2022年北京市石景山区高考数学一模试卷（学生版+解析版）

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）设全集U={x€R|x'l},集合4={x€R**23},则Cu4=（）

A.[1,V3）B.[1,V3]C.（y，+8）D.西，+8）

2.（4分）复数z满足（l+i）・z=l-i,则z=（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.（4分）从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下（）

A.2B.AC.3D.3

5254

4.（4分）设/是直线，a,0是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,/〃0,贝ija〃0B.若/〃a,/±p,则a_L0

C.若l±a,则D.若l//a,则

5.（4分）已知圆C：（x-3）2+/=9,过点（1,2）的直线/与圆C交于A,则弦AB长度

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

6.（4分）函数f（乂）=——-——的图象大致为（）

1

A.

y

7.（4分）在等差数列｛的｝中，03+46+49=36,设数列｛“"｝的前"项和为S",则Su=（）

A.12B.99C.132D.198

8.（4分）在△ABC中，sin2A=sinBsinC,若/女/-，则/B的大小是（）

3

A.—B.—C.—D.空

6433

9.（4分）“〃?<4”是“2?-〃a+1>0在（1,+8）上恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（4分）设A,8为抛物线C：y=/上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点凡

分别以A,两条切线交于点P.则下列结论：

①点P一定在抛物线C的准线上；

③△孙鸟的面积有最大值无最小值.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）函数/（x）=lg（x+l）的定义域是.

x+2

12.（5分）在（x3j）7的展开式中，/的系数是.（用数字填写答案）

2

13.（5分）正项数列｛〃”｝满足anaH+2=an+1,neN*.若“5=9,“2a4=1,则ai的值为.

2_

14.（5分）设点Fi,尸2分别为椭圆C：\-+y2=i的左，右焦点，若使得pF；

成立的点恰好是4个.

x

15.（5分）已知非空集合A,B满足：AUB=R,AAB=0f（x）=J'对于下列

3x-2,x€B

结论：

①不存在非空集合对（A,B）,使得/（x）为偶函数；

②存在唯一非空集合对（A,B）,使得/（x）为奇函数；

③存在无穷多非空集合对（A,B）,使得方程/（x）=0无解.

其中正确结论的序号为.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步程或证明过程。

16.（13分）已知函数/（x）=〃?sin（3x+-^-）（?«>0,3>0）只能同时满足下列三个条件

中的两个：

①函数f（x）的最大值为2；

②函数f（x）的图象可由产&/⑵-2L）；

4

③函数f（X）图象的相邻两条对称轴之间的距离为TT.

（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出一（X）；

（2）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c—,q=/（A）,求△ABC面

3

积的最大值.

17.（13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过

分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间（单位：小时）:

高一年77.588.59

级

高二年78910111213

级

高三年66.578.51113.51718.5

级

（1）试估计该校高三年级的学生人数；

（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，

求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：

（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8,9,

10（单位：小时）羡，表格中的数据平均数记为羡，试判断；-与羡（结论不要求证明）

X]xox0x1

18.（14分）如图1,在平面四边形PZ5C8中，PD//BC,PA^AB=BC=\,工，使得

2

平面SA8_L平面A8CZ）,如图2所示.

（1）设平面SCC与平面SAB的交线为/,求证：BCL；

（2）在线段SC上是否存在一点。（点。不与端点重合），使得二面角Q-BO-C的余

弦值为近,请说明理由.

6

⑴若m=-1,

①求曲线f（x）在点（0,f（0））处的切线方程;

②当（1,+8）时，求证：f（x）<?.

(2)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点

22_

20.(15分)已知椭圆C：+^—=1Ca>b>0)的短轴长等于2百」.

a2b22

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F作斜率为k的直线I,与椭圆C交于A,B两点，判断一叽是否为定

AB

值

21.(15分)若数列｛〃”｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称｛“”｝为“等比源

数列”.

(1)已知数列｛丽｝为4,3,1,2,数列｛加｝为1,2,6,24,分别判断｛板｝,｛加｝是否

为“等比源数列”，并说明理由；

(2)已知数列｛Cn｝的通项公式为Cn=2〃r+1,判断｛Cn｝是否为“等比源数列”，并说明理

由；

(3)已知数列｛办｝为单调递增的等差数列，且diWO,dneZ(n6N*),求证｛办｝为“等比

源数列”.

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)设全集U={x€R|x》l},集合A={xCR*|?》3},则CuA=()

A.[1,V3)B.[1,V3]C.(我，+8)D.IA/3.+8)

【解答】解：全集U={xCR|x》l},

集合A={xeR*|/，6}={x|x>V^},

贝底乂={却★》<企}=口，V3).

故选：A.

