4.5.1函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版3

4.5.1函数的零点与方程的解4.5函数的应用（二）学习目标理解零点的意义，会求简单函数的零点，掌握零点存在的判定条件；在引入剖析函数零点定义、函数的零点与方程的根、不等式的关系过程中，培养思维能力、体会数学概念的学习方法和数形结合的数学思想，提升直观想象数学素养；在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．一、引入新课韦达（Viete，FrancoisseigneurdeLaBigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进.他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支.他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解.第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.思考：1.一元二次方程是否有实数根的判定方法是什么？2.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？二、探究新知探究1：函数的零点下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？

xyO-13O11xyxyO

判别式

＞0

＝0

＜0

两不相等实数根一个交点没有交点

两个交点两相等实数根没有实数根1.函数零点的概念：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．探究2.函数零点存在性定理12345-1-212345-1-2-3-4xy观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

－1－45＜3＜12345-1-212345-1-2-3-4xyxyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a，d]上存在零点？①在区间(a，b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)．在区间(a，b)上______(有/无)零点；②在区间(b，c)上f(b)·f(c)___0(“＜”或“＞”)．在区间(b，c)上______(有/无)零点；③在区间(c，d)上f(c)·f(d)___0(“＜”或”＞”)．在区间(c，d)上____(有/无)零点；有<有<有<结论xyOabc函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．三、运用新知例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例.（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点.（）（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（）abOxy如图，函数y=f(x)在区间[a，b]上有3个零点，“在区间(a，b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. （2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（）abOxy如图可知，函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a，b)内有零点.故论断不正确.

（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点.（）abOxy如图，虽然函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a，b)内不存在零点.例2求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z).由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)在区间(2，3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0，+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．解：用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表，并画出图象：x123456789f(x)-4f(x)=lnx+2x－6例3求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点.证明：因为f(-2)=-3，f(-1)=1，所以f(-2)·f(-1)＜0，又函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2，-1)上是连续的曲线，所以函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2，-1)上至少有一个零点.四、学生练习1.观察下表，已知函数f(x)=3x5+6x-1，则在下列哪个区间内存在零点？（）A.（-2，-1）

B.（-1，0）

C.（0，1）

D.（1，2）解析：函数f(x)=3x5+6x-1图象是连续不断的，又因为f(0)·f(1)＜0，所以在区间（0，1）上必存在零点.x－2－1012f(x)-109-10-18107C2.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（）A．(5，6)B．(3，4)C．(2，3)D．(1，2)解析：f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3，4)上．B3.函数f(x)=-x2+3x-2的两个零点是________.解析：令-x2+3x-2=0，解方程得x1=2，x2=1，所以函数f(x)=-x2+3x-2的零点是2，1.2，14.已知函数f(x)=x3-3x+1，问该函数在区间(-2，-1)内是否有零点？解：因为f(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，所以f