2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷（附答案详解）

2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.若二次根式有意义，则X的取值范围是（）

A.%<3B.xW3C.x<3D.x>3

3.下列计算正确的是（）

A.2a2+3a2=5a4B.（a+b）2=a2+ab+b2

C.（—2a2）3——8a6D.—2a2-3a2——6a2

4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史2017年5月，世

界围棋冠军柯洁与人工智能机器人A/p/mG。进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱

中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（）

5.不等式组售:屋；_q的解集在数轴上表示为（）

6.下列说法正确的是（）

A.一个游戏的中奖概率是2则做10次这样的游戏一定会中奖

B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C.一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8

D.若甲组数据的方差S2=0.01,乙组数据的方差s2=0.1,则乙组数据比甲组数

据稳定

7.如图，在AABC中，是48边上的高，BE平分/ABC,交

CC于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的的面积等于（）

A.4

B.5

C.7

D.10

8.随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速.全球太阳能光伏应用市

场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW,预计到2021年全球装机总量达

至U864GIV.设全球新增装机量的年平均增长率为x,则可列的方程为（）

A.600（1+2x）=864B.600+2x=864

C.（600+x）2=864D.600（1+x）2=864

9.如图，线段A8是。。的直径，CD是O。的弦，过点

C作。。的切线交AB的延长线于点E,NE=42。，/

贝此CDB等于（）k°//B

A.22°、~~p

B.24°

C.28°

D.48°

10.若点是抛物线y=-2/+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点,

则771-72的最小值（）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制

动，进入火星停泊轨道.此次天间一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远

距离59000000米的椭圆形轨道.将59000000米用科学记数法表示为米.

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12.如图,已知a〃b,41=128°,则42=

时，函数y=%的图象在第二、四象限内.

14.若圆锥的底面直径为6。〃，母线长为10c”，则圆锥的侧面积为cm2.

15.在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个,

从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为段,则布袋中黄球的个数为.

16.如图，△ABC中，Z.BAC=90°,Z.ACB=30°,将△ABC绕

点A顺时针旋转得到△ABiG，点C的对应点恰好落在CB/\

的延长线上，连接CB】，则箸=,/\

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17.计算：G)T+2tan6(r-(2021+7r)0-VI.

18.先化简，再求值：-----）,其中x=2+夜.

19.如图，在5x7的正方形网格中，A、B、C都是格点，

AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的

直尺完成以下作图(保留作图痕迹)：

(1)作点A关于直线BC的对称点D；

(2)直接标出弦的中点及半圆的圆心0,并作BC

弧的中点E；

(3)在射线BC上作点F,使N4FB=/.BAC.

20.九(1)班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查(共提供48、

C、。四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标)，并根据调查结果列出统计表

绘制扇形统计图.

男、女生最向往的研学目标人数统计表

目标ABCD

男生(人数)7tn25

女生(人数)942n

根据以上信息解决下列问题：

(l)m=,n_；

(2)扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为；

(3)从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所

选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率.

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学生最向往的研学目标人数扇形统计图

21.如图，A。平分NB4C,AB=AC,且4B〃C。，点E在线段4D.上，BE的延长线交

CD于点F,连接CE.

⑴求证：^ACE^^ABE.

(2)当4c=4E,NC/W=38。时，求NDCE的度数.

B

22.为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部

交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某商店销售两种头盔,

批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题.

名称A种头盔B种头盔

批发价(元/个)6040

零售价(元/个)8050

(1)第一次，该商店批发A,8两种头盔共120个，用去5600元钱，求A,B两种头

盔各批发了多少个？

(2)第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔(批发价和零售价不变)，要想

将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%,则该超市第二次至

少批发A种头盔多少个？

23.如图，在中，ZC=90°,平分工BAC交BC于点Q,。为AB上一点,

经过点4,。的。。分别交AB,AC于点E,F,连接。尸交AO于点G.

(1)求证：BC是。。的切线;

(2)求证：AD2=AB-AF-,

(3)若BE=12,tanB=求的长.

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24.设点尸在矩形ABC。内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P

为该边的“中轴点”.例如：若点尸在矩形4BCO内部，且PA=PD,则称P为边

AQ的“中轴点”.已知点尸是矩形ABCC边A。的“中轴点”，且4B=10,BC=8,

如图1.

