武汉华中师大一附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.平面内到两定点A(-6,0)、B(0,8)的距离之差等于10的点的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.以上选项都不对A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过△PFF²的面积为(A.2B.2√2A.2B.2√AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为()B8.已知F,F2分别为椭圆E:的左、右焦点，椭圆E上存在两点A,B使得梯形B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.0或12.在棱台ABCD-AB₁C₁D₁中，底面ABCD,AB₁CD₁分别是边长为4和2的正方形，侧面CDD₁C和PD₁=2PC,则下列说法正确的是()A.二面角D₁-AD-B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(2)求直线BC的方程.|PC|·|AB|的值最小时，求直线AB的方程.点B为椭圆上的一(1)求椭圆C的方程；(2)若点A为椭圆C的左顶点，点P(m,n)在椭圆C上，线段AP的垂直平分线与y轴交于点Q,且△PAQ为等边三角形，求点P的横坐标.21.如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC//DE,AC⊥CD,N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且(1)若点M为线段DF的中点，证明：MN//平面ACDE;(2)若平面BCDF⊥平面ACDE,且DE=2,问：线段DF上是否存在点M,使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.右焦点为F,过右焦点为F,过点A且斜率为k(k≠0)的直线l22.已知糖图C:(1)若|求k的值；线段PF交圆F于点T,线段PF交圆F于点T,射线AP上存在一点Q,使得QT·BT为定值，证明：点Q在定直线上.华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.2.平面内到两定点A(-6,0)、B(0,8)的距离之差等于10的点的轨迹为()【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.而平面内到两定点A(-6,0)、B(0,8)的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】4.已知椭圆c:【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆C:则k+1>0,且k+1≠4,若椭圆的焦点在x轴上，则解得：k=2;若椭圆的焦点在y轴上，则解得：5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过△PFF₂的面积为()则16=FF₂P=PFP+|PF₂=(PF|+|PF₂D²-2|PFPF₂F36-2|PFI|PFI所以ab的最大值为3.的最小值为()B【解析】,知BC⊥CD,以C为原点，直线CD,CB,Cz分别为x,y,z建立空间直角坐标系，如图，,设F(0,2,m),,于是|【解析】案.AF,二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.0B.1【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l距离的取值范围，即可判断得解.,因此直线l与圆相切或相交，所以直线l与圆C的公共点个数为1或2.10.下列四个命题中正确的是()A.过点(3,1),且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0D.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为【答案】BC【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A;求出圆的切线方程判断B;求出直线斜率范围判断C;利用三条直线圆C相切，,解得,解得或或【答案】ABC【解析】IPQI+|PF|≥1PE|+|PF₂|-√Z≥|EF₂|-√2求出|EF₂|,即可求出k,再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C,根据椭圆的定义判断D.;设B为椭圆的上顶点，则;21PE|+|PF|-6-√Z≥|EF|-6-B.棱台的体积为26D.点P的轨迹长度为【解析】又底面ABCD,A,BC₁D分别是边长为4和2的正方形，故BC⊥CD,则D₁(2,0,3),A(4,4,0),D(,,,内部(含边界)部分，如图所示，圆弧GH即为所求，此时圆心角经检验，当点P在其他面上运动时，均不合要求，综上，点P的轨迹长度为,D正确.转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中个变量之间有等量关系),往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ与直线l:x+y-2=0垂直，则实数m的值为【解析】【分析】首先求出直线1的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为-1,即可求出kpg,再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线l:x+y-2=0的斜率k=-1,,解得m=1.又直线PQ与直线l:x+y-2=0垂直，所,解得m=1.14.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为【答案】【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【解析】x;x₂+(y₁-3)(y₂-3)=0③把④代入⑤,可为半径的圆上.17.已知口ABC的顶点A(4,1),边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0,边AC上的中线BM所在的直线方程为3x-y-1=0(1)求点B的坐标；(2)求直线BC的方程.【答案】(1)(-1,-4);(2)7x+y+11=0.【解析】【分析】(1)由垂直关系求出直线AB的方程，再求出两直线的交点坐标即得.(2)设出点C的坐标，利用中点坐标公式求出点C坐标，再利用两点式求出直线方程.【小问1详解】由边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0,得直线AB的斜率为1,直线AB方程为y-1=x-4,即y=x-3,所以点B的坐标是(-1,-4)由点C在直线x+y-1=0上，设点C(a,1-a),于是边AC的中点在直线解得a=-2,即得点C(-2,3),直线BC的斜率(2)求异面直线BC₁与A,C所成角【解析】(2)取AB的中点M,连接AC交AC于点O,连接CM、OM,即可得到∠COM为异面直线BC与【小问1详解】【小问2详解】取AB的中点M,连接AC交AC于点O,连接CM、OM,所以因为AA⊥BC,AA//BB,所以BB₁⊥BC,,【小问2详解】得得得x+y=2,(1)求椭圆C的方程；【小问1详解】【小问2详解】,所以直线MQ,所以直线MQ的斜率;,因为,化简，得到5m²+32m+12=0AP的被些标,【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于AP垂直平分线方程的求解以及将△PAQ的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P点坐标符合椭圆方程去简化运算.21.如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，ACIIDE,AC⊥CD,N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且(1)若点M为线段DF的中点，证明：MN//平面ACDE;(2)若平面BCDF⊥平面ACDE,且DE=2,问：线段DF上是否存在点M,使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)根据中位线和平行四边形的性质得到MN//DG,(2)建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC中点G,连接NG,GD,因为N,G分别为AB,AC中点，所以NG//BC,所以DM//BC,所以MN//DG,因为MN平面ACDE,DGC平面ACDE,所以MN//平面ACDE.【小问2详解】取DF中点H,连接CH,CF因为平面BCDF⊥平面ACDE,所以AC⊥平面BCDF,因为CHC平面BCDF,CBC所以AC⊥CH,AC⊥CB,平面BCDF∩平面AC