高中数学 2019各省市压轴题

第1页（共1页）2019各省市压轴题一．选择题（共11小题）1．（2019•重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为A． B． C． D．2．（2019•杭州）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于A． B． C． D．3．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则A．或 B．或 C．或 D．或

4．（2019•天津）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是A． B． C． D．5．（2019•天津）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．36．（2019•南京）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

7．（2019•安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是A．0 B．4 C．6 D．88．（2019•苏州）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为A．6 B．8 C．10 D．129．（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是A． B． C． D．图象的对称轴是直线

10．（2019•德州）在下列函数图象上任取不同两点，、，，一定能使成立的是A． B． C． D．11．（2019•德州）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④二．填空题（共14小题）12．（2019•重庆）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留

13．（2019•重庆）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是米．14．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于．15．（2019•天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为．

16．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，，，经过点，的圆的圆心在边上．（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使其满足，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．17．（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是．18．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是．19．（2019•安徽）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为．20．（2019•苏州）如图，扇形中，．为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点．若，，则该扇形的半径长为．21．（2019•河南）如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为．22．（2019•河南）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为．23．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为．24．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为．

25．（2019•德州）如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为．（用含的式子表示）三．解答题（共15小题）26．（2019•重庆）如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接．（1）若，，，求的面积．（2）若，，求证：．

27．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．（1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．（1）若，①求证：．②当时，求面积的最大值．（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．29．（2019•杭州）设二次函数，是实数）．（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．30．（2019•天津）已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．31．（2019•南京）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．（参考数据：，．

32．（2019•南京）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．小明的作法1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．

33．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．【数学理解】（1）①已知点，则．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是．（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

34．（2019•苏州）如图①，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6．（1）求的值；（2）求外接圆圆心的坐标；（3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，且，求点的坐标．35．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点，点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接．（1）求点、、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过项点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与△相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？36．（2019•河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．（1）观察猜想如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．37．（2019•河南）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．①当是直角三角形时，求点的坐标；②作点关于点的对称点，则平面内存在直线，使点，，到该直线的距离都相等．当点在轴右侧的抛物线上，且与点不重合时，请直接写出直线的解析式．，可用含的式子表示）38．（2019•成都）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．39．（2019•德州）（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．40．（2019•德州）如图，抛物线与轴交于，，，两点，与轴交于点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若，，，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；（3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标．

