2022年甘肃省陇南市高考数学诊断试卷（理科）（附答案详解）

2022年甘肃省陇南市高考数学诊断试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4={x|3x-2>1}>B=(x\x2—x—6<0},则4nB=()

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<2}

C.{x|-2<x<1}D.{x|-3<x<1}

2.已知复数z满足(z-2)(l+i)=l-3i,则复数z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知等差数列{斯}满足&20一。22=2，«1011=1012,则。2022=()

A.0B.1C.2D.2023

4.某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生,

调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8,18,15,20,16,21,

19,18,19,10,6,20,20,23,25,这组数据的中位数和众数分别是()

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

5.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，

如图.若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y=ax2(a丰

0)的一部分，且点4(2,-2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是()

A.(0,-1)B.(0-1)C.(0,-i)D.(0,-i)

6.新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，

“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、

政治、地理4门科目中选考2门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率

是()

A.3B.iC.1D.l

7.已知A是函数/(%)=V5s讥3%(3>0)图象的一个最高点，B,C为直线y=/与函

数/(%)图象的两个相邻的交点，若存在B,C,使得△4BC是等边三角形，则。=()

A.-B.2C.-口.空空

333

8.在高为3的直三棱柱ABC—aBiG中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，且28=

2近,其中。为棱&G的中点，M为线段BC上的动点，则4M+MD的最小值为（）

A.3+V5B.V26C.2+710D.5

9.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能

折叠的扇子，如图1,其平面图如图2的扇形40B,其中“08=120。,。4=2OC=2,

点E在弧力上，则瓦？.前的最小值是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

11.已知双曲线E：捻一3=l（a>0,b>0）的左焦点为F,过点F的直线，垂直于双曲线

E的一条渐近线，垂足为M,直线1与双曲线E交于点N,且前=3前，则双曲线E

的离心率为（）

A.V2B.V3C.—D.V5

2

12.若存在正实数无，y,使得等式4x+a（y-3e2x）（，ny—，nx）=0成立，其中e为自然

对数的底数，贝帽的取值范围为（）

A.（0,*］B.值,+8）

C.（-8,0）D.（-8,0）u［专,+8）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/'（X）=（1/-2bx2+x是定义在［2a+1,3-a］上的奇函数，则a+

b=.

14.（x-l）（2x-I1的展开式中二项的系数是.（用数字作答）

15.已知数列｛即｝的前几项和为上，且2Sn=3an-2n,若a6>729,则m的最小值是

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16.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四

面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个

顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共

部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体力BCD的棱长为

4,则该勒洛四面体内切球的半径是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,△4BC的面积S=遗荏.芯.

2

(1)求角A的值；

(2)延长AC至点D,使得CD=AC,S.BD=2BC,若c=6,求△ABC的周长.

18.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，0',。分别是上、下底面

圆的圆心，EF是底面圆的一条直径，DE=DF.

(1)证明：EF1AB；

(2)若2AD=V^4B，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余

弦值.

19.为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防

控工作部署，安排4名干部和三个部门(4B,C)的16名职工到该地的四个高速路口

担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是4部门8人，B部门4人，C部门4人.

(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自4部门的概率；

(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口(假设每名干部安排到各高速路口是等

可能的，且各位干部的选择是相互独立的)，记安排到第一个高速路口的干部人数

为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

20.已知椭圆C：捺+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为居，尸2,椭圆C的离心率小

于乎.点P在椭圆C上，仍居|+仍&|=4,且△PF/?面积的最大值为我.

(1)求桶圆C的标准方程；

(2)点A,B是椭圆C上不同的两点，点N在直线八3x+4y-12=0±,且

NA=AAM>近=〃丽，试问2+〃是否为定值？若是，求出该定值；若不是，

请说明理由.

21.已知函数/(x)=e171*+x-20).

(1)当m=l时，求/。)在［l,e］上的值域；

(2)设函数f(x)的导函数为1(x),讨论/'(为零点的个数.

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22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为5为参数)，以坐标

原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是pcose-

psinQ+4=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线，的直角坐标方程：

(2)己知P,Q分别是曲线C和直线I上的动点，求|PQ|的最小值.

23.已知函数/'(x)=|2x+a|+|2x-3|.

(1)当a=l时，求不等式/(x)Wx+7的解集；

(2)若关于x的不等式/(%)21恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•.•4={x|3x-2>l}={x|x>l},

B—{x|x2—%—6<0}={x|-2<x<3}>

zlnB={x[l<x<3],

故选：A.

