2022年人教A版高中数学必须一课时提升作业(二十七)

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课时提升作业（二十七）

指数型、对数型函数模型的应用举例

25分钟基础练（25分钟

60分)

一、选择题（每题5分，共25分）

1.某林场方案第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%,那

么第四年造林

)

A.14400亩B.172800亩

C.17280亩D.20736亩

【解析】选C.设第x年造林y亩，那么y=10000（l+20%）i,所以x=4

时，y=10000X1.2J17280（亩）.

2.（2022•四平高一检测）某化工厂2022年的12月份的产量是1月份

产量的n倍，那么该化工厂这一年的月平均增长率是（）

nn

A.11B,12C.%D.%伍-1

【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,那么有

a（l+x）11=na,所以l+x'U",所以X」ST.

3.（2022•长沙高一检测）在一次教学实验中，运用图形计算器采集到

如下一组数据：

X-2.00-1.0001.002.003.00

y0.240.5112.023.988.02

那么x,y的函数关系与以下各类函数中最接近的是（其中a,b为待定

系数）

()

b

A.y=a+xB.y=a+bx

x

C.y=a+logbxD.y=a,b

b

【解析】选D.因为f(0)=1,所以A.y二a+\C.y=a+logbX不符合题意.

la4-bx0=1,|a=L

先求y二a+bx,由匕+b=2.02,得lb=1・。2,所以y=1+102x>当x=.2

时，1+1.02X(-2)=-1.04,不满足题意，选项B错误.

ja，b°=L]a=L

f石+.943ab=2.02,lb=2.02,

下面求y=a・b,由得

所以y=2.02x,满足题意，选项D正确.

4.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增

加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,那么沙漠增加数

y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（）

x2+2x

A.y=0.2xB.y=

2X

C.y=l°D.y=0.2+logi6x

【解题指南】利用所给函数，分别令x=1,2,3,计算相应的函数值，即

可求得结论.

［解析］选C.对于A,x=1,2时,符合题意，x=3时,y=0.6,与0.76相差

0.16;

对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时，y=1.5,相差较大，不符合

题意；

对于C,x=1,2时,符合题意，x=3时，y=0.8,与0.76相差0.04,与A比

•I以，更符合题意；

对于D,x=1时，y=0.2；x=2时,y=0.45;x=3时，y<0.6,相差较大，不符合

题意.

5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表:

X123・・・

y138•••

那么下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（）

A.y=2x-lB.y=x2-l

C.y=2-lD.y=1.5x-2.5x+2

【解析】选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，可知

应选D

二、填空题（每题5分，共15分）

6.（2022•镇江高一检测）某细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次

（由一个分裂成两个），那么这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过

小时.

【解析】设共分裂了x次,那么有2・4096,即2X=212,所以x=12.所用

的时间为15分钟X12=180分钟=3小时.

答案：3

7.“学习曲线〃可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数

（i-；）

t=-1441g中，t表示到达某一英文打字水平所需的学习时

间,N表示每分钟打出的字数.那么当N=40时,t=.（1g5g

0.699,1g3go.477）

【解析】当N=40时，那么t=-1441g'

5

=7441g9

=-144(lg5-2lg3)%36.72.

答案：36.72

8.(2022•扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有

两个拟合模型，甲：y=x?+l;乙:y=3xT.假设又测得(x,y)的一组对应

值为(3,10.2),那么应选用作为拟合模型较好.(填"甲”或

“乙”)

【解析】图象法，即描出的三个点的坐标并画出两个函数的图象如下

图，比拟发现选甲更好.

答案：甲

三、解答题(每题10分，共20分)

9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使

该物质上的细菌少于原来的0.1%,那么至少要喷洒多少次？(lg2七

0.3010)

【解析】设喷洒x次，该物质上原有细菌为a,那么a(l-60%)x<0.1%a

3

lg10-.3

x3

即(1-60%)<0.1%,xlgO.4<lgl0,解得x>坨°4=21g2-5>故

至少要喷洒8次.

