随机过程-平稳过程

平稳过程的谱分解平稳过程相关函数的谱分解平稳过程的谱分解随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理5.5.1

设X={Xt,

-∞<t<+

∞}是均方连续的平稳过程,则其相关函数可以表示为随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林所以f(τ)是某个随机变量W的特征函数,即存在分布函数G(ω),使随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林为平稳过程X相关函数的谱展开式或谱分解式.称函数FX(ω)为平稳过程X的谱函数.注意：如果平稳过程的相关函数绝对可积，则谱函数FX(ω)可微，且有FꞋX(ω)=SX(ω)，因此也有：随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳时间序列,则其相关函数可以表示为对平稳时间序列有相类似的结果.称FX(ω)为平稳时间序列X的谱函数.谱密度SX(ω)和谱函数的有关系随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例5.5.1设平稳过程X={Xt,-∞<t<+∞}的相关函数为试计算X的谱密度和谱函数.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例(补)设X,Y是两个相互独立的实随机变量,EX=0,DX=1Y的分布函数为F(x),令试求Z={Zt,-∞<t<+∞}的谱函数.解 易知Z是平稳过程.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解对确定信号x(t),满足Dirichlet条件且绝对可积,则x(t)存在频谱:说明

x(t)可分解为一些复谐波的无限叠加而在很一般的条件下平稳过程也可以表示为无穷多个复谐波的叠加.不失一般性,本节总假定

mX=0随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理5.5.2

设X={Xt,-∞<t<+∞}是零均值均方连续的复平稳过程,其谱函数为FX(ω),则Xt以表示为称之为X的随机谱函数.且具有性质:随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理的实际意义即平稳过程可看成是振幅为角频率为的谐波分量的的有限叠加和的均方极限.X是谐波分量无限叠加和.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理5.5.3

设X={Xt,-∞<t<+∞}是零均值均方连续的实平稳过程,其谱函数为FX(ω),则X可以表示为称为实平稳过程X的随机谱函数.且具有性质:随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理5.5.4

设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的平稳时间序列,其谱函数为FX(ω),则Xn可以表示为称为平稳时间序列X的随机谱函数.且具有性质:随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理5.5.5

设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的实平稳时间序列,其谱函数为FX(ω),则X可以表示为称为实平稳时间序列X的随机谱函数.且具有性质:随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例1

设S(t)是周期为T的可积函数.令Xt=S(t+Θ)t∈(-∞,+

∞),其中Θ为随机变量且服从U[0,T].称X={Xt,-∞<t<+∞}为随机相位周期过程,试讨论X的平稳性.平稳过程习题讲解随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林所以X是平稳过程.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例2

对复随机过程Z

t=Xt

+jYt若mZ(t)是复常数，RZ(t,t+τ)=RZ(τ),则称

Z={Zt,-∞<t<+∞}为复平稳过程.设Ak和ωk分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),试分析随机变量序列{Ak,k=1,2,…,n}满足何条件时，

Z={Zt,-∞<t<+∞}是一个复平稳过程.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例3

设随机过程X={Xt,-∞<t<+∞}由以下三个样本函数组成，且等概率发生试计算X的均值函数和相关函数，并判断X的平稳性.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例4

设X={Xt,-∞<t<+∞}Y={Yt,-∞<t<+∞}是零均值的实平稳过程，且有证明Z={Zt,-∞<t<+∞}是平稳过程.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例5

设RX(τ)是实平稳过程X={Xt,-∞<t<+∞}的相关函数.证明随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例6

设CX(τ)是平稳过程X={Xt,-∞<t<+∞}的协方差函数，证明：若CX(τ)绝对可积，则X的均值具有各态历经性.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例7

设X={Xt=Y,-∞<t<+∞}是一个随机过程，Y是一个非退化的方差存在的随机变量，讨论X的各态历经性.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例8

设S(t)是周期为T的可积函数.令Xt=S(t+Θ)t∈(-∞,+

∞),其中Θ为随机变量且服从U[0,T].称X={Xt,-∞<t<+∞}为随机相位周期过程,试讨论X的各态历经性.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例9

设平稳过程X={Xt=Y,-∞<t<+∞}的谱密度为

SX(ω)，对常数a>0,令验证Y={Yt,-∞<t<+∞}是平稳过程，并计算其谱密度.随机过程——西安电子科技大学数学系