新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第三周 （含解析）

第三周周一1．(2020·东三省四市模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2bcosC＋csinB.(1)求tanB；(2)若C＝eq\f(π,4)，△ABC的面积为6，求BC.解(1)∵2a＝2bcosC＋csinB，利用正弦定理可得，2sinA＝2sinBcosC＋sinCsinB，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，化为2cosB＝sinB≠0，∴tanB＝2.(2)∵tanB＝2，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得sinB＝eq\f(2,\r(5))，cosB＝eq\f(1,\r(5)).∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(3\r(10),10).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得a＝eq\f(b,\f(2,\r(5)))×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(2)b,4).又eq\f(1,2)absineq\f(π,4)＝6，可得b＝eq\f(12\r(2),a).∴a＝eq\f(3\r(2),4)×eq\f(12\r(2),a)，即a2＝18，解得BC＝a＝3eq\r(2).周二2．已知正数数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且满足an＋2－an＝4(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前100项和T100.解(1)①当n为奇数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝eq\f(n－1,2)×4＋a1＝2n－1.②当n为偶数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝eq\f(n－2,2)×4＋a2＝2n－1.综上，an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·(2n－1)，∴T100＝b1＋b2＋…＋b100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2＋2＋2＋…＋2＝2×eq\f(100,2)＝100.周三3．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1,2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．令ui＝xeq\o\al(2,i)，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\x\to(y))2eq\x\to(u)eq\x\to(v)20667702004604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\x\to(v))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))·(vi－eq\x\to(v))3125000215000.30814(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)；②参考数据：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.解(1)r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,12,)ui－\x\to(u)2\i\su(i＝1,12,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(21500,\r(3125000×200))＝eq\f(21500,25000)＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\x\to(x)vi－\x\to(v),\r(\i\su(i＝1,12,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,12,)vi－\x\to(v)2))＝eq\f(14,\r(770×0.308))＝eq\f(14,77×0.2)＝eq\f(10,11)≈0.91，则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好(2)①先建立v关于x的线性回归方程．由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx.由于eq\o(λ,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\x\to(x)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,12,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(14,770)≈0.018，eq\o(t,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(λ,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.20－0.018×20＝3.84，所以v关于x的线性回归方程为eq\o(v,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，所以lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，则eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84.②下一年销售额y需达到90亿元，即eq\o(y,\s\up6(^))＝90，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84得，90＝e0.02x＋3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x＋3.84，所以x≈eq\f(4.4998－3.84,0.02)＝32.99，所以预测下一年的研发资金投入量是32.99亿元．周四4.(2020·深圳模拟)如图，已知直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1＝AC＝2BD＝4.点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF＝DQ，CP－BF＝DQ－AE＝1.(1)求证：E，F，P，Q四点共面，并证明EF∥平面PQB；(2)是否存在点P使得二面角B－PQ－E的余弦值为eq\f(\r(5),5)？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明因为直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，所以AC⊥BD，AA1⊥底面ABCD，设AC，BD的交点为O，以O为原点，分别以OA，OB所在直线，及过O且与AA1平行的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(－2,0,0)，D(0，－1,0)，设BF＝a，a∈[1,3]，则E(2,0，a－1)，F(0,1，a)，P(－2,0，a＋1)，Q(0，－1，a)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，所以EF∥PQ，故E，F，P，Q四点共面．又EF⊄平面PQB，PQ⊂平面PQB，所以EF∥平面PQB.(2)解假设存在点P，平面EFPQ中向量eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，eq\o(EQ,\s\up6(→))＝(－2，－1,1)，设平面EFPQ的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x1＋y1＋z1＝0，,－2x1－y1＋z1＝0，))可得其一个法向量为n1＝(1,0,2)．在平面BPQ中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2，－1，a＋1)，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(0，－2，a)，设平面BPQ的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2－y2＋a＋1z2＝0，,－2y2＋az2＝0，))所以其一个法向量为n2＝(a＋2,2a,4)．若|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋10,\r(5)·\r(a＋22＋4a2＋16))))＝eq\f(\r(5),5)，则(a＋10)2＝5a2＋4a＋20，即有a2－4a－20＝0，a∈[1,3]，解得a＝2±2eq\r(6)∉[1,3]，故不存在点P使之成立．周五5.如图，已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)，圆M：x2＋y2－8y＋12＝0的圆心M到抛物线C1的准线的距离为eq\f(9,2)，点P是抛物线C1上一点，过点P，M的直线交抛物线C1于另一点Q，且|PM|＝2|MQ|，过点P作圆M的两条切线，切点为A，B.(1)求抛物线C1的方程；(2)求直线PQ的方程及eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值．解(1)∵圆M：x2＋(y－4)2＝4，∴M(0,4)，抛物线C1：x2＝2py的准线方程是y＝－eq\f(p,2)，依题意，4＋eq\f(p,2)＝eq\f(9,2)，∴p＝1，∴抛物线C1的方程为x2＝2y.(2)由题意知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋4，,x2＝2y，))得x2－2kx－8＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－x1,4－y1)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x2，y2－4)，∵|PM|＝2|MQ|，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(MQ,\s\up6(→))，∴－x1＝2x2，①又x1＋x2＝2k，②x1x2＝－8，③由①②③得k＝±1，∴直线PQ的方程为y＝±x＋4.取PQ的方程y＝x＋4和抛物线x2＝2y，联立得P点坐标为P(4,8)．∴|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，连接AM，BM，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝2eq\r(7)，设∠APM＝α，则sinα＝eq\f(|AM|,|PM|)＝eq\f(2,4\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|cos2α＝28(1－2sin2α)＝21.周六6．(2020·湖北省重点高中联考协作体考试)已知函数f(x)＝a(x－1)lnx＋ex(a∈R)，其中e是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若不等式f(x)－ex≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f(x)＝a(x－1)lnx＋ex，f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(x－1,x)))＋e，∴f′(1)＝e.又f(1)＝e，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.(2)令g(x)＝f(x)－ex＝a(x－1)lnx＋ex－ex(x≥1)，则g′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋1－\f(1,x)))＋e－ex.令h(x)＝g′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋1－\f(1,x)))＋e－ex(x≥1)，则h′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,x2)))－ex.①若a≤0，∵eq\f(1,x)＋eq\f