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南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：表示单位矩阵，表示矩阵的秩，表示行列式，表示矩阵的转置。）填空题（每题3分，共15分）1．设3阶矩阵，则。2．设三阶矩阵的特征值为1，－1，3，再设则.。3．设阶矩阵的各行元素之和等于零，且的秩为，则齐次线性方程组的通解为。4．设向量为属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量，则。5．已知，则。二、选择题（每题3分，共15分）1．设齐次方程组的一个基础解系为，则（）.2．设阶矩阵有个不同的特征值，而且。如果与对角矩阵相似，则().(A)(C)(D)3.若向量组线性无关，向量组线性相关,则（）.必不可由线性表示必可由线性表示必不可由线性表示必可由线性表示4.设阶矩阵，则如下结论正确的是（）.（A）(B)(C)(D)5.对于矩阵方程，以下结论正确的是（）.(A)(B)(C)如可逆（D）以上均不正确.(10分)计算下行列式（10分）设三阶矩阵满足矩阵方程，试求矩阵.五、（14分）设向量，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示.六、（13分）当为何值时，线性非齐次方程组无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、（15分）已知二次型，试回答下列问题写出此二次型的矩阵；利用正交变换该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；显然可见：当时方程组无解，当时方程组有唯一解，当时方程组有无穷多组解.――――――――――――――――――――――――8分当时继续将矩阵化为行最简形得与原方程组等价的方程组为令，得原方程组的一个特解为。――――――――11分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为令得齐次方程组的一个基础解系为故原方程组有无穷多组解时的通解为，为任意常数.―――13分七、（15分）解：1）二次型的矩阵为―――――――――――――3分2）先计算矩阵的特征多项式故矩阵的特征值分别为――――――――――――6分再计算矩阵的属于各特征值的特征向量：当时，求解方程组得一个特征向量为.当时，求解方程组得一个特征向量为.当时，求解方程组得一个特征向量为.令，作变换，则此变换即为正交变换，该二次型在此变换下的标准型为。――――――――――――12分3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型.―――――――15分八、1）显然为实矩阵，又，.所以为实对称正交矩阵.――――――――――――――――――――3分2)设是实对称矩阵正交矩阵的属于特征值的特征向量，则,而，则必有容易验证，即是的一个特征值，设是和正交的非零向量，则有，又R(u)=1,这种非零向量可以求出个。所以1是的重特征值。―――――――――――――――――――――――――6分3）由2）可知是的属于特征值－1的一个特征向量，而方程组的一个基础解系即为属于特征值1的个特征向量，比

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