主干内容考前预测之解析几何

主干内容考前预测之解析几何预测一：直线与圆的几何性质例题1：过点作圆的两条切线，切点分别为，则=.理由：直线与圆的几何性质的综合问题是一个高频考点，可以很好的考查灵活运用数形结合思想实现问题的有效化归.本题可以全面直线与圆的几何性质、几何坐标化的思想及平面直角坐标的三种形式的转化.解题要点：法一：代数法；法二：几何法利用投影；法三：坐标法联立直线和圆的方程求出点坐标；法四：解析法利用三角函数定义求出点的坐标；法五：参数法设点参数坐标列方程求出点坐标；法六：转化法把直角坐标系的放在所在直线.变式：已知直线和圆相交于两点，当△面积的最大值时，=．理由：考查过定点直线和圆的几何性质问题，可以较好的考查数形结合和转化与化归思想.解题要点：设的中点为，由已知得直线过定点，则当,即时三角形的面积最大，所以.预测二：圆锥曲线定义的应用例题2：已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则

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理由：解析几何的小题侧重考查圆锥曲线的定义和几何性质出发，本题主要从定义和对称的性质进行转化.解题要点：变式：抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为.理由：，本题主要考查抛物线定义、余弦定理和利用基本不等式求最值，充分考查了解析几何的几何属性，数形结合、转化化归的思想.解题要点：设，则，则，当且仅当时，等号成立.预测三：圆锥曲线的性质综合例题3：设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，其中为坐标原点，且，则该双曲线的渐近线方程为理由：圆锥曲线的定义和性质，特别是离心率是高考的高频考点，本题几何向量的几何意义，充分考查了解析几何和向量的几何特征.解题要点：由得，，则，由双曲线的定义可得，在中，，则渐近线方程为.变式：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．B．C．D．理由：高考中经常考查圆锥曲线的二级结论，如双曲线焦点到渐近线的距离、中点弦中的点差法等，本题考查圆锥曲线的通径性质、离心率的范围和平面几何紧密结合.解题要点：由轴，可知为等腰三角形，由是锐角三角形，为锐角，，,可得，即，解得，故选B.预测四：圆与圆锥曲线的综合例题4：已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为，，则双曲线的焦点到渐近线距离为（）A．B．C．D．理由：两种圆锥曲线知识的交汇是高考常见的考查方式，本题涉及双曲线的概念、圆的切线问题，平面几何知识.解题要点：由，在中，，所以，故选C.变式：已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△SKIPIF1<0的面积为.理由：本题涉及抛物线的定义和性质、双曲线的基本概念和平面几何知识，需要从研究三角形的性质入手，较好的考查几何特性.解题要点：根据题意，由于抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，为抛物线的准线与轴的交点为点在抛物线上且，则根据抛物线的定义可知△的面积为.预测五：圆的标准方程，直线与圆的位置关系例5.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，则是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请写出两个不同的值及对应的直线的方程.理由：圆的标准方程，直线与圆的位置关系是高频考点.通常相交都从圆心到直线的距离与半径的大小关系入手，能简化运算.区别于直线与圆锥曲线代入联立方程的方法.此题线段比的运算问题，既需要两点间距离公式的计算，又可能用几何知识转化为坐标运算，问题入手较宽.直线的特殊位置往往对判断定值，猜测定值有帮助.解题要点：法一：特殊值法猜定值后证明（如平行于轴）；法二：坐标化计算定值.示范性解答：（Ⅰ）由题意，设，则,，圆的方程式.（Ⅱ）设，，，与点位置无关，则，，是定值2；变式：已知圆过椭圆的右焦点，且圆心在的正半轴上，直线被圆截得的弦长为.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）从圆外一点向圆引一条切线，切点为为原点，且有，求使最小时点的坐标．解题要点：（1）切线长用勾股定理转化；（2）圆的弦长问题作圆心到弦的距离；（3）两动点的距离最值转化为一动点问题.示范性解答：（Ⅰ）设圆心，由勾股定理：，解得，圆C的标准方程：；（Ⅱ）由，,则,设,则，解得，点的轨迹方程是(如图是轨迹图).使最小则最小，所以.预测六：圆与抛物线两个背景曲线的综合问题例6.已知抛物线：过点，其焦点为，且.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设为轴上异于原点的任意一点，过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆：相切，切点分别为，求证：直线过定点.理由：抛物线与圆同时出现的曲线背景是高频考点.可以考察的素材较多，命题角度丰富.涉及抛物线焦点、准线的定义.