解不等式求出A，B,从而求出4,B的交集即可.

本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由复数z满足(z-2)(l+i)=l-33

则=旦+1)+2=1-21,

z1+122=°-孙

则复数z在复平面内所对应的点的坐标为(1,-2),

则复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，

故选：D.

先由复数的运算求z,再确定其对应的点所在的象限即可.

本题考查了复数的运算，重点考查了复数的儿何意义，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：在等差数列{0J中，由。2。一。22=2,得2d=—2,即d=—1.

•••a2Q22=«ion+lOlld=1012—1011=1,

故选：B.

由已知求得d,再由CI2022=a10n+lOlld求解即可.

本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】C

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【解析】解：将这组数据按一定顺序排列为6,8,10,15,16,18,18,19,19,20,

20,20,21,23,25,

则这组数据的中位数和众数分别是19,20,

故选：C.

先将这组数据按一定顺序排列，再结合众数、中位数的概念求解即可.

本题考查了众数、中位数的概念，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：•••点4(2,-2)在抛物线上，一2=ax22,a=-去

抛物线方程为y=x2=-2y,二2p=2,：=T，

・••焦点坐标为(0,一，

故选：A.

把点4的坐标代入抛物线方程可得a的值，然后把抛物线方程化为标准方程可得p的值,

从而可求抛物线的焦点坐标.

本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意可得，学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率「=笔好■=；.

故选：B.

根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

7.【答案】D

,y

:八

【解析】2/5A

~~of^X

r

解：令用siriax=当，

则方程在⑼勺的解为3m

(x)6a)63

由^ABC是等边三角形，

则冷看=2x(6^)，

则3=察

故选：D.

先作出三角函数的部分图象，然后求解即可.

本题考查了三角函数图象，重点考查了解三角方程，属基础题.

8.【答案】B

【解析】解：将等腰直角AABC翻折到矩形BCG反共面，如图,

C»DB\CDBi

4M+MD的最小值为AD,

"AC=BC=2y[2x^=2,CXD=1,

AD=7（2+3）2+l2=V26，

AM+MD的最小值为俄.

故选：B.

将等腰直角△4BC翻折到矩形BCG/共面,贝ijAM+MD的最小值为AD,通过平面化的

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方法能求出+MD的最小值.

本题考查两线段和的最小值的求法，考查直三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

9.【答案】C

【解析】解：建立如图所示平面直角坐

标系，A

则B(2,0),/4(-l,V3)，

E(cose,sine)(0<0<y),

故E2=(-1—cosd,y/3—sin。)，EB=

(2-cos。,一sin。),

则刀•丽=(一1一cos。)(2—cos。)+

(V3—sm0)(—sin0)

=-2+cos20—cosd—y/3sin0+sin20

=-2+1-2sin(6+-)

6

———2sin(0H—)—1,

6'

故当9+*即。=和寸，

~EA■而有最小值一2-1=-3,

故选：C.

建平面直角坐标系，结合三角函数的定义得到B(2,0),力(—1,g)，E(cos0,s讥。)(0<0<

号)，从而利用三角函数及数量积化简求最值.

本题考查了平面向量的坐标运算及三角函数定义的应用，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：a=2e-°-2,b=e02,

AIna=-0.2+ln2,Inb=0.2,

Ina—Inb=-0.4+ln2>-0.4+InVe=-0.4+0.5=0.1>0>

・•,Ina>Inb,

••a>b,

设，。)=/一0+1),

:.f'(x)=ex—1,

当%>0时,f'(x)>0,函数/(x)单调递增，

当x<o时，yz(x)<o,函数<工)单调递减,

:./(x)>/(0)=1-(0+1)=0,

•••/(0.2)>0,

即6。2-(0.2+1)>0,

即小>1.2,

•••b>c,

■■a>b>c.

故选：D.

对于a,b利用取对数，作差比较即可，对于b,c,构造函数，利用导数和函数单调性

的关系即可比较.

本题考查了不等式的大小比较，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：设M在渐近线y=-gx上，

则直线FM的方程为y=(x+0，

仅=?(x+c)(x=

c

联立方程b,解得1ab,

(y=-ax[y=~

・•.X渭)，

又丁丽=3丽乎+2<:,誉)，

•••点N在双曲线上，

.(2c2-3a2)29a2_

化简得4c2=13a2,

V13

・・・？=C-=—，

a2

故选：c.

设M在渐近线y=上，求出直线FM的方程，与渐近线y=联立，求出点M的

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坐标，再根据丽=3询求出点N的坐标，代入双曲线方程即可求出离心率.

