2022届高三一轮复习提高-学案16-数归与极限（教师版）

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第十六讲

数归与极限

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知识框架

知识梳理

一、归纳法与极限

1.数学归纳法是一种化猜测到理论验证的重要推理方法，核心在于从初始值建立的循环证明，要求理解初

始值与循环认识情况下再掌握归纳证明步骤与技巧

2.极限体现出无穷处的近似情况，不但要求掌握几类极限及运算性质以外，还要求深耕概念，近些年出现

不少题属于定义中的无穷处一规律理解的

二、归纳法与不完全归纳法

1.初始值，指的不是第一个成立的值，准确的应该指出是能形成循环的第一个值，如：2"中学生就易

理解出错以为答案是%=1

2.循环结构的证明体现的是下一项的推出成立，如奇数项设法

(1)利用归纳法证明关系式步骤，特别是关系式中含参可先可具体值列出方程组求得参数后再进行论证

⑵利用归纳法证明整除问题

(3)利用归纳法证明不等式

(4)注意循环结构的逆否命题与原命题等价

3.不完全归纳法体现由特殊值的归纳猜想到一般的理论证明恒成立

(1)对数列递推公式归纳出通项的理论证明

三、数列的极限

1.极限的定义体现无穷大处的近似情况，要关注无穷大处是否收敛决定是否有极限

(1)分段数列的极限要注重〃f8时取值，而不是各段分别取极限

⑵一个数列在无穷处极限体现近似，与具体项并无关系，即：lim4=lima曲=lim软由(k,beN*)

n—x®n—x®n—><x>

(3)数列与数列之间具有一定关系，其如果都具有极限，也容易观察出一些结论，如：夹逼或绑架

2.数列的几个常见公式：常数型、多项式型、指数型、无穷递缩等比数列型，注意省略号问题要先求和再

求极限

3.数列的极限运算性质必须注意前提是各数列具有极限才能进一步加减乘除及乘方开方运算

例题讲解,

例1.(2020黄浦区期末)用数学归纳法证明:(〃+1)(〃+2)...(〃+〃)=2"13..」(2〃-1)(〃€%").从左伏€[”)

到％+1,若设/(6=伏+1)(左+2)…伏+氏)，则/也+1)等于()

2〃+124+1

A.f(Z)+[2(2A+l)]B./(Q[2(2Z+1)]C./W+--D./(A:)-——

k+\k+\

【难度】★★★

答案：B.

%%3…4〃、

〃21%2%…a2n

例2.(2020静安区期末)%«32《3…。3”，〃“*5)个正数排成"行”列方阵，其中每一行从左至

a

„24,3…4，，”

右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数4的等比数列.已知《2=1,44=2,a55=A.

(1)设勿=4“，求数列｛4｝的通项公式;

(2)设S*=%+%+%+…+%],求证：Sn<l(nGN*)；

(3)设£=%+%+43+…+6,请用数学归纳法证明:T“=2-号(nwN*).

【难度】★★★★

答案：(1)2=工+，〃-1)=4；(2)S“=l-(g)",(3)证略

例3.是否存在常数。，使得〃2+(“+1)2+...+(“+〃)2=二(“+1)(。〃+1)对任意正整数”都成立，并证明

6

你的结论。

【难度】★★★

答案：a=14

例4.在数列｛4｝中，％=1,%=2%+(n22,〃GN*),计算4，4，4的值，猜想数列｛%｝的

通项公式％=/(〃)，并用数学归纳法加以证明。

【难度】★★★★

22522

答案：a,=3x2一：,%=3x2—^,a4=3x2""—猜想=/(〃)=3x2"~---ns.N*)

f2n-l,n<2020

例5.（2020嘉定区校级期中）已知为1“t，S”是数列｛%｝的前〃项和（）

A.lima”存在，limS〃不存在

〃->a>n-xx）

B.lima〃不存在，limS“存在

〃一>8〃一>8

C.1加”“和出115“都存在

〃T8〃一>8

D.lima和limS都不存在

n—>oo〃一n>gn

【难度】★★★

答案：C.

例6.（2020浦东新区校级月考）己知数列｛《,｝满足。用=片-34+4,4=3,则下列选项错误的是（

）

A.数列｛4｝单调递增

B.不存在正数M,使得恒成立

C.+...+—^—）=1

00

I4-1atl-1

D.4no=101

【难度】★★★

答案：D.

例7.（2021金山区二模）若首项为1、公比为1的无穷等比数列的各项和为S,S,,表示该数列的前〃项

3

和,则lim©+S,+…+S”一nS）的值为

"->00

【难度】★★★

答案：一之.

4

例8.（2021宝山区校级月考）数列｛““｝中，若q=1,4+%=（-g）"（〃eN且〃..1）,则

lim（q+/+...+%）=

M->+0O

【难度】★★★

答案：-2.

3

例9.（2020杨浦区校级期末）已知一个圆心位于坐标原点的单位圆与X轴正半轴交点为A.若一个粒子

从A点出发沿单位圆逆时针旋转》弧度到达A点，接着顺时针旋转工弧度到达A,点，再逆时针旋转工弧

24

度到达4点，再顺时针旋转今弧度到达4点.以后按照逆时针、顺时针交替旋转，每次旋转的角度大小

都是上一次的一半.这样无限进行下去，则粒子到达极限位置时其横纵坐标之和为

【难度】★★★★

答案：写.

