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全等三角形专题复习一、全等三角形知识要点1.三角形全等的判定方法:边角边(SAS)、角边角(ASA)角角边(AAS)、边边边(SSS)2.全等三角形的性质:对应边相等,对应角相等对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等.注:①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;②全等三角形面积相等.关键:三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等来说明两个角相等(两条边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等,两角相等,最常用的方法就是说明三角形全等2.证题的思路:2.证题的思路:一、直角三角形的全等问题:直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点!直角三角形有关的全等问题中,在条件的寻找上首先就有了一组直角相等;而多个直角,多个垂直的图形组合在一块时,就很容易利用“同(等)角的余角相等”来得到其他的角相等。典型例题:1、如图1,已知DO⊥BC,OC=OA,OB=OD,问CD=AB吗?请说明理由.图1[分析]:(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角,得到一组等量关系;(2)出现垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量关系;专题一:直角三角形[变形1]:请说明△BCE是直角三角形。变形2:(2008威海)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE.AFBCED变式3:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,点B,C,E在同一条直线上,连结CD.(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母)(2)求证:CD⊥BE图2图1变式4:如图2,在△ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD,问△BHD≌△ACD吗?为什么?图2ABCEHD[分析]:此题实际上就是[变形1]的反问,已经存在一组直角(由垂直得到),一组相等的边(已知),再利用“同(等)角的余角相等”来得到第二组角相等!2、如图1,已知,AC⊥CE,AC=CE,∠ABC=∠CDE=90°,问BD=AB+ED吗? 为什么?图5[分析]:(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角,得到一组等量关系;(2)出现3个垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量关系;[变形1]:如图7,
如果△ABC≌△CDE,请说明AC与CE的关系。[注意]:两条线段的关系包括:大小关系(相等,一半,两倍之类)位置关系(垂直,平行之类)图7[变形2]:(2008泸州)如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F,求证:DE=BF[分析]:注意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。[变形3]:如图8,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的直线,BD⊥AE,CE⊥AE,如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。
[分析]:说明相等的边所在的三角形全等,题中“AB=AC”,发现:AB在Rt△ABD中,AC在Rt△CAE中,所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt△全等.于是:已经存在了两组等量关系:AB=AC,直角=直角,再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系。图81.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.(1)求证:AB⊥ED(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明[变形4]:在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,△ADC≌△CEB,且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗?(2)当直线MN绕点C旋转到图10的位置时,
DE=AD-BE。说说你的理由。(3)当直线MN绕点C旋转到图11的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系。图11图12图10等腰三角形、等边三角形的全等问题:[必备知识]:如右图,由∠1=∠2,可得∠CBE=∠DBA;反之,也成立。12例三:已知在△ABC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AE,且∠1=∠2,请问BD=CE吗?21[分析]这类题目的难点在于,需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边,∴题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的,应该去想如何把两组相等的边联系到一起,加上所求的“BD=CE”,你会发现BD在△ABD中,CE在△ACE中。而AB=AC,AD=AE,所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于:说明“相等的边(角)所在的三角形全等”[变形1]:如图13,已知∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,请说明△ABD≌△ACE.吗?为什么?[分析]:例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用SAS说明全等,此题是两组角相等,那么该如何做呢?21图14[变形2]:如图,B、A、E三点共线,△ABC、△ADE是等边三角形,连接BD,CE,请说明它们相等。[分析]:此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你根据所求问题,把BD看成在△ABD的一边,CE看成△ACE的一边,自然就得到了证明的方向。图15[变形3]:如图16—18,还是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,,连接BD,CE,请说明它们相等。
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