2019各省市压轴题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2019•重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，，是边上的中点，，由翻折知，，垂直平分，，，，，为等边三角形，，，，在△中，，，，，，在中，，，，，故选：．2．（2019•杭州）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于A． B． C． D．【解答】解：作于点，作于点，四边形是矩形，，，，，，，，，故选：．3．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：，△，函数的图象与轴有2个交点，，函数，当时，△，函数的图象与轴有2个交点，即，此时；当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时；综上可知，或．故选：．4．（2019•天津）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是A． B． C． D．【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，，，，故错误，错误；，，，，故正确；不一定等于，不一定等于，故错误故选：．5．（2019•天津）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：当时，，当时，，，，，①正确；是对称轴，时，则时，，和3是关于的方程的两个根；②正确；，，，，当时，，，，③错误；故选：．6．（2019•南京）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是A．①④ B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转，即可得到△；先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到△；故选：．7．（2019•安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是A．0 B．4 C．6 D．8【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，点，将对角线三等分，且，，，点与点关于对称，则在线段存在点到点和点的距离之和最小为在线段上点的左右两边各有一个点使，同理在线段，，上都存在两个点使．即共有8个点满足，故选：．8．（2019•苏州）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：四边形是菱形，，，，沿点到点的方向平移，得到△，点与点重合，，，，，；故选：．9．（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是A． B． C． D．图象的对称轴是直线【解答】解：．由于二次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故错误；．二次函数的图象与轴由2个交点，所以，故错误；．当时，，即，故错误；．因为，，所以对称轴为直线，故正确．故选：．10．（2019•德州）在下列函数图象上任取不同两点，、，，一定能使成立的是A． B． C． D．【解答】解：、随的增大而增大，即当时，必有当时，，故选项不符合；、对称轴为直线，当时随的增大而增大，当时随的增大而减小，当时：当时，必有此时，故选项不符合；、当时，随的增大而增大，即当时，必有此时，故选项不符合；、对称轴为直线，当时随的增大而减小，即当时，必有此时，故选项符合；故选：．11．（2019•德州）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④【解答】解：四边形是正方形，，，，，，在与中，，，；故①正确；，，，，，，，，；故②正确；作于，设，，则，，由，可得，由，可得，，，，，，，，，；故③正确，设的面积为，，，，的面积为，的面积为，的面积的面积，，故④错误，故选：．二．填空题（共14小题）12．（2019•重庆）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留【解答】解：四边形是菱形，，，，，由勾股定理得，，，，阴影部分的面积，故答案为：．13．（2019•重庆）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是6000米．【解答】解：由题意可得，甲的速度为：米分，乙的速度为：米分，乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，则乙回到公司时，甲距公司的路程是：（米，故答案为：6000．14．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于．【解答】解：四边形是矩形，，，设，由翻折可知：，，△的面积为4，△的面积为1，，设，则，△△，，，，或（舍弃），，，，，，，，，矩形的面积．故答案为15．（2019•天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为．【解答】解：四边形为正方形，，，由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，，，，又，，，，在中，，，，，，，，故答案为：．16．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，，，经过点，的圆的圆心在边上．（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使其满足，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ），故答案为：；（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，则点满足，故答案为：取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，则点满足．17．（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是．【解答】解：作的外接圆，如图所示：，，当时，是直径最长，，，，，，；当时，是等边三角形，，，长的取值范围是；故答案为：．18．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是或．【解答】解：与轴的交点为，平移直线，可以使，都在轴的下方，当时，，，或；故答案为或；19．（2019•安徽）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为．【解答】解：连接并延长交于，连接，则，，的半径为2，，，，，，故答案为：．20．（2019•苏州）如图，扇形中，．为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点．若，，则该扇形的半径长为5．【解答】解：连接，如图所示．，，．，为等腰直角三角形，．设该扇形的半径长为，则，在中，，，，即，解得：．故答案为：5．21．（2019•河南）如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为．【解答】解：作于点，在扇形中，，半径交弦于点，且．，，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故答案为：．22．（2019•河南）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为或．【解答】解：分两种情况：①当点落在边上时，如图1．四边形是矩形，，将沿折叠，点的对应点落在边上，，，，；②当点落在边上时，如图2．四边形是矩形，，．将沿折叠，点的对应点落在边上，，，，，．在与△中，，△，，即，解得，（舍去）．综上，所求的值为或．故答案为或．23．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为．【解答】解：在边长为1的菱形中，，，，将沿射线的方向平移得到△，，，当时，的值最小，，，，，，，四边形是矩形，，，，的最小值为，故答案为：．24．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6．【解答】解：设，点的坐标为，，的面积，，结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）当时，有6个整数点；当时，有5个整数点；当时，有4个整数点；可知有6个或5个或4个整数点；故答案为4或5或6；25．（2019•德州）如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为．（用含的式子表示）【解答】解：过作轴于，，，△是等边三角形，，，和，过作轴于，，△是等边三角形，设，则，△中，，，，解得：（舍，，，，即的纵坐标为；过作轴于，同理得：△是等边三角形，设，则，△中，，，，解得：（舍，；，，即的纵坐标为；为正整数）的纵坐标为：；故答案为：；三．解答题（共15小题）26．