圆心与焦点的巧妙设计，需要敏锐的观察力.这类问题即能考查解析几何解析法的运算功底，又能让几何性质学到位的同学有优势.解题要点：（1）抛物线焦半径性质；（2）抛物线与圆的切线方程；（3）点在曲线上思想；（4）含参数直线方程找定点，对称性思想，分离变量的技巧.示范性解答：（Ⅰ）抛物线的准线方程为：，，又，即，=2,抛物线的方程为.（Ⅱ）设点，由已知切线不为轴，设，联立，消去，可得，，即代入，，，设切点，则由几何性质关于直线对称，则，，即.,的方程为，即，直线过定点恒过定点.变式：已知点是圆上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线经过F2，与抛物线y2=4x交于两点，与交于B1，B2两点.当以B1B2为直径的圆经过F1时，求.理由：同属于抛物线与圆同时出现的曲线背景是高频考点.焦点弦利用定义可以简化运算.示范性解答：（Ⅰ）圆的半径为，，，点M的轨迹是以为焦点的椭圆,椭圆方程为:（Ⅱ）（1）当直线与x轴垂直时，B1(1，),B2(1，-),又F1(-1,0),，以B1B2为直径的圆不经过F1.不满足条件.（2）当直线不与轴垂直时，设，由，设,则，由，即,解得，由，得,由直线与抛物线有两个交点，所以，设，则，所以.预测七：圆锥曲线的定义、定点(值)、最值问题例题7：已知定点，定直线，是上任意一点，过作，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线，将曲线沿轴向左平移个单位，得到曲线.（Ⅰ）若点的坐标为，直线与曲线交于两点，证明：直线的斜率互为相反数；（Ⅱ）过原点互相垂直的两条直线与曲线分别相交于和，求的最小值.理由：圆锥曲线定义是高考考查重点之一，另高考考查注重算理,避免繁难的计算,侧重平面几何性质的渗透,本题的设计基于以上两点.解题要点：（Ⅰ）由抛物线定义求得抛物线方程，再通过抛物线方程与直线方程联立得到的一元二次方程，利用根与系数关系、基本不等式等知识，经过必要的计算得和的最小值为.示范性解答：解：（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点，所以，由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为设则由得，所以即直线的斜率互为相反数；（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线的方程为，所以曲线的方程为，设直线的方程为，则直线的方程为，设，由，得，所以同理可得，所以，等号当且仅当即时成立.所以的最小值为.变式：如图，已知圆及点,在圆任取一点,连并延长交圆于点,连,过作∥,交于.（Ⅰ）求点的轨迹的方程;（Ⅱ）过点作直线交轨迹于两点,求.理由：求轨迹方程是圆锥曲线高考命题的基础题，求定值是考查学生基本计算能力的题型..解题要点:通过椭圆定义得到椭圆方程.先特值探路,再严格推理计算，得出结论=.示范性解答：（Ⅰ）从几何图形得到,即，所以椭圆方程.（Ⅱ）当过点的直线与轴垂直时,==,此时=.设直线方程为，代入得，设,则，;;===.圆锥曲线预测八：圆锥曲线中的探究问题例题8：已知的离心率为，且经过点．圆.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．理由：探究能力是高考的目标之一，这题可以考查学生探究问题的能力和意识.解题要点：（Ⅰ）由基本量计算求得椭圆的方程为，再通过计算判断与不垂直，所以点不是线段的中点.示范性解答：（Ⅰ）∵椭圆过点，∴.∵，∴．∴椭圆的方程为.（Ⅱ）由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．从而,化简得．①，.∴点的坐标为.由于，结合①式知，∴.∴与不垂直.∴点不是线段的中点.变式：如在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限，过的直线与圆O：相切于点M..（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是直线上一点，满足，点是否在一条定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，说明理由.理由：椭圆是理科考查重点之一，要求有一定的计算能力和分类整合能力.解题要点:通过椭圆基本量计算，求得椭圆方程为；分类讨论：当PM⊥x轴时：当PM不垂直于x轴时，求得求点的纵坐标.OPMQFxy示范性解答：（Ⅰ）∴c=1，a=2，∴，OPMQFxy（Ⅱ）设点的纵坐标为，=1\*GB3①当⊥x轴时，P，Q，由解得，=2\*GB3②当不垂直于x轴时，设，方程为，即，∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由得，∴==12，∴，综上所述，点在定直线上.最后阶段复习建议：1.解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.因此，要注意数学思想方法的复习.2.近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程；②直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；③与曲线有关的最（极）值问题；④与曲线有