(1)求证：尸是矩形ABC。边BC的“中轴点”；

(2)如图2,连接P4PB,若A/MB是直角三角形，求的值；

(3)如图3,连接PA,PB,PD,求tanNPDC-tan"B4的最小值.

25.抛物线y=a/+c与x轴交于A,B两点，顶点为C,点P为抛物线上，且位于x

轴下方.

(1)如图1,若P(l,-3),B(4,0).

①求该抛物线的解析式；

②若。是抛物线上一点，满足NDPO=NPOB,求点。的坐标；

(2)如图2,已知直线PA,P8与y轴分别交于E、F两点.当点尸运动时，安等是

否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

y

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题

属于基础题型,根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

【解答】

解：由题意可知：%-3>0,

x>3.

故选D

2.【答案】B

【解析】解：俯视图从左到右分别是2,1,2个正方形，如图所示:

故选：B.

俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2,1,2.

本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象

能力.

3.【答案】C

【解析】解：2a2+3a2=5a2,故选项4错误；

(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项B错误；

(-2a2)3=-8a6,故选项C正确；

-2a2-3a2=-6a4,故选项。错误；

故选：C.

根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法.

4.【答案】A

【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原

来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：不等式组112①

(3(x-5)<-9(2)

由①得：x>1,

由②得：x<2,

不等式组的解集为1W%<2.

数轴上表示如图：

故选：D.

首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等

式组的解集，再在数轴上表示即可.

此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确确

定不等式组的解集.

6.【答案】C

【解析】解：A、一个游戏的中奖概率是2，则做10次这样的游戏可能中奖，故本选项

错误；

8、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项

错误；

C、数据8,8,7,10,6,8,9中8出现的次数最多的为8,故众数为8,排序后中位

数为8,故本选项正确；

。、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误.

故选：C.

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利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到

正确的答案.

本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义，考查的知

识点比较多，但相对比较简单.

7.【答案】B

【解析】解：过E作EF1BC于点F,

•••CD是48边上的高，BE平分乙4BC,

*EF=DE=2,

■­ShBCE=^BC-EF=^x5x2=5,BFC

故选：B.

过E作EF1BC于点F,由角平分线的性质可求得EF=DE,则可求得ABCE的面积.

本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x,

由题意得：600(1+x)2=864,

故选：D.

根据题意可得等量关系：2019年的装机总量x(l+增长率尸=2021年的装机总量，根

据等量关系列出方程即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设

变化前的量为“，变化后的量为6,平均变化率为％则经过两次变化后的数量关系为

a(l+x)2—b.

9.【答案】B

【解析】解：连接OC,

・••CE是。。的切线，」Z7

：•Z-OCE=90°,

•・•乙E=42°,

,o

AzC0£=90°-42=48°,

」CDB="COE=24。.

故选：B.

连接0C,根据切线的性质可知40CE=90。,再由直角三角形的性质得出乙COE的度数，

由圆周角定理即可得出结论.

本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•.・抛物线y=-2/+2无+m与无轴至多有一个交点，

.•・△=4—4X(―2)m<0,

解得zu<—

・•.点是抛物线y=-2x2+2%+7n上的点，

・•・n=—2m2+2m+m,

m—n=27n2-27n=2(m—1)2—1,

•••mW/

.•.当巾=-［时，m-n有最小值，最小值为2x2一［=|,

故选：B.

根据题意求得m的取值，然后把点代入y=-2x2+2x+m,得到n=-2m2+

2m+m,进一步得到zn-n=2m?-2m=2(m-1)2一结合，〃的取值，根据二次

函数的性质即可求得结果.

本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键.

11.【答案】5.9x107

【解析】解：59000000米=5.9x107米.

故答案为：5.9x107.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10n,其中1<|a|<10,〃为整数，且

〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10n,其中1<|a|<10,

确定a与〃的值是解题的关键.

12.【答案】52°

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【解析】解：如图所示:

a//b,

•••Z.3=Z.1=128°.

又：42+43=180°,

42=180°-Z.3=180°-128°=52°.

故答案为：52。.

由平行线的性质得出43=41=128。，再结合42,43互补，即可求出N2的度数.

本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

13.【答案】<2

【解析】解：•.・函数y=詈的图象在第二、四象限内.

m—2<0,

m<2.

由双曲线在第二、四象限，可知k<0即可解答.

本题考查了反比例函数图象与性质，熟记k<0,图象位于第二、四象限是解题的关键.

