高中数学 专题08 几何图形中运动变化问题研究

专题八：几何图形中运动变化问题研究【题型导引】题型一：动点问题动态型试题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动、图动；其运动形式有平动、旋转、翻折、滚动等．动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．题目灵活多变，动中有静，动静结合．(1)动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；(2)动静互化，抓住“静”的瞬间，找出导致图形或变化规律发生改变的特殊时刻；同时在运动变化的过程中寻找不变性及变化规律．题型二：动线问题动线问题主要和旋转变换结合，在处理此类问题上要注意进行转化，化动为静，利用变换的性质解答即可。题型三：动面问题面的转动问题注意转化为静态问题来研究，转动后的与之前的在性质上形成新的图形，结合图形特点进行解答。【典例解析】类型一：动点问题例题1：（2019•湖南衡阳•3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at＋2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．技法归纳：解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”“写”“选”．(1)“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键；(2)“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；(3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图象选项，其次，对于相同函数类型的函数图象选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案．类型二：动线问题例题2：如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴，y轴分别相交于M，N两点，设运动时间为t秒(0＜t≤4)．(1)求A，B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1；(3)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，①当2＜t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的eq\f(5,16)？【解析】：(1)当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4.∴A(4,0)，B(0,4)；(2)∵MN∥AB，∴eq\f(OM,ON)＝eq\f(OA,OB)＝1，∴OM＝ON＝t，∴S1＝eq\f(1,2)OM·ON＝eq\f(1,2)t2；(3)①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则设点P的坐标为(t，t)，F点的坐标满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－t＋4，))即F(t,4－t)，同理E(4－t，t)，则PF＝PE＝|t－(4－t)|＝2t－4，所以S2＝S△MPN－S△PEF＝S△OMN－S△PEF＝eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)PE·PF＝eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)(2t－4)(2t－4)＝－eq\f(3,2)t2＋8t－8；②当0＜t≤2时，S2＝eq\f(1,2)t2＝eq\f(5,16)×eq\f(1,2)×4×4＝eq\f(5,2)，解得t1＝－eq\r(5)＜0，t2＝eq\r(5)＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2＝－eq\f(3,2)t2＋8t－8＝eq\f(5,2)，解得t3＝3，t4＝eq\f(7,3)，综上得，当t＝eq\f(7,3)或t＝3时，S2为△OAB的面积的eq\f(5,16).技法归纳：解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解．用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点．类型三：动面问题例题3：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【解析】：(1)PM＝PNPM⊥PN详解：∵点P，N是DC，BC的中点，∴PN∥BD，PN＝eq\f(1,2)BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝eq\f(1,2)CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，∴PM⊥PN；(3)eq\f(49,2)详解：如图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM＋AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5eq\r(2)，∴MN最大＝2eq\r(2)＋5eq\r(2)＝7eq\r(2)，∴S△PMN最大＝eq\f(1,2)PM2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)MN2＝eq\f(1,4)×(7eq\r(2))2＝eq\f(49,2).技法归纳：认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键。【变式训练】1.如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x(单位：x)，弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是（）A．① B．④ C．②或④ D．①或③【答案】D【解析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为①③.2.（2019•四川省凉山州•5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【答案】4【解答】解：∵∠BEP＋∠BPE＝90°，∠QPC＋∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2＋4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．3.（2019•湖北省咸宁市•3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是②③（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③【解答】解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即42＋x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，∴，∴，∴MN＝2QN＝2．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点E，F分别在边BC，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解析】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝∠DEF＋∠FEC＋∠BED＝180°∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)解：∵△BDE∽△CEF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(DE,EF)，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(DE,EF)，又∵∠DEF＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠EFD＝∠CFE，∴FE平分∠DFC．5.（江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．[【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形；（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCG，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA＝OC，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得：EF2＝BE2＋BF2＝x2＋（8﹣x）2∴S＝x2＋（8﹣x）2＝2（x﹣4）2＋32，∵2＞0∴S有最小值，当x＝4时，S的最小值＝32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．