高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题4 第1课时空间几何体及空间中的平行与垂直练习题 理

（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题4第1课时空间几何体及空间中的平行与垂直练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析：由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.答案：D2．(2013·湖北省八校联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝()A．1∶2 B．2∶1C．1∶1 D．1∶4解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－eq\f(8π,3)＝eq\f(16π,3)，V2＝eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，V1∶V2＝1∶2.答案：A3．(2013·全国大纲卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.答案：B4．(2013·浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3 B．100cm3C．92cm3 D．84cm3解析：此几何体为一个长方体ABCD－A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A－DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6,3,6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为eq\f(1,3)×eq\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3)))×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．答案：B5．将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直解析：在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.答案：C6．(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A．eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C．eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析：因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).答案：C7．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1解析：由题意知该三棱柱的侧(左)视图为矩形，该矩形的长为2，宽为底面正三角形的高，其值为eq\r(3)，所以其侧(左)视图的面积是2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为eq\f(32π,3)，则该三棱柱的体积为________．解析：根据球的体积计算公式，该球的半径是2.设三棱柱的高为2a，根据题意，得a2＋1＝4，得a＝eq\r(3)，故这个三棱柱的高是2eq\r(3)，其体积是eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×2eq\r(3)＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析：①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.答案：②④10．(2013·广州调研)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．(1)求证：AD⊥PC；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．解析：(1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的射影是线段CD的中点E，如图，连接PE，则PE⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PE.∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，∴AD⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC.(2)依题意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，在Rt△PED中，PE＝eq\r(PD2－DE2)＝eq\r(5).过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PE.∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，∴AB⊥平面PEF.∵PF⊂平面PEF，∴AB⊥PF.依题意得EF＝AD＝2.在Rt△PEF中，PF＝eq\r(PE2＋EF2)＝3，∴△PAB的面积S＝eq\f(1,2)·AB·PF＝6.∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6.11．(2013·江苏卷)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.证明：(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC.在直角梯形BCDE