14.【答案】307r

【解析】解：圆锥的侧面积=：x6兀x10=30兀(cm?).

故答案为307r.

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等

于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的

周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

15.【答案】18

【解析】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：

_X___9_

40-20,

解得：%=18,

即布袋中黄球可能有18个,

故答案为：18.

利用摸到黄球的概率为盘，然后根据概率公式计算即可.

此题考查了几何概率，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题

的关键，是一道常考题型.

16.【答案】亘

2

【解析】解：如图，延长CA交81cl于H,

・・•Z.BAC=90°,Z.ACB=30°,

・•・CB=2AB=2x,AC=V3x,

・••将△ABC绕点、A顺时针旋转得到^ABiG，

：•BC-B1C1,AC=AG，

・・.乙ACB=心4C$=30°,

v/.ABC=Z-BAC1+乙AQB=60°,

:.4BAq=Z-AC1B1=30°,

・•・AB

・・・Z,CAB=乙CH£=90°,

・•・^BrAH=30°,

•••="Bi=I，AH=^x,

“3V3

*'•CH=—xf

2

BiC=[CH2+BW=-V7x,

B1G2

第14页，共23页

故答案为亚.

2

由直角三角形的性质可求CB=22B,由旋转的性质可得BC=/G，AC=ACr,由等

腰三角形的判定和性质可得AB=BG，即可求解.

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本

题的关键.

17.【答案】解：原式=2+2b一1—1

=2V3.

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数基的性质、零指数基的性质、算

术平方根分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：原式=空十^i

x-lx—1

x+2x—1

x-1(x+2)(x—2)

1

一X-2，

当x=2+四时，

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

19.【答案】解：(1)如图，点。即为所求作.

(2)如图，点。，点T,点E即为所求作.

(3)如图，点尸即为所求作.

【解析】(1)根据轴对称的性质解决问题即可.

(2)取AB,BC的中点O,T,作射线0T交。。于点E,点0,T,E即为所求作.

(3)取格点R,连接4R交直线BC于点凡点尸即为所求作.

本题考查作图-轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，垂径定理，圆周角定理等知识,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】83144°

【解析】解：(1)样本容量=(2+2)+30%=40,

依据题意得：(4+m)=40x30%,

解得:m=8；

Ti=40—7—8—2—5—9—4—2=3；

故答案为：8、3；

(2)(7+9)+40x360°=144°；

故答案为：144°.

(3)列表得：

男1男2女1女2

男1—男2男1女1男1女2男1

男2男1男2—女1男2女2男2

女1男1女1男2女1—女2女1

女2男1女2男2女2女1女2—

由表格可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8,

所以恰好选中1男1女的概率P=卷=|.

(1)先根据C组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据B组对应百分比及女

生8组人数求解可得相的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出〃的值；

(2)用360。乘以A组人数所占比例即可；

(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

21.【答案】证明：平分ZB4C,

・•・Z-CAE=Z-BAEJ

第16页，共23页

在ZMCE和中，

AC=AB

Z-CAE=4BAE,

AE=AE

ACE三△ABE(SAS)；

(2)・・・/C=/E,Z-CAD=38°,

:.Z-ACE=乙AEC=71°,

又・・•乙CAD=Z.BAD=38°,

・•・乙CAB=乙CAD+BAD=38°+38°=76°,

-AB//CD,

•••△DCA+4B4C=180。，

・・.Z.DCE+Z,ACE+4BAD=180°,

・•・乙DCE=180°-71°-76°=33°.

【解析】(1)先由角平分线的性质可得NC4E=Z.BAE,再根据已知条件即可用SAS证明

方法进行证明即可得出答案；

(2)现根据等腰三角形的性质可得出乙4CE=乙4EC=71°,再根据平行线的性质，

Z.DCA+^BAC=180°,求解即可得出答案.

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练应用相关的性质进

行求解是解决本题的关键.

22.【答案】解：(1)设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个.

根据题意,得｛忠就上5600,

解得:谕，

答:第一次A种头盔批发了40个，8种头盔批发了80个.

(2)设第二次批发A种头盔。个，则批发B种头盔三泮个.

由题意，得(80-60)a+(50-40)x7-°~6—>7200x30%,

解得：a>72,

答：第二次该商店至少批发72个A种头盔.