2.(4分)复数z满足(l+i”z=l-i,贝ljz=()

A.-iB.iC.-1D.1

【解答】解：・・•(l+i)・z=l-i,

5

•_2-i=(1-i)=.：

"，z-l+i(1+i)(1-i)

故选：A.

3.(4分)从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下()

A.2B.Ac.3D.3

5254

【解答】解：设事件4•为第i次抽到偶数，i=l,2,

-

则P(43)=W'、'鱼=2,P(/liT)=Ax—=-i->

8X4325810

...在第1次抽到偶数的条件下，第7次抽到奇数的概率为：

_2

5

故选：D.

4.(4分)设/是直线，a,0是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.若/〃a,/〃0,贝iJa〃BB.若/〃a,/±p,则

C.若。_1_。，/1a,则D.若&，0,l//a,则LL。

【解答】解：设/是直线，a,0是两个不同的平面，

对于A,若/〃a,则a与。相交或平行；

对于8,若/〃a,则由面面垂直的判定定理得aJ_0；

对于C,若a，0,贝心与0平行或/u0；

对于。，若a_L0,则/与0相交，故。正确.

故选：B.

5.（4分）已知圆C：（》-3）2+/=9,过点（1,2）的直线/与圆C交于A,则弦AB长度

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设点（1，2）为。点，

2

•.•圆C：（AT-4）+/=3,

二圆心C（3,0）,

当直线OC垂直于直线/时，弦A8最短，

7lDCl=V（7-l）2+（2-2）2=4V2

：.\AB\min=27r7-|DCI2=2V6-8=2-

故选：B.

6.（4分）函数f（x）=——-——的图象大致为（)

Ix|-3X

【解答】解：函数f(x)=~~--的定义域为“仇r0｝,

Ix|-3X

当x>3时，f(x)=(2)％当x<3时，f(x)=-(A)x.

33

则/(x)在(8,+8)单调递减，0)单调递增，

故选：D.

7.(4分)在等差数列｛。"｝中，G+。6+。9=36,设数列｛“”｝的前〃项和为S”，则Sn=()

A.12B.99C.132D.198

【解答】解：,."3+〃6+。2=36,

・・・3。6=36,解得44=12,

11(ai+aii)

・•・s一二----------L!—=11制=132.

>112

故选：C.

8.(4分)在△ABC中，sin2A=sinBsinC,若/女/匚则/B的大小是()

3

A.—B.—C.—D.空

6433

【解答】解：：在△ABC中，sin2A=sinBsinC/A>^，

3

；.cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC="cosBcosC+sin5A=-cosBcosC+——

42

cosBcosC——,

2

*.*sinBsinC=—,

4

cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=8,即/8-/C=0,

：.ZB^ZC=—jr,

3

故选：C.

9.(4分)V4”是“2?-,〃x+l>0在xe(1,+8)上恒成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：“#一,依+7>0在(1,+8)上恒成立”，

2

则(5,

X

2

又g(x)=2x+6=2x+工在xe⑸

XX

则g(x)>3,

即znW3,

又“机<4"是“mW3”的必要不充分条件，

即机<4”是“4/-〃tv+l>7在xe(1,+8)上恒成立”的必要不充分条件，

故选：B.

10.(4分)设A,B为抛物线C：)，=/上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F,

分别以A,两条切线交于点P.则下列结论:

①点P一定在抛物线C的准线上；

②尸PJ_A&

③△以B的面积有最大值无最小值.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由抛物线知焦点尸（0,1）,可设直线的方程为），=履+工3,yi）,B（X2,

74

）5）,

联立直线与抛物线方程得X1-kx-JL=01+工6=攵，XiX2=-旦，

54

yi+y6=F+Ly\y2=^-f

'7.16

切线AP的方程为y-yi=2x4（x-xi）,化简得y+yi=6九IR,

同理切线BP的方程为y+”=5g,

联立解得p（K,-1）,故①正确；

24

kpF-.-----=-—PF*k—-1,故②正确；

区k

2

当左=0时，5△阳B有最小值，无最大值.

故选：C.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）函数f（x）=­（x；l）的定义域是（-1,+8）.

【解答】解：根据题意，由［x+l>0,得X>-1,

lx+3卢0

所以函数/（X）=1g8）的定义域为（-1,

故答案为：（-2,+8）,

12.（5分）在（x34）7的展开式中，/的系数是35.（用数字填写答案）

【解答】解：63」）4的展开式中的通项公式为T，+1=C：（乂6）7-r（工）r=C：x2Ir，

令21-4r=3,

解得r=4,

即/的系数是c；=35,

故答案为：35.

13.(5分)正项数列｛“"｝满足.若45=9,4204=1,则42的值为1

3

【解答】解：•.7〉0,_2,

11anan+2-an+6

aaaa

•.•---n-+--2-~----n-+-l---••二3一二一2

an-Mana3al

，｛a〃｝是等比数列，设｛〃〃｝公比为q,且q>2,

4_(1

a8q-9n丁

由〃5=9,。5〃4=1得，＜3

a5qa1q=2(q=3

a2=a7clVX5"

故答案为：1.

