设，，所以，，所以单调递增，则，所以，则；，，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，故，故.故选：C.例10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，求得，得到函数的单调性，得到，，求得且，再令，求得，得到的单调性，求得，得出，再令，求得，得出单调递增，结合，求得.【详解】令函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，，可得，，令，可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，可得，所以，再令，可得，所以单调递增，可得，即，可得，即，综上可得，.故选：B.练习21．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数研究其单调性来比较，构造函数研究其单调性来比较即可.【详解】由，设，，∴，当时，∴在上单调递减，∴，即所以；由设，则，所以，当时，，所以，所以在单调递减，又，所以，因为，所以，即，所以，故选：C.练习22．（2023·吉林·统考模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，求得，得到函数的单调性与最大值，再由当且时，设且，求得，即可求解.【详解】解：由，令函数，可得，当，可得，单调递增；当，可得，单调递减，所以当，函数取得极大值，即为最大值，函数的图形，如图所示，对于函数，当且时，.