72-数项级数收敛性判别法

节数项级数收敛性判别法章•8/18/2021（Interrogateofconstanttermseries）一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结与思考练习一、正项级数及其审敛法收敛部分和序列有界.收敛,∴部分和数列有界,故又已知故有界.若

则称定理

1

正项级数为正项级数.单调递增,收敛,从而也收敛.证:“”若“”(Interrogate

of

positive

term

ser•8/18/2021•8/18/2021证根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的．•8/18/2021(常数p>0)解:

1)

若因为对一切而调和级数发散.发散,由比较审敛法可知p级数例2

讨论p

级数的敛散性.•8/18/2021因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若•8/18/2021解•8/18/2021定理3(比较审敛法的极限形式)设两正项级数满足

则有当0<l<∞时,两个级数同时收敛或发散;当l=0当l=∞•8/18/2021解•8/18/2021•8/18/2021•8/18/2021•8/18/2021(1)当(2)当证:

(1)时,级数收敛;或

时,

级数发散.收敛,由比较审敛法可知•8/18/2021定理4

比值审敛法(

D’

Alembert

判别法)设

为正项级数,

且

则所以级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.因此说明:

当例如,

p

–

级数但级数收敛;级数发散.•8/18/2021从而(2)当时•8/18/2021•8/18/2021对任意给定的正数为正项级证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.定理5

根值审敛法(

Cauchy判别法)设数,

且

则•8/18/2021时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数级数收敛;但级数发散.•8/18/2021说明:•8/18/2021二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

(

Leibnitz

判别法若)

交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足(Interrogate

of

staggered

seri•8/18/2021证:是单调递增有界数列,故又故级数收敛于S,且•8/18/2021收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:•8/18/2021三、绝对收敛与条件收敛(Absolute

convergence

and

conditional

converg定义

对任意项级数

若

收敛,则称原级数

绝对收敛；若原级数收敛,

但取绝对值以后的级数发散,

则称原数

条件收敛.例如：

为条件收敛.均为绝对收敛.•8/18/2021证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令•8/18/2021定理7

绝对收敛的级数一定收敛.证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.•8/18/2021例11

证明下列级数绝对收敛:（补充题）(2)令收敛,因此•8/18/2021绝对收敛.•8/18/2021绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.•8/18/2021*定理8

绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9(绝对收敛级数的乘法)设级数

与

都绝对收敛,其和分别为则对所有乘积

按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,

其和为说明:条件收敛级数不具有这两条性质.内容小结利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用正项级数审敛法不满足必要条件

发

散满足比值审敛法根值审敛法收

敛发

散比较审敛法不定

部分和极限用它法判别

积分判别法•8/18/2021(

L.

P374,

5

)则交错级数收敛概念:

为收敛级数绝对收敛条件收敛Leibniz判别法:3.任意项级数审敛法•8/18/2021课外练习习题7－2 1-8思考练习1、设正项级数提示:收敛,

能否推出

收敛?由比较判敛法可知收敛注意:反之不成立.例如,收