3

2门

14.(5分)设点Fi,尸2分别为椭圆C：^-+y2=l的左，右焦点，若使得pF；,PF；="，

成立的点恰好是4个0(答案不唯--)

【解答】解：当，〃=0时，PF；.pF；=S则PF；J_PF；

由椭圆方程可知，J=4,/=],°2=2,

因为c>b,所以以F1F2为直径的圆与椭圆有7个交点，

使得画.画=3成立的点恰好有4个.

故答案为：0(答案不唯一)

15.(5分)已知非空集合A,8满足：AU3=R,ACB=0f(x)=(对于下列

3x-2,x€B

结论:

①不存在非空集合对(A，B),使得/(x)为偶函数；

②存在唯一非空集合对(A,B),使得/(x)为奇函数：

③存在无穷多非空集合对(A，B),使得方程f(x)=0无解.

其中正确结论的序号为①③.

【解答】解：①若x€A,-.YGA3,f(-x)=-x3,f(x)壬/.(-x),

若x&B,-x&B,/(-x)--3x-2,

若x&A,-xEB3,/(-x)--2x-2,f(x)¥于(-x),

若xEB,-xEA,/(-x)--x1,f(x)刊(-x),

综上不存在非空集合对(A,B)；

②若小=3工-2,贝!]x=6或x=-2,

当8={1},A=CR8时，/(1)=6X1-2满足当x=4时/=1,所以/Q)可统一为了

(x)—%3,此时/(-X)---f(X)为奇函数，

当8={-2},A=CRB时，/(-3)=3X(-2)-8=-8满足当x=-2时-8,

所以/(x)可统一为了(X)=?,此时/(-x)=-x4=-f(x)为奇函数，

所以存在非空集合对(A,B),且不唯一；

③1?=0解的x=3,3x-2=4解的乂上，

X3

当非空集合对(A,B)满足6cA且2CB，

3

又因为AUB=R,AAB=0,B),

故答案为：①③.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步程或证明过程。

16.(13分)已知函数/(x)=msin(a)x+-2L)(/H>0,U)>0)只能同时满足下列三个条件

6

中的两个：

①函数/(x)的最大值为2；

②函数f(x)的图象可由y=J^sin(2x-

4

③函数/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为7T.

(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出/(X)；

(2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c—,〃=/(A),求△ABC面

3

积的最大值.

【解答】解：(1)对于函数/(x)="?sin(u)x+-2L.)(m>0,

6

②函数f(x)的图象可由y=Jgsin(2X-2L；③函数/G)图象的相邻两条对称轴之

4

间的距离为m

故a)=4,

所以/(x)sin(2x-+^-)>

(2)在aABC中，内角A,B,h,c,A=—,

3

所以〃=/(卫_)=近，

32

利用余弦定理：/=_2hccosA=h6+c2-bc》bc,

整理得bc<1，

故SAABC="fbcsinA<yXyX'=J.

(1)同时选①函数/(x)的最大值为2;②函数/(x)的图象可由工)的图象

4

平移得到加出现矛盾；

(1)同时选①函数/(X)的最大值为6；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距

离为it,

整理得"7=2,0)=1,

故函数f(x)=7sin(x+2L)；

(2)在△ABC中，内角A,B,b,c,,

3

TT

a=f(A)=2sin—=2;

利用余弦定理：a2=Z?2+c2-6bccosA—b2+ci-bc^bc,

整理得儿<7,

故SAABC^bcsinA<yX4X华=V3;

17.(13分)某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过

分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间(单位：小时)：

高一年77.588.59

级

高二年78910111213

级

高三年66.578.51113.51718.5

级

(1)试估计该校高三年级的学生人数；

(2)从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲,

求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：

(3)再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8,9,

10(单位：小时)羡，表格中的数据平均数记为立，试判断「-与羡(结论不要求证明)

X]xox0x1

【解答】解：(1)抽出的20名学生中，来自高三的有8名，

根据分层抽样方法，估计高二的学生人数为：

300X_L=120(人).