10.某工厂今年1月，2月，3月，4月生产某种产品分别为1万件，1.2

万件，1.3万件,1.37万件,为了以后估计每个月的产量，以1,2两个月

的产品数据为依据.用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x

的关系，模拟函数可选用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a,0.5x+c,其中

q,r,a,c为常数,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?说明理由.

【解析】用g(x);a•0.5x+c作为模拟函数较好,理由如下：

f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得

I.0.05+q+r=1,

14x(-0.05)+2q+r=1.2,35,-0.7,f⑶=1.3,f(4)=1.3；

而对于g(x)=a,0.5x+c,

由g⑴=1,g(2)=1.2,得

0.5a4-c=1,

nq2ac—12

'a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用

g(x)=a,0.5*+c作为模拟函数较好.

【拓展延伸】函数建模的根本思想

意

确

明

题

结

设

题

与

系

数

学

关

系

数

量

关

空

置

位

间

分析、联想、转化、抽象

在分析

联想

上

础

化为

转

题

问

抽象

，

个

一

几个

或

型

模

求解

来

解答数学问题

得出数学问题的结论建立数学模型

现分钟提升练(20分钟40分)

一、选择题(每题5分，共10分)

1.(2022曲山高一检测)假设镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,

设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,那么x,y的函数关系是

()

X

A.y=(0・9576)顽B.y=°9576)x

仅9576yx

\100),xioo

C.y=D.y=l-(0.0424)

【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%,那么有

95.76%=1•(1-t%)100,

（95.76严*

\100）”,,、而

t%=1-，所以y=（1-t%）x=（0.9576）.

2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半

衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（）

0.50.92ig0.5ig0.92

0925

A.Ig-B.1g0-C.恒092D,lg0.5

a

【解析】选C.由题意得a（1-8%»=2,

所以。92f=0.5.两边取对数得IgO.92t=lg0.5,

所以11gO.92=IgO.5.故t=1§0-92.

【误区警示】解答此题容易因无视利用两边取对数的方法求出t的值

而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.

二、填空题（每题5分，共10分）

3.（2022•鹰潭高一检测）在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速

度v（米/秒）和燃料的质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）

（M）

的函数关系式是v=2000•In1+m.当燃料质量是火箭质量的

倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.

Q+9

【解析】当v=12000时，2000・In=12000,

所以In=6,所以m=e6-1.

答案：e）

3

【补偿训练】用清水洗衣服,假设每次能洗去污垢的士要使存留的污

垢不超过1%,那么至少要洗的次数是.

【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗X次后污垢含量表示

出来，列出不等式，最后解不等式求出.

'47^100所以X》lg2心3.32,

【解析】选B.设要洗x次，那么

因此至少要洗4次.

答案：4

4.（2022•邵武高一检测）如下图，某池塘中

浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系

y=a：有以下几种说法：

①这个指数函数的底数为2;

②第5个月时,浮萍面积就会超过

30m2;

③浮萍从4m?蔓延到12m2需要经过1.5个月;

④浮萍每月增加的面积都相等.

其中正确的命题序号是.

【解析】由图象知,t=2时，y=4,

所以a?=4,故a=2,①正确.

当t=5时，y=25=32>30,②正确，

当y=4时，由4=21知ti=2,

当y=12时,由12=212知t2=log212=2+log23.

t2-匕=log23Hl.5,故③错误；

浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误.

答案:①②

三、解答题(每题10分,共20分)

5.一片森林原来面积为a,方案每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百

分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年,为保护生态环

1

境,森林面积至少要保存原面积的”,到今年为止，森林剩余面积为原

退

来的2.

(1)求每年砍伐面积的百分比.

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),那么a(1-x)10=za,

I

即(1-x)10=2

解得x=1-

⑵设经过m年，森林剩余面积为原来的2,那么

m1

1

a(1-x)”=*2a,即©:©「-0=2,解得m=5,故到今年为止，已砍伐

了5年.

【延伸探究】此题条件不变的情况下，问今后最多还能砍伐多少年？