新高考数学二轮复习讲义第六讲基本初等函数（含解析）

第六讲：基本初等函数【考点梳理】1．幂函数的概念一般地，形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的函数称为幂函数，其中底数SKIPIF1<0为自变量，SKIPIF1<0为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减过定点过定点SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<03．常用结论(1)幂函数在SKIPIF1<0上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点SKIPIF1<0.(3)当SKIPIF1<0时，幂函数的图象均过定点SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递增.(4)当SKIPIF1<0时，幂函数的图象均过定点SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.4.根式的概念及性质（1）概念：式子SKIPIF1<0叫做根式，其中SKIPIF1<0叫做根指数，SKIPIF1<0叫做被开方数．（2）性质：①SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)；②当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<05.分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)；②正数的负分数指数幂的意义是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．6.指数幂的运算性质①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.7.指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)叫做指数函数，其中指数SKIPIF1<0是自变量，函数的定义域是SKIPIF1<0．（2）指数函数SKIPIF1<0的图象和性质底数SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象性质定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0图象过定点SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上为增函数在定义域SKIPIF1<0上为减函数注意指数函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)的图象和性质与SKIPIF1<0的取值有关，应分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0来研究8.对数的概念（1）对数：一般地，如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0，那么数SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数，记作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做对数的底数，SKIPIF1<0叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数SKIPIF1<0；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数SKIPIF1<0.（3）对数式与指数式的互化：SKIPIF1<0.9.对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数SKIPIF1<0具有以下性质：①负数和零没有对数，即SKIPIF1<0；②1的对数等于0，即SKIPIF1<0；③底数的对数等于1，即SKIPIF1<0；④对数恒等式SKIPIF1<0.（2）对数的运算性质如果SKIPIF1<0，那么：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）对数的换底公式对数的换底公式：SKIPIF1<0.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以SKIPIF1<0为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均大于0且不等于1，SKIPIF1<0).10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)的函数叫做对数函数，其中SKIPIF1<0是自变量，函数的定义域是SKIPIF1<0．（2）对数函数的图象与性质SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象性质定义域：SKIPIF1<0值域：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调增函数在SKIPIF1<0上是单调减函数【典型题型讲解】考点一：幂函数的定义及其图像【典例例题】例1．幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0或2 C．0 D．2【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0是幂函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，不符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，符合题意，所以SKIPIF1<0.故选：D.例2．已知幂函数SKIPIF1<0（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且SKIPIF1<0B．q为偶数，p为奇数，且SKIPIF1<0C．q为奇数，p为偶数，且SKIPIF1<0D．q为奇数，p为偶数，且SKIPIF1<0【答案】D【详解】因函数SKIPIF1<0的图象关于y轴对称，于是得函数SKIPIF1<0为偶函数，即p为偶数，又函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递减，则有SKIPIF1<00，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D【方法技巧与总结】1、5种特殊幂函数的图像及其性质；2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.【变式训练】1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数SKIPIF1<0的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为SKIPIF1<0______．【答案】．SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0为奇函数，且在定义域内单调递增，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）.2.已知幂函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的图象关于SKIPIF1<0轴对称，且在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的值为______.【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是幂函数，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或1，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是偶函数，关于SKIPIF1<0轴对称，在SKIPIF1<0单调递增，不符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是偶函数，关于SKIPIF1<0轴对称，在SKIPIF1<0单调递减，符合题意，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3.如图是幂函数SKIPIF1<0（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．4.已知函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不同的实根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0是增函数，函数值集合是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，函数值集合是SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不同的实根，即函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有两个交点，在坐标系内作出直线SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0的图象，如图，观察图象知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，即方程SKIPIF1<0有两个不同的实根，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A考点二：指数与指数幂的运算【典例例题】例1．化简：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0(a>0，b>0).（3）SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【详解】（1）原式SKIPIF1<0（2）原式＝SKIPIF1<0.（3）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；【变式训练】1．SKIPIF1<0=（）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<02.甲､乙两人解关于x的方程SKIPIF1<0，甲写错了常数b，得到的根为SKIPIF1<0或x=SKIPIF1<0，乙写错了常数c，得到的根为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则原方程的根是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】令SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，甲写错了常数b，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0，乙写错了常数c，所以1和2是方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则可得方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以原方程的根是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：D考点三：指数函数的图像及性质【典例例题】例1.函数SKIPIF1<0恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题设，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个交点，又SKIPIF1<0的图象如下：∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.例2.已知SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．依题意可得，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：D【方法技巧与总结】指数函数的解析式具有单一性；指数函数的单调性和图像与底数有关系.【变式训练】1.函数SKIPIF1<0，下列关于函数SKIPIF1<0的说法错误的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称B．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0C．不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是增函数【答案】A【解析】【详解】对于A选项，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的图象不关于原点对称，A错；对于B选项，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，C对；对于D选项，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故函数SKIPIF1<0是增函数，D对.故选：A.2.函数SKIPIF1<0图象过定点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0或4.5【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3.已知定义在R上的函数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③在SKIPIF1<0上的解析式为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0上的交点个数为(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的图象：由图可知函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0上的交点个数为4．故选：B．4．（2022·北京·二模）若函数SKIPIF1<0的定义域和值域的交集为空集，则正数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0；要使定义域和值域的交集为空集，显然SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：B5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】4043【详解】由题意，函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0两式相加，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0恒成立；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上所述：不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最大值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为_______．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0函数单调递减且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，可得在SKIPIF1<0时函数单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值，不符题意；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0考点四：对数概念与对数运算【典例例题】例1.（1）计算SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，求实数x的值；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用a，b，表示SKIPIF1<0．【答案】（1）7；（2）109；（3）SKIPIF1<0．【详解】（1）原式=SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以x=109；（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.【变式训练】1.（1）求SKIPIF1<0的值.（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0【答案】（1）18；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到原式SKIPIF1<0，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用换底公式化简即可得到答案.【详解】（1）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：SKIPIF1<0，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SKIPIF1<0从1000提升至5000，则C大约增加了（