（2019•重庆）如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接．（1）若，，，求的面积．（2）若，，求证：．【解答】（1）解：作于，如图1所示：设，则，在中，，在中，，，解得：，即，，，，；（2）证明：连接，如图2所示：，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，又，，．27．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．（1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点令解得：，，令，解得：，，，点为抛物线的顶点，且，点的坐标为直线的解析式为：，由题意，可设点，则点当时，取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，，，在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，且点，，直线的解析式为：点，的最小值即为的长，且；（2）由（1）知，点，把点向上平移个单位得到点点在中，，，取的中点，连接，则，此时，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点①如图2点落在轴的负半轴，则，过点作轴交轴于点，且则，，解得：在中根据勾股定理可得点的坐标为，；②如图3，当点落在轴的正半轴上时，同理可得，③如图4当点落在轴的正半轴上时，同理可得，④如图5当点落在轴的负半轴上时，同理可得，综上所述，所有满足条件的点的坐标为：，，，，，，，28．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．（1）若，①求证：．②当时，求面积的最大值．（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．【解答】解：（1）①连接、，则，，；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，当过点时，最大，即：，面积的最大值；（2）如图2，连接，设：，则，，则，，，，，即：，化简得：．29．（2019•杭州）设二次函数，是实数）．（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．【解答】解：（1）当时，；当时，；二次函数经过点，，，，，当时，，乙说点的不对；（2）对称轴为，当时，是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过和两点，，，，，，．30．（2019•天津）已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，，即，当时，，抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为，点在抛物线上，，由，得，，点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧，如图1，过点作轴，垂足为，则点，，，得，在中，，，由已知，，，；（Ⅲ）点，在抛物线上，，可知点，在第四象限，且在直线的右侧，，可取点，如图2，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，由，得，则此时点满足题意，过点作轴于点，则点，，在中，可知，，，点，，解得，，，，．31．（2019•南京）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．（参考数据：，．【解答】解：延长交于，则，在中，，，在中，，，在中，，，由题意得，，解得，，，，，，，，答：隧道的长度为．32．（2019•南京）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．小明的作法1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．【解答】（1）证明：，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．（2）如图1中，当四边形是正方形时，设正方形的边长为．在中，，，，，则，，，，，，观察图象可知：时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．，，，解得，，如图3中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．，，，，，，观察图象可知：当或时，菱形的个数为0，当或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．33．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．【数学理解】（1）①已知点，则3．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是．（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【解答】解：（1）①由题意得：；②设，由定义两点间的距离可得：，，，，解得：，，故答案为：3，；（2）假设函数的图象上存在点使，根据题意，得，，，，，，，△，方程没有实数根，该函数的图象上不存在点，使．（3）设，根据题意得，，，又，，，当时，有最小值3，此时点的坐标是．（4）如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处．理由：设过点的直线与轴相交于点．在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线，与轴相交于点．，，，同理，，，，，上述方案修建的道路最短．34．（2019•苏州）如图①，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6．（1）求的值；（2）求外接圆圆心的坐标；（3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，且，求点的坐标．【解答】解：（1）令，即解得，由图象知：，解得：，舍去）（2）设直线，由，，可得，且即直线，、的中点坐标为，线段的垂直平分线解析式为：，线段的垂直平分线为代入，解得：外接圆圆心的坐标（3）作轴，则、到的距离相等，设直线解析式为：直线经过点所以：直线的解析式为联立解得：点坐标为又可得：设由得：解得：，（舍去）坐标为35．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点，点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接．（1）求点、、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过项点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与△相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？【解答】解：（1）令，解得，．，．由得，；（2）证明：轴于点，，，△，，，，，，，，，是等边三角形，，绕点顺时针旋转得到，，，，，，四边形是平行四边形；（3）点是抛物线上一动点，设点，①当点在点的左侧时，与△相似，或，或，解得：（不合题意舍去），或（不合题意舍去）；当点在点的右侧时，与△相似，或，或，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）或（不合题意舍去），（不合题意舍去）；当点在之间时，与△相似，或，或，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）或（不合题意舍去），；综上所述，点的横坐标为或或；②由①得，这样的点共有3个．36．（2019•河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．（1）观察猜想如图1，当时，的值是1，直线与直线相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1中，延长交的延长线于，设交于点．，，，，，，，，，，线与直线相交所成的较小角的度数是，故答案为1，．（2）如图2中，设交于点，交于点．，，，，，，，，直线与直线相交所成的小角的度数为．（3）如图中，当点在线段上时，延长交的延长线于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四点共圆，，，，，设，则，，．如图中，当点在线段上时，同法可证：，设，则，，，．37．（2019•河南）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．①当是直角三角形时，求点的坐标；②作点关于点的对称点，则平面内存在直线，使点，，到该直线的距离都相等．当点在轴右侧的抛物线上，且与点不重合时，请直接写出直线的解析式．，可用含的式子表示）【解答】解：（1）当时，，点的坐标为；当时，，解得：，点的坐标为．将，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为．