本题主要考查了双曲线的几何性质，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：由4%+a(y-3e2x)(Zny-Znx)=0得4x+a(y-3e2x)ln^=0,

即4+Q(——3s^)ln—=0,

设t=p则t>0,

则4+a(t-3e2)lnt=0,

即(t-3，)仇亡=一］有解，

设9(t)=(《-3e2)/nt,

则/⑷=仇亡+二贮为增函数，

,♦2'(，)=Ine2+1-誓=2+1-3=0,

二当t>e?时，g'(t)>0,

当0<t<e2时，g<t)<0,

，当t=?2时，函数g(t)取得最小值g(〃)=(e2—3e2)Zne2=—4e2,

即g(t)>g(e2)=-4e2,

若(t-3e2)Znt=-；有解，

则一士>-4e2,即工<e2,

aa

・・或，

•a<0Q>fe2

故选：D.

令r=t,分离参数得(t-3e2)int=-|,求出g(t)=(t-3e2)仇t的值域，从而得出a的

范围

本题主要考查函数恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数有公共解问题,

利用构造法和导数法求出函数的最值是解决本题的关键，属于中档题.

13.【答案】-4

【解析】解：函数/(久)=a/-2b/+x是定义在［2a+1,3-a］上的奇函数，

可得2a+l+3-a=0,解得a=-4,

又/(-无)=-/(%),可得b=0,

所以a+6=—4.

故答案为：-4.

由奇函数的定义域关于原点对称和定义，可得a，b的方程，进而得到所求和.

本题考查函数的奇偶性的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

14.【答案】220

【解析】解：展开式中含式的项为xxC式2x)2.(一1)4_1X砥2x)3.(_1)3=220x3,

所以"的系数为220,

故答案为：220.

求出展开式中含二项，进而可以求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

15.【答案】7

【解析】解：当n=l时，2a］=3。1一2,解得%=2；

当n>2时，•••2Sn=3an—2n,

2Sn-i—3cin-i-2(n—1),

两式相减，整理得a.=3即-1+2,

二0n+1=3(an_1+1),n>2,

又,；%+1=3力0,

•••(an+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

an+1=3X3"T=3",

n

•1•an=3—1,

令a„,=3m-1>729,

解得m>7.

又m6N*,

?n的最小值是7,

故答案为：7.

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根据通项公式与前n项和公式之间的关系求出通项公式即，令即,>729,解不等式即可.

本题考查了数列的递推式，属于中档题.

16.【答案】4-V6

【解析】解：由题意知：该勒洛四面体内切球的球心即为正四面体BBCD的中心。，且

该勒洛四面体内切球与勒洛四面体相切，设切点为E,

并连接040E,OB,0D,作图如下所示：

显然，A,0,E三点共线，且4E=4B=4O=4,

又正三角形BC。的外接圆半径r=在x4=延，

33

所以点4到平面BCD的距离h=y/AB2-r2=k-(争=竽

设。4=x,则/=(h-x)2+r2,

代入数据，解得：尤=遍，即。4=在，

所以该勒洛四面体内切球的半径为0E=4E-。4=4一遍，

故答案为：4—V6-

由题意可知该勒洛四面体内切球的球心即为正四面体BBC0的中心。，且该勒洛四面体

内切球与勒洛四面体相切，设切点为E,并连接。4,0E,OB,0D,结合球的几何性质

计算可得r.

本题考查了几何体的内切球问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)△4BC的面积S=3荏.得三bcsinA=3/JCCOS4,

222

tanA=V3,<0<A<兀,4=

(2)在△ABD中，由余弦定理有BO?=AB2+AD2-2AB-ADcosA,

4a2=36+4炉-2x6x2匕xa2=9+b2-3b①，

vZ.ACB+/.BCD-n,■.cos/.ACB+cos乙BCD=0,

22222

a+d-36,a+b-4a=0八2,22d

—^~+.nh>■■-a-b=-18(2),

由①②解得b=9,a=3夕,

ABC的周长为15+3V7.

C

【解析】⑴由已知可得gbcs讥A=殍bccosA，从而tanA=百，可求4

(2)在AABD中，由余弦定理可得a2=9+匕2一3b①，cos乙4CB+C0S4BC。=0,可得

'W"/芳=°，化简与①解方程组可求得a,b,从而可求AABC的周长.

本题考查正余弦定理，以及运算能力，属中档题.