）（附：SKIPIF1<0）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【详解】将信噪比SKIPIF1<0从1000提升至5000时，C大约增加了SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的SKIPIF1<0，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的SKIPIF1<0？（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】．A【详解】设该种放射性物质初始质量为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0年，剩留量变为SKIPIF1<0，则可建立模型为SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的SKIPIF1<0.故选：A.4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为SKIPIF1<0%，且SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0（单位：分钟）的变化规律可以用函数SKIPIF1<0描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（

）（参考数据SKIPIF1<0）A．11分钟 B．14分钟C．15分钟 D．20分钟【答案】．A【详解】依题意可知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两边取以SKIPIF1<0为底的对数得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以至少需要SKIPIF1<0分钟.故选：A考点五：对数函数的图像及性质【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】．B【详解】由题意，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为偶函数，排除A、D；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0对应函数值异号，排除C；故选：B例2．（2022·广东珠海·高三期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】．B【详解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B．【方法技巧与总结】对数的函数的图像画法，定点问题；对数函数的图像及性质应用.【变式训练】1．（2022·广东茂名·一模）已知SKIPIF1<0均为大于0的实数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0大小关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】．C【详解】解：因为SKIPIF1<0均为大于0的实数，所以SKIPIF1<0，进而将问题转化为函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知SKIPIF1<0故选：C2．（2022·广东茂名·一模）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0均不相等，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是___________【答案】SKIPIF1<0【详解】不妨设SKIPIF1<0，由图可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03．（2022·广东湛江·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示m，n中的最小值，设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】．SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，且其图象开口向上，SKIPIF1<0的零点为1，当SKIPIF1<0的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数SKIPIF1<0的零点至多有两个，不符合题意，故要使SKIPIF1<0恰有3个零点，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在两个零点，如图示，故SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<04.己知实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】对SKIPIF1<0利用换底公式等价变形，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的单调性判断SKIPIF1<0，同理利用换底公式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，再根据对数运算性质得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0单调性，SKIPIF1<0，继而得解.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其次，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0单调递增，所以由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0．故选：A5.（多选题）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象如下所示．函数SKIPIF1<0的图象上有两个不同的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函数C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】对于A，由图像可知，函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错误.对于B，SKIPIF1<0，定义域SKIPIF1<0关于原点对称，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函数，故B正确.对于C，对于SKIPIF1<0，由题意不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数，故C正确.对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，故D正确.故选：BCD6.（2022·广东·三模）已知SKIPIF1<0，e是自然对数的底，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在R上单调递增，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值可以是3和4.故选：CD.【巩固练习】1．已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．是偶函数，且在SKIPIF1<0是单调递增 B．是奇函数，且在SKIPIF1<0是单调递增C．是偶函数，且在SKIPIF1<0是单调递减 D．是奇函数，且在SKIPIF1<0是单调递减【答案】B【解析】【详解】解：SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在定义域上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；故选：B2．1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的SKIPIF1<0次幂成正比，即SKIPIF1<0，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：SKIPIF1<0）（

）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍【答案】C【详解】设该哺乳动物原体重为SKIPIF1<0、基础代谢率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，经过一段时间生长，其体重为SKIPIF1<0，基础代谢率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：C3．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．26 B．16 C．－16 D．－26【答案】A【详解】由题意得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，方程无解，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A4．若函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【详解】由题设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B5．已知函数SKIPIF1<0满足：对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C6．关于函数SKIPIF1<0和实数SKIPIF1<0的下列结论中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是一个偶函数，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是增函数，且函数值为正数，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是一个增函数由偶函数的性质得函数在SKIPIF1<0上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由SKIPIF1<0，无法判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0离原点的远近，故A错误；B选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；C选项是正确的，由SKIPIF1<0，一定得出SKIPIF1<0；D选项由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，但不能得出SKIPIF1<0，不成立，故选：C．7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有SKIPIF1<0种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行SKIPIF1<0次运算.现在有一台计算机，每秒能进行SKIPIF1<0次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为SKIPIF1<0秒，则有SKIPIF1<0，两边取常用对数，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：A．9．已知正实数x，y，z满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：C二、多选题10．在同一直角坐标系中，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增且其图象恒过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增且其图象恒过点SKIPIF1<0，则选项B符合要求；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减且其图象恒过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减且其图象恒过点SKIPIF1<0，则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.故选：BD.11．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确，B错误；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正确；故选：ACD12．下列函数中，存在实数a，使函数SKIPIF1<0为奇函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】对于A中，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0