2022届高三一轮复习提高-学案09-幂、指、对函数及应用（教师版）

塞、指、对函数及应用

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知识框架

知识梳理

一、图像及应用

1.基函数的图像记忆可记第一象限图像，并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征

2.指数函数的图像可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆

3.图像的应用建议从五大部分入手：定义域、值域（最值、有界性）、特殊的点线（坐标轴上的点、恒过

定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等）、性质（奇偶性、单调性、对称性、周期性）、方程与不等式

二、范围与最值

1.以图像为依托考查累、指、对函数的最值问题或值域问题，考题或以复合函数通过换元来分析或以分段

函数通过两个图像综合考虑来分析，要求掌握图像不能混淆错误

三、方程与不等式

1.以图像为依托考查累、指、对函数的方程与不等式问题，考题或以复合函数通过换元来分析或以分段函

数通过两个图像综合考虑来分析，要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化

四、复合与性质

1.以图像为依托考查累、指、对函数的复合与性质问题，考题多以函数的运算形式呈现，需进行分析奇偶

性与单调性来确认大致图像特征，

例题讲解,

例I.已知函数①/(幻=浓；②/(x)=cosx；③.f(x)=";④f(x)=e8s*.其中对于/*)定义域内的任

意一个巧都存在唯一个七，使/(百)/(%)=1成立的函数是(写出所有满足条件的函数的序号)

【难度】★★★

答案：③.

|log2x|,0<j;,4

例2.已知函数/(x)=,2,70若。，6,<?,”互不相同，且/(。)=_/1(6)=/(。)=/(</),则必”

-x-8x+—,x>4.

□3

的取值范围是

【难度】★★★★

答案:(32,35).

例3.下列4个命题中：

(1)存在xe(0,a)使不等式2，<3'成立

(2)不存在xe(0,1)使不等式log,x<log,x成立

(3)任意的xe(0,+oo),使不等式log?x<2”成立

(4)任意的xe(0,+<»),使不等式log?成立

x

真命题的是()

A.(1)、(3)B.(1)、(4)C.(2)、(3)D.(2)、(4)

【难度】★★★

答案：A.

例4.已知，=+l8”)满足对任意x尸々，都有一'(♦>°成立，那么。的取值范围是

(X..1)X\~^2

()

A.[31,2)B.(1,31]C.(1,2)D.(l,+oo)

【难度】★★★

答案：A.

./,(x)f(x\,K

例5.设函数y=f(x)在内有定义，对于给定的正数K,定义函数：AU)-]1取函

J(x)/(x)>K

数f(x)=(〃>]).当K=_L时，函数£(x)值域是()

a

A.B.(O/UUMc-(O,U|Jlpa)D.(O,^-]|Jll,a)

【难度】★★★

答案：D.

例6.(2020秋浦东新区校级期末)己知幕函数/。)=£2g*3(,〃€2)是奇函数，且/(》)在(0,+8)为单调

增函数.

(1)求”的值，并确定f(x)的解析式；

(2)求丫=1。8力")-1。812/(切，xe[±2]的最值，并求出取得最值时的x取值.

22

【难度】★★★

答案：(1)m=0,f(x)=x\(2)当x=2：时，最小值为之，当x=2时，最大值为13.

4

例7.设〃是实数,函数/(乃=染+|2、一〃|(1£/?).

(1)求证：函数/(幻不是奇函数；

(2)当凡0时，解关于x的方程/*)=。2；

(3)当a>0时，求函数>=/(x)的值域(用。表示).

【难度】★★★★

答案：(1)/(0)^0,矛盾(2)当T釉0时，原方程无解；当4V—1时，x=log2[-(^+l)].

(3)当0<4<,时，值域是[/,4-00)；当〃…_1时，值域是他一工，+00).

224

例8.已知关于x的不等式h4'-2'讨+6攵<0

(1)若不等式的解集A={x|lvxvlog23},求实数&的值；

(2)若不等式的解集A2{x|lvx<log23},求实数攵的取值范围；

(3)若不等式的解集Aq{x|l<xvlog23},求实数Z的取值范围；

(4)若不等式的解集An{x|lvxvlog23}w。，求实数攵的取值范围.

【难度】★★★★

答案：⑴k=-(2)k,,-(3)I—,-](4)k<-

55652

例9.已知函数〃x)=log1匕竺的图象关于原点对称，其中。为常数.