20

(2)设事件4•表示“高一年级的第i名学生”，i=5,2,3,6,5,

事件Cj表示“乙是高二年级的第，名学生"，_/=1,3,3,4,8,6,7,

由题意尸(A；)P(Cj)P(A,Cj)—P(Az)P(Cj)——X—

565735

设事件M表示“该周甲的课后学习时间大于乙的课后学习时间”，

由题意PCM)=P(A6C1)+P(A3c8)+P(A4C1)+P(AsCi)+P(A4c8)+P(A5c2)

=7X_L=_^_,

3535

该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：

P(M)=4-尸CM)=空

35

(3)一―=7+7.4+8+8.3+9=6,一_=7+8+6+10+11+12+13

'/高—5'x高二y，

___6+3.5+7+5.5+11+13.5+17+18.4_

X高三一8一，

三组总平均值：=40+70+88=3.9,

X。20

加入的三个数8,6,10的平均数为9,比7小，

x0

•一>一

,,X]

18.(14分)如图1,在平面四边形PDCB中，PD//BC,%=AB=8C=1,AO=工，使得

2

平面SAB_L平面ABCZ),如图2所示.

(1)设平面SOC与平面SAB的交线为/,求证：BC±h

(2)在线段SC上是否存在一点。(点Q不与端点重合)，使得二面角。-3。-C的余

弦值为丑，请说明理由.

6

【解答】（1）证明：延长BA,C。相交于点E,则SE为平面SC。与平面SBA的交线/.

证明如下：

由平面SABJ_平面ABC。，BA1AD,

且平面SASH平面ABCD=AB,所以AO_L平面SAB,

又由4£>〃8C,所以BC_L平面S4B,

因为SEu平面S4B,所以BULSE.

⑵解:由⑴知:SA±AB,ADLAB,

以A为坐标原点，以A。，AS所在的直线分别为x轴，如图所示，

£

可得

A(0,0,4),B(0,1,6),C(l,1,4),D(-1,3,0),S(0,6,1)，则

BD=(y»T,0)'

设西=入豆（其中4V入VI）,入1-入）而=（入,X-4,I-%）>

—•.I

n-BD=yx-y=O

设平面。80的法向量为1=(X,y,z)，则，

nBQ=入x+(入-l)y+(4-入)z=0

令x=2,可得y=2,z=^4；；=(2,1,哈;一)，

D-A1-A

又由SA_L平面BDC,所以平面8OC的一个法向量为\=(3,Q,1)，

13-3入

L-\_Imm-n=—=-^-»解得X

则cos'、m，n/1—।

|m|nzl-3)2」63

4+(TT

所以存在点。为SC的中点时，使得二面角Q-BD-C的余弦值为限.

6

19.(15分)设函数/(x)=x2+w/n(x+1)(/z?eR).

(1)若m=-1,

①求曲线/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

②当xC(1,+8)时，求证：f(x)</.

(2)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点

2

【解答】解：⑴①当m=-1时,/(%)=/-加(x+5),f，(x)=2x-~^Jx+7'-1

x+6x+1

/(0)=-2,f(0)=0,

可得曲线/(x)在(0,/(0))处的切线方程4=-1(x-1)；

②证明：令h(x)=/(x)-x7-x3+x2-In(x+7),则

13x3+(x-1)6

h'(x)=-3X2+8X-

x+1x+1

当xe(1,+8),h(x)在(8,

又因为%(1)=-ln2<0,所以〃(x)<62-In(x+1)<x6,即/(x)<小,

即当xe(1,+8)时5；

3x2+2x+m

(2)由函数/(x)—x1+mln(x+1),xG(3,可得f，(x)=2x+m

x+1x+7

令g(x)=2x1+5x+m(x6(0,1)),

当/n22时，g(x)>0,f(x)在(0,

因为/(O)=5,所以/(x)>f(0)=0,

所以在区间(0,8)上没有零点,

当机VO时，g(x)=2/+2x+机的图像开口向上，且对称轴为户一L

x2

由g(1)=2+2+mW2,解得mW-4f

当mW-4时，g(x)V4在区间(0,

即/(x)<0,f(x)在区间(6,因为/(0)=0,

所以函数/(x)在区间(0,3)上没有零点，

综上可得-4WmV0,

设X7W(0,1)使得g(X8)=0,

当尤E(0,X7)时，g(x)<0,f(x)单调递减，

当尤(刈，5)时，g(x)>0,f(x)单调递增，

因为/(0)=0,要使得函数/(x)在区间(8,

则满足/(I)1+mln(1+4)>0,解得私〉——>

ln4

所以实数胆的取值范围为(=—,8)-

ln2

22_

20.(15分)已知椭圆C：Ca>b>0)的短轴长等于

a2b22

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点尸作斜率为k的直线/,与椭圆C交于A,8两点，判断胆工是否为定

lABI

值

24

【解答】解：(1)由椭圆C：C：2二，^=1(〃>42)的短轴长等于2M3,

a2b22

’2b=2«

可得<a=2c,

解得“=3,b=\[3,

22

所以椭圆的方程为“上=5；

43

26

（2）由椭圆的方程三-£=1,7）,

43

y=k（x-1）

联立方程组|v22,整理得（4必+7）/-8dx+4必-12=5,

设A(xi,yi),B(x8,y2)