高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题25 等差、等比数列性质的巧用-（含答案）

！【高考地位】从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.【方法点评】方法一由等差或等比数列的性质求值解题模板：第一步观察已知条件和所求未知量的结构特征；第二步选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系；第三步整理化简，求得代数式的值.例1已知数列为等差数列，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】考点：数列，三角函数．例2在等比数列所以中,,则等于（）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为等比数列所以中,，所以，又所以或，因此等于或，故选A.学科网考点：等比数列的性质.【变式演练1】设等比数列{an}的前n项积，若P12＝32P7，则a10等于()(A)16(B)8(C)4(D)2【变式演练2】已知等比数列的公比为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：等比数列的性质及其通项公式.【变式演练3】A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：考点：等比数列性质及对数运算.方法二有关等差或等比数列前项和性质的问题解题模板：第一步观察已知条件中前项和的信息；第二步选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系；第三步整理化简，得出结论.例3.设等比数列的前项和为，若则().A．31 B．32 C．63 D．64【变式演练4】一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（）A.108B.83C.75D.63【答案】D【解析】试题分析：根据等比数列的性质，成等比数列，其中，故公比是，所以，所以.考点：等比数列.方法三数列的最值问题解题模板：第一步观察已知条件，选择合适的求解方法；第二步根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的不等式（组）；第三步整理化简，得出结论，注意是正整数.例4已知等差数列的前项和为，，，如果当时，最小，那么的值为（）A．10B．9C．5D．4【答案】C【解析】试题分析：依题意有，解得，，，故前项是负数，前项的和最小．学科网考点：等差数列的基本性质．例5设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．【答案】C【解析】考点：等比数列公比【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【变式演练5】设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，则当最大时，的值为（）A．5或6B．6C．5D．4或5【答案】D【解析】试题分析：数列是各项均为正数的等比数列，，令解得，则当最大时，的值为4或5．考点：等比数列的通项公式及性质．【变式演练6】已知数列满足，给出下列命题：①当时，数列为递减数列②当时，数列不一定有最大项③当时，数列为递减数列④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号____【答案】③④数列数列为递减数列，③正确.【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】设等比数列QUOTEan满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．【答案】考点：等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.2.【2015新课标2文5】设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】试题解析：由SKIPIF1<0,所有SKIPIF1<0.故选A.学科网【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得SKIPIF1<0高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.3.【2015新课标2文9】已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】C【解析】【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质SKIPIF1<0得到一个关于SKIPIF1<0的一元二次方程,再通过解方程求SKIPIF1<0的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.【2015高考广东，理10】在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0．【解析】因为SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故应填入SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及其熟练运用．5.【2015高考安徽，理14】已知数列SKIPIF1<0是递增的等比数列，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和等于.【答案】SKIPIF1<0【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前SKIPIF1<0项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（等差数列），SKIPIF1<0（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明SKIPIF1<0；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前SKIPIF1<0项和公式等.6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若，，成等差数列，则称为与的等差中项，即．7.【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定。学科网8.【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则()9.【2014高考广东卷理第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则.10.【2014高考安徽卷理第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________.11.【2015高考北京，理6】设SKIPIF1<0是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.12.【2014高考广东卷.文.13】等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题.学科网【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【反馈练习】1.【2017届贵州遵义市南白中学高三第一次联考数学试卷，文6】在等比数列中,是方程的根，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，故．考点：等比数列基本概念.2.【宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学理】若等比数列的前n项和，则（）A．4 B．12 C．24 D．36【答案】B考点：1.数列的递推公式；2.等比数列的性质.3.【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟考试数学试卷，理9】已知正整数成等比数列，公比，则取最小值时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：等比数列的通项公式，整数的整除．4.【2015-2016学年海南省文昌中学高一下期末数学试卷，理8】的的最大值为（）A．11B．12C．19D．20【答案】C【解析】试题分析：因为的的最大值为19；故选C．考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的前项和．5.【2015-2016学年黑龙江双鸭山一中高一下期期末数学试卷，文9】已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（为该直线外一点），等于（）A．2016B．1008C．D．【答案】B【解析】试题分析：因为，且三点共线（为该直线外一点），所以，由等差数列的性质，可得，所以，故选B．学科网考点：等差数列的性质．6.【2015-2016学年浙江台州市书生中学高一下学期期中数学试卷，理15】设为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小