6.．(2018·济宁)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC的周长的最小值．【解析】(1)CF＝2DG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90°.∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AD，CF＝eq\f(1,2)BC．∴DE＝CF＝eq\f(1,2)CD．∵∠ADC＝90°，EH⊥DF，∴∠CDF＋∠EDF＝90°，∠DEG＋∠EDF＝90°，∴∠DEG＝∠CDF，∴tan∠DEG＝tan∠CDF，∴eq\f(DG,DE)＝eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(DG,CF)＝eq\f(1,2)，∴CF＝2DG.(2)解：如图，在NB上取一点Q，使NQ＝NC，连接DQ交MN于点P，连接PC．∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BC．又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ，∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ.由“两点之间，线段最短”知，此时PD＋PC最小．又∵CD＝10，∴△PDC的周长的最小值为PD＋PC＋CD＝DQ＋10.易知∠MEH＝∠MHD＝∠CDF，∴tan∠MEH＝tan∠MHD＝tan∠CDF，即eq\f(MH,ME)＝eq\f(MD,MH)＝eq\f(1,2)，∴ME＝2MH，MH＝2MD．设MD＝t，则MH＝2t，ME＝4t，∴DE＝5t，∴CD＝2DE＝10t＝10，∴t＝1，∴CQ＝2DM＝2.在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝eq\r(CD2＋CQ2)＝eq\r(102＋22)＝2eq\r(26)，将△PDC周长的最小值为2eq\r(26)＋10.7.（2019•湖北十堰•10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE＋CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD＋DF＋EF∴AE＝BE＋CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝8∵AC2＝AE2＋CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2＋CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．8.如图1，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．(1)求AO与BO的长；(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC∶BD＝2∶3，试计算梯子顶端A下滑了多少米？②如图3，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【解析】：(1)BO＝AB·cos60°＝4×eq\f(1,2)＝2(m)，AO＝AB·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(m)，所以BO＝2m；AO＝2eq\r(3)m；(2)①设AC＝2x，BD＝3x，在Rt△COD中，OC＝2eq\r(3)－2x，OD＝2＋3x，CD＝4m，根据勾股定理有OC2＋OD2＝CD2，∴(2eq\r(3)－2x)2＋(2＋3x)2＝42，∴13x2＋(12－8eq\r(3))x＝0，∵x≠0，∴13x＋12－8eq\r(3)＝0，∴x＝eq\f(8\r(3)－12,13)m，∴AC＝2x＝eq\f(16\r(3)－24,13)m．所以梯子顶端A沿NO下滑了eq\f(16\r(3)－24,13)m.②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA＝PO，P′A′＝P′O，∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′，∴∠P′A′O－∠PAO＝∠A′OP′－∠AOP，∴∠P′A′O－∠PAO＝∠POP′＝15°，又∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°，∴A′O＝A′B′·cos45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)(m)，∴AA′＝AO－A′O＝(2eq\r(3)－2eq\r(2))m.9.(2018·岳阳)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线折叠，使点B落在点B′处，连接AB′，延长CD交BB′于点E，设∠ABC＝2α(0°＜α＜45°)．(1)如图(1)，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；(2)如图(2)，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系(用含α的式子表示)；(3)如图(3)，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转(α＋45°)，得到线段FC，连接EF，交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求eq\f(S1,S2)(用含α的式子表示)．证明：（1）由折叠的性质可知，点B，B′关于直线CE对称，∴CE垂直平分BB′，∴BE＝B′E＝eq\f(1,2)BB′，∠CEB′＝∠CEB＝90°，∠ACE＝∠BCE.∵∠BAC＝90°，∴∠BAB′＝∠BAC＝90°.又∵∠BB′A＋∠B′BA＝∠BB′A＋∠ACE＝90°，∴∠B′BA＝∠ACD．在△ABB′和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAB′＝∠BAC，,AB＝AC，,∠B′BA＝∠ACD，))∴△ABB′≌△ACD，∴BB′＝CD，∴CD＝2BE；(3)易得∠CEB＝90°，∠ACE＝∠ECB．∵∠ABC＝2α，∴∠ACB＝90°－2α，∴∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB＝45°－α.由旋转知，∠BCF＝45°＋α，∴∠ECF＝∠ECB＋∠BCF＝90°，∴∠BEC＋∠FCE＝180°，∴CF∥BE，∴∠EBO＝∠FCO，∠BEO＝∠CFO，∴△BEO∽△CFO，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(EO,FO).在Rt△BEC中，sin∠ECB＝eq\f(BE,BC)，∠ECB＝45°－α，∴sin(45°－α)＝eq\f(BE,BC).设点C到EF的距离为h，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)EO·h,\f(1,2)FO·h)＝eq\f(EO,FO)＝eq\f(BE,CF)＝eq\f(BE,BC)，∴eq\f(S1,S2)＝sin(45°－α)．(2)由(1)得，B′B＝2BE，∠BAB′＝∠BAC＝90°，∠B′BA＝∠ACD，∴△ABB′∽△ACD，∴eq\f(CD,BB′)＝eq\f(AC,AB)，∴eq\f(CD,2BE)＝eq\f(AC,AB).在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan2α＝eq\f(AC,AB)，∴eq\f(CD,2BE)＝tan2α，∴CD＝2BE·tan2α；10.(2019•浙江丽水•12分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．(1)如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．(2)已知点G为AF的中点．①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．【解答】(1)证明：如图1，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∵CD＝CF，∴AD＝CF，∵∠ADC＝∠DCF＝90°，∴AD∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴OD＝OC，∴BD＝2OD．(2)①解：如图2，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，∵