针对训练

1.(2020黄浦区期末)若将直线x+y-1=0,nx+y-n=0,x+ny-n=0(nGN",几.2)围成的三角形

面积记为Stl,则limSn=

【难度】★★★

答案：1

2

n(〃,2)

2.（2020上海模拟）已知数列｛4｝的通项公式为q=1(〃eN*),S,是数列｛七｝的前"项和,

nI.3)

则limS„=

【难度】★★★

答案：2.

2

3.(2019春•浦东新区校级期末)lim(l+—+一!一+……+------5-------)=

“廿1+21+2+31+2+3+...+«

【难度】★★★

答案：2.

4.（2021青浦区二模）已知直线/:y=-x+1与x轴交于点A,将线段OA的«等分点从左至右依次记为Pt,

P2,....P„_y,过这些分点分别作x轴的垂线，与直线/的交点依次为0,Q2...,。小，从而得到1个

直角三角形△QQ6，△Q,《B....△Qi匕/，，若这些三角形的面积之和为S“，则limS“=

M-XX5

【难度】★★★★

答案：

4

（-l/'.M2019

5.（2019杨浦区校级期末）己知数列｛七｝的通项公式q=1n2019,前〃项和为S,,,则关于数

（2）,n..

列｛©｝、｛S“｝的极限，下面判断正确的是（）

A.数列的极限不存在、｛S,,｝的极限存在

B.数列｛““｝的极限存在、｛S,,｝的极限不存在

C.数列｛4｝、｛S,,｝的极限均存在，但极限值不相等

D.数列｛“,,｝、｛S“｝的极限均存在，且极限值相等

【难度】★★★

答案：D.

6.是否存在常数a,8c,使得等式L22+2S2…+〃（〃+1）2=如工（。〃2+加+。）对一切自然数〃都成

12

立，并证明你的结论。

【难度】★★★

答案：存在a=3,b=ll,c=10

7.用数学归纳法证明32,（+2—8〃一9（〃eN）能被64整除

【难度】★★★

答案：证略

8.（2020杨浦区校级期末）设数列区｝各项均为正数，且满足片+后+…+片=2/+2〃，（〃eN*）.

（1）求数列｛x“｝的通项公式x.：

（2）己知一）—+―!—+...+―!—=3,求”；

%x2+x3x“+x,用

（3）试用数学归纳法证明：取2+“2七+…+怎Z+I<2[（〃+1）2-1].

【难度】★★★★

答案：（1）%=2册；（2）―!—=”=48；（3）证略

x“+x“+i2

能力提升

1.(2020浦东区木莫)己知x+x?+X，+...+xn=〃()+q(x—3)+a,(x—3)~+%(x—3)，+...+a“(x—3)”

*A

(neN*)且A=4)+4+a,+...+〃“，则lim—=______

"f84"

【难度】★★★★

答案：-

3

2.(2021普陀区模拟)如图，曲线C:孙=l(x>0)与直线/:y=x相交于A，作人与J./交x轴于用，作

44///交曲线C于4,....以此类推.

(1)写出点4、A2、43和四、与、鸟的坐标；

答案：(1)4(1,1),4(2,0),4(四+1,V2-1),纥(2后，0),4(G+&,G-亚)，B、Q上,

0).(2)猜想4(册+，〃-1,y/n-y/n-l),

4A

熟练精进

1.(2020上海自主招生)lim[」一+」一+...+—!—]=______

1x42x5〃(〃+3)

【难度】★★

答案：—.

18

2.(2019宝山区校级期末)已知a,b为常数,若lim""+""+4=l,贝Ua+6=______

“fg2n+3

【难度】★★★

答案：2.

3.（2021杨浦区二模）直线/:（〃+2）工一〉+2〃-1=0（〃£77'）被圆。:（工一1）2+丁=16所截得的弦长为4,

则limd〃=

【难度】★★★

答案：2币.

4.（2021闵行区二模）在无穷等比数列他“｝中，a,=1,a=—,则lim（q+%+…+%）=______

527〃->oo

【难度】★★

答案：-.

2

5.（2021黄浦区二模）无穷等比数列｛4｝（〃€*,/eR）的前"项和为S“，且limS“=3则首项4的取

〃一>8

值范围是

【难度】★★

答案:（0,2）52,4）.

6.（2021浦东新区校级模拟）若｛a,,｝是等比数列，且lim（q+%+…+a“）=lim（a：+G+…+片）=2,贝I4=

【难度】★★

答案：

3

7.某个命题与正整数〃有关，如果当〃=&（ZeN+）时命题成立，那么可推得当〃=%+1时命题也成立.现

已知当〃=7时该命题不成立，那么可推得（）

A.当"=6时该命题不成立B.当"=6时该命题成立

C.当〃=8时该命题不成立D.当〃=8时该命题成立

【难度】★★

答案：A.

8.用数学归纳法证明1+,+1+…+—〃>1）时，第一步应验证不等式（）

232"-1

A.l+-<2B.1+-+-<2C.1+-+-<3D.1+-+-+-<3

2