【解析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个.根据题意列出二元一

次方程组，解方程组即可得出答案；

（2）设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔要产个.根据题意列出一元一次不

等式，则可得解.

本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题

意，利用方程组和不等式的知识解答.

23.【答案】解：（1）如图1,

连接QD,则。4=。。,

・•・Z.ODA=Z.OAD，

・・・力0是4B4C的平分线，

・•・Z.OAD=Z.CAD,

•••Z.ODA=Z.CAD,

・・・OD//AC,

:.Z.ODB=Z.C=90°,

•••点。在。。上，

BC是。。的切线；

(2)如图2,

连接0。DF,EF,

•••4E是。。的直径，

•••AAFE=90°=ZC,

EF//BC,

・•・乙B=Z-AEF,

第18页，共23页

•・•Z.AEF=Z.ADF,

:.乙B=Z.ADF,

由(1)知，^BAD=Z.DAFf

ABD〜△ADF

tAB_AD

"AD-AF9

2

AAD=AB-AF；

(3)如图3,

连接EF

在RCZiB。。中，tanB

12BD

VOD2+BD2=OB2,设0。为5x,则8。为12x,

由勾股定理得B。=y/BD2+OD2=13x>

.r,OD5

AsinB=—=——，

OB13

设半径为r,

则工=

r+213

得「若，

:.AE—15,AB=AE+BE=27,

・・・4E为直径，

:.Z.AFE=ZC=90°,

・•.EF//BC,

:.Z.AEF=乙B,

sin乙4EF=—=—,

AE13

15x-75

1313,

vAD2=ABAF,

•••4。=厮"=》1=誓

【解析】(1)先判断出。0〃4C,得出4。。8=90。，即可得出结论；

(2)先判断出乙4EF=NB,再判断出乙4EF=乙4。/，进而得出ZB=NADF,进而判断

出△ABC〜△4DF，即可得出结论；

(3)连接EF,在直角三角形80。中，根据勾股定理可得8。的长度用B。和。。表示，

进而得SMB=躇=2设圆的半径为r,由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r

UD13

的值，由直径所对的圆周角为直角，得至UE尸与8c平行得至iJsinN4EF=sin/B,进而求

出AF的长，再根据(2)的结论可求出AZ)的长.

此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，

锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键.

24.【答案】解：(1)连接P8、PC,如图所示：

图1

•・•点尸为该边的“中轴点”，

・•・PA=PD,/.PDA=/.PAD,

又•・•4CDA=Z.DAB=90°,

・•・Z.CDP=Z.BAP,

在△COP和中，

PD=PA

Z.CDP=4BAP,

CD=BA

CDP^^BAP(SAS),

:・PC=PB,

・・.P是矩形ABC。边8。的“中轴点“；

(2)解：连接PQ,过点P作于点E,过点P作PF1AB于点F,

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图2

由(1)得PO=PA,故4PDA为等腰三角形，

DE—EA--AD—-BC=-x8=4,

222

•••在四边形PEAF中，Z.PEA=AEAF=乙4FP=90°,

四边形PE”为矩形，

:.EA=PF=4,

又•••△24B是直角三角形，2LPFA=PFB=90°,

/.PAF=90°-4PBA,乙FPB=90°-4PBF,

即NP4F=乙FPB,

•••△凡4Ps△FPB,

...—AF=—PF,

PFBF

PF2=AF-BF,

即16=AF-BF,

设4F=x,则B尸=10-x,可得方程：

%(10—x')-16,

解得：X]=2,x2=8>

当4F=2时，P4=y/AF2+PF2=V22+42=2近，

当4F=8时，PA=>JAF2+PF2=V82+42=4①，

综上，当APaB是直角三角形时，PA的值为2遍或4芯;

(3)过点P作PF'LAB于点F',如图所示：

ppfPFt

1

Atan=Z-PDC—ImZ-PAF=—AFi,tanzPF/l=—BFr

：•tanzPDC-tanZ.PBA=--------,

AFf-BFi

设49'=久，则B〃=10—%,

16

・•・tanzPDC-tanZ-PBA='z■■■■,

x(10-x)

观察易知，当x(10—x)取得最大值时，tan乙POC・tan4PB4取得最小值,

令y=x(10—%)=—x2+10x=—(%—5)2+25,

・・•-1<0,

・•・当％=5时，y取得最大值25,

：・16存在最小值:竺，

%(1