【数学】广东省揭阳市揭东区2024届高三上学期期中试题（解析版）

广东省揭阳市揭东区2024届高三上学期期中数学试题一、选择题1.设是小于8的正整数，，.求（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，，，所以.故选：D.2.已知，的共轭复数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，所以.故选：C.3.已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】因为，，可得，又因为点是线段的三等分点，则或，所以或，即点的坐标为或.故选：C.4.已知，，，求实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得：且，∵，①当时成立；②当时，解得.又，此时或，所以，又因为在上单调递增，所以，∴的取值范围是.故选：A5.设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设是偶函数，∴，解得，∴，∴曲线在原点处的切线方程为.故选：A6.已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，；由，则，；所以，两圆相交，将两圆作差得，所以公共线方程.故选：B.7.设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由、分布曲线关于轴对称，则，∵越大，正态分布曲线越扁平，∴.故选：C8.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，则，构造函数，其中，则，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，，则，A对B错，无法判断CD选项的正误.故选：A.二、选择题9.下列命题为真命题的是（）A.已知内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等，则是的充要条件B.已知，，则C.已知，是单位向量，，且向量满足，则向量的模长最大值为D.函数的最小值是2【答案】BC【解析】对于A，内两条弦相等，所对圆周角相等或者互补，故不是的充要条件，故A错误；对于B，由，得.又，所以.，于是，故B正确；对于C，∵、是单位向量，.若向量满足，∴设，，，则，∵，∴，故点的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，∴的最大值为，故C正确；对于D，只有，所以，命题才成立。当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.当命题不成立，故D错误.故选：BC.10.已知双曲线C：，则（）A.双曲线C与圆有3个公共点B.双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1C.双曲线C与双曲线有相同的渐近线D.双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同【答案】BCD【解析】作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，离心率为，易知选项BCD正确．故选：BCD11.已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（）A. B.在上有5个零点C. D.直线是函数图象的一条对称轴【答案】ABC【解析】对都有成立，则是以2为周期的周期函数，当且时，有，则在上单调递减，由函数是定义在上的奇函数有………①，又是以2为周期的周期函数，有………②，所以由①②可得，所以A正确；由得，又为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则，又在上单调递减且，则时，由为奇函数，所以时，根据是以2为周期的周期函数，则时，时，所以在上有，有5个零点，故B正确；由是以2为周期的周期函数有，故C正确；由上可知，当时，时，则其图象不可能关于对称，故D不正确.故选：ABC.12.如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的有（）A.当时，是一个点B.当动点到直线，的距离之和为时，是椭圆C.当直线与平面所成角为时，是椭圆D.当直线与平面所成的角为时，是双曲线【答案】AD【解析】对于A：当时，为以为直径的球与平面的交线，正方体的棱长为2，为的中点，可得，，的中点到平面的距离为，故是一个点，故A正确；对于B：由正方体易知平面，平面，又、平面，故，，故动点到直线，的距离即为动点到点与点的距离之和，又，故当动点到直线，的距离之和为时，是线段，不是椭圆，故B错误；对于C由⊥平面，可知与平面所成的角即为，直角三角形中，，，，所以为定值，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；对于D：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，取平面的一个法向量为，若与所成的角为，则，化简得，即的轨迹为双曲线，所以D正确.故选：AD三、填空题13.如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是________.【答案】【解析】因为是正三角形，其边长为1，所以,因此，四面体的表面积.故答案为:.14.的展开式中项的系数是_______.【答案】121【解析】项系数为=121.故答案为：121.15.设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是________.【答案】【解析】设点的坐标为，点的坐标是，所以直线的斜率.同理，直线的斜率.由已知，有，化简，得点的轨迹方程为.所以点的轨迹是除去，两点的椭圆.故答案为：16.某时针的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标有12的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中.【答案】【解析】如图，设，过点作，垂足为，则，即，当时，，；当时，，，综上，，.故答案为：.四、解答题17.在中角，，的对边分别为，，，且（1）求；（2）若，的面积为，求的值.解：（1）由及正弦定理得，因为，所以，由于，所以，所以，所以，又，故.（2）由题得的面积，故①，而，且，故②，由①②得，，所以.18.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，对任意的恒成立，求实数的取值范围.解：（1）设等差数列的公差为，则由，，得，解得，所以，即.（2）由（1）可得，所以，则,易知单调递增，当趋向正无穷大时，无限趋向于1，所以由得，解得或，即实数的取值范围为.19.如图，四边形ABCD是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，可，所以，又因为，且平面，所以平面.（2）解：因为且平面，所以平面，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，可得，，，，，，则，由（1）知，平面所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以，设所求的锐二面角为，则，又因为平面与平面所成夹角为锐角，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.20.给定函数.（1）讨论函数的单调性，并求出的极值；（2）讨论方程解的个数.解：（1）函数的定义域为..令，解得，，的变化情况如表所示.-3-0+单调递减单调递增所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，有极小值，无极大值（2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.令，解得.当时，；当时，.又由（1）可知，在时有唯一极小值，也是最小值.所以，的图象经过特殊点，，.且当时，有；当时，有.如图，作出函数的图象由图象可得，当时，与的图象没有交点，所以方程的解为0个；当或时，与的图象只有一个交点，所以方程的解为1个；当时，与的图象有两个交点，所以方程的解为2个.21.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1），故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，则，则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.22.已知双曲线实轴长为2．点是抛物线的准