3x-1

(1)求〃的值；

(2)当xe(l,+oo)时，f(x)+log：(x-l)<"i恒成立，求实数m的取值范围;

(3)若关于x的方程f(x)=log](x+k)在[2,3]上有解，求上的取值范围.

2

【难度】★★★★

答案：(1)a=—1;(2)…—1；(3)—1领fc1

针对训练

1.函数=(；)*+11-(；)"I的值域是

【难度】★★★

答案：[1,+00)

取当左=工时,

2.y=/(x)在R上有定义，对于给定的正数%,定义=/(X)=2-E,

f(x)>k2

fk(x)的单调递增区间为

【难度】★★★

答案：(—00,—1]

3.已知〃x)=[(%-l)x+4“,X,l是R上的减函数，则〃的取值范围是____

[logux,x>l

【难度】★★★

答案：*

4.已知函数/(x)=----1——的定义域为A,则实数，"的取值范围是()

/g(5*+彳+⑼

A.(—3,4<o)B.(—co,—3)C.(--4,4-OO)D.(―oo,—2)

【难度】★★

答案：A.

5.已知函数/。)=(/-4+1""”为基函数，且为奇函数；

(1)求4的值；

(2)求函数g(x)=/(x)+Jl-2/(x)在X€[0,g]的值域.

【难度】★★

答案：(1)a=0.(2)[-,I].

2

6.已知定义域为R的函数/。)=子三:是奇函数.

(1)求a值；

(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

(3)若对任意的reR,不等式-2r)+f(2产-&)<0恒成立，求实数4的取值范围；

(4)设关于x的函数F(x)=/(4'-6)+f(-2川)有零点，求实数6的取值范围.

【难度】★★★★

答案：(1)a=l.(2)减函数(3)k<­(4)Z?e[-1,+oo)

7.已知awR,函数/(x)=k)g2[(a-3)x+3a-4]；

(1)当a=2时，解不等式/(3<0；

X

(2)若函数y=/(/-4x)的值域为/?,求。的取值范围；

(3)若关于x的方程f(x)-log,d+2a)=0解集中恰好只有一个元素，求。的取值范围.

X

【难度】★★★★

答案：(1)(pl).(2{a|a..8).(3)(g,l)|J{2,3}

能力提升

1拓4'+%・2'+1

1.已知函数y=/(x)=—-一--

4+2+1

(1)设g(x)=/(x)-1,当时,试求函数g(x)的值域;

(2)若/(x)的最小值为-3,试求”的值;

(3)若对任意的实数占，x2,x3,存在/(占)，/(々)，/(不)为三边边长的三角形，试求实数后的取值

范围.

【难度】★★★★

答案：(1)(0,7];(2)k=-\l；(3)f--,4].

32

4

2.(2019春徐汇区校级月考)已知aeR,函数/(x)=log23+——).

x-2

(1)求实数。的值，使得/(x)为奇函数；

(2)若关于x的方程f(x)=log2[(2a-l)x+7-5“]有两个不同的实数解，求”的取值范围；

(3)若关于x的不等式f(x)>log2(|x-2a|+1)对任意xe[3,6]恒成立,求a的取值范围.

【难度】★★★★

答案：(1)«=1,(2)(T,-|)U(-|，；)U(；/)•(3)(2,5).

4A

熟练精进

1.若关于x的方程/%(以J2x+2)=2在区间;,2上有解，则实数。的取值范围为

【难度】★★★

答案：[|』2]

2.若函数y=/(x-l)的图象与函数y=/〃6+1的图象关于直线y=x对称，则/(x)=

【难度】★★

答案：e2r.

3.己知yKlog^xl的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,回的长度b-a的最小值为

【难度】★★

答案：

4

4.函数丫二心8/公^+工+为的值域是/?,则。的取值范围是

【难度】★★★

答案[0，1j.

V*_1_1

5.设/QOulog。:---,函数y=g(x)的图象与y=/T(x+l)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=

~x-1

【难度】★★

答案：0.

6.若函数/6,X,2m>o且"])的值域是14,+00),则实数a的取值范围是____

p+logax,x>2

【难度】★★★

答案：(1>2].

7.(2020秋普陀区校级期末)函数/Xx)=(/+2是幕函数,对任意办,当€(0,go),且x产占，

满足"为)一"%)>0,若。，bwR,且a+b>0,ab<0,则f(a)+/S)的值()

不一吃

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

【难度】★★

答案：A.

8.设平行于x轴的直线/分别与函数y=2'和y=