18.【答案】解：(1)证明:连接DO,

因为DE=DRE/是底面圆的一条直径，

所以。O1EF,因为AD是圆柱的母线，EF在底面圆。内，

所以AC1EF,因为DOC4D=D,DO,ADu平面4BCD,

所以EF_1_平面488,ABu平面4BCD,

・•・EF1AB；

(2)以。为坐标原点，OF,OB,。。'所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设4B=2,则尸(1,0,0),6(0,1,0),C(0,l,V3)，D(0,-l,V3)，E(—1,0,0),

所以前=(1,-1,0)，BC=(0,0,V3)>~ED=(1,-1,V3)>~EC=(1,1,V3)，

设平面8CF的一个法向量为记=(x,y,z),

则(元•更=x—y=0,

令y=1,则％=1,z=0,

In•BC=y/3z=0

・•・平面BC尸的一个法向量为五=(1,1,0),

设平面DEC的一个法向量为沅=(Q,4c),

则恒•包="b+妤=0,令c=i,则b=o,a=—W，

\m•EC=a+b+v3c=0

所以平面。EC的一个法向量为记=(-V3,0,l).

mn

所以cos<记，n>=渔

|m|-|n|-Vl+lxV3+l4

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所以平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为它.

4

【解析】(1)连接DO,利用线线垂直证明线面垂直即证EFL平面4BCD,从而利用线面

垂直的性质证明线线垂直；

(2)以0为坐标原点，OF,0B,。。'所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

平面BCF与平面CDE的一个法向量，从而利用向量法求平面BCF与平面CDE所成锐二面

角的余弦值.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线线垂直的判定定理的应用，二面角的求解，

在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化

为空间向量问题进行研究，属于中档题.

19.【答案】解：(1)至少有2个组长来自4部门共有3种情况：有2个组长来自4部门，有

3个组长来自4部门，有4个组长来自4部门.

设事件A表示“至少有2个组长来自A部门”，则PQ4)=强普扛量=言.

(2)由题意可得：X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=k)=寄/弓pt卜=0,i,2,3,4,贝iJP(X=0)=以(|)4=短,P(X=1)=

程x[x《)3=黑，同理可得P(X=2)=短，P(X=3)=短，P(X=4)=息.

可得X的分布列

X01234

121

P8110854

256256256256256

E(X)=4xi=1.

【解析】(1)至少有2个组长来自A部门共有3种情况：有2个组长来自4部门，有3个组长

来自4部门，有4个组长来自4部门.利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可公式

即可得出.

(2)由题意可得：X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=k)=C/(}k(64-k,卜=0,匕

2,3,4,可得X的分布列及其E(X).

本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(DIPaI+仍尸2|=4=2a,a=2,则£<立=c<或，

a2

当P为上顶点或下顶点时，的面积最大，|x2cXb=be=y/3f

(be=V3

由，4=+c2解得b=V3,C=1.

U<V2

所以椭圆c的方程为正+田=1.

43

(2)由于方不=4宿，NB=nBM，所以A,M,N,B四点共线，

由(1)得椭圆C的方程为9+?=1，故在椭圆内，

所以直线MN与椭圆必有两个交点4,B,不妨设4在MN之间，B在NM的延长线上，

当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=l,

?+?=1=y=±|,即

3+4y—12=0=>y=],即N(l,$.

由涌=AAM，NB=〃^7得(0,-$=A(0,-1),(0,-y)="(0,|)，

所以4=|,〃=_I，4+4=0.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-1=k(x-1),

(y-l=fc(x-1)

由|兰艺一]消去y并化简得(3+4忆2)/+(8k-8/f2)x+4k2-8k-8=0,

(43~

8k2-8k4k2-8k-8

X-^X=-------7T»XAXB=---------•

AB3+4HAti3+4k2

由解清港)解得“髭，

由海=4祠，雨=〃就得以一XN=-4)，XB-XN=U(XM-XB),

所以a+4=红工+包3=%1包+包

XM-XAXM-XB1一％41-苑

=%N(/M+%8-2)-2%/B+(孙+犯)

%448-(以+%8)+1

4fc+88k2-8kc、c4k2-8k-8,,8k2-8k

=z2A2x^^+(^rx)

4k2-8k-8,8k^-8k.

3+4k2-(3+狄2)

-8k-168k+16

_3+4〃2+3+4M_Q

3+4fc2

综上所述，/!+〃为定值，且定值为0.

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【解析】(1)根据已知条件求得a,b,由此求得椭圆。的标准方程.

(2)设出直线MN的方程，分别与椭圆C以及直线］联立，求得4,B,N三点坐标间的关系，

由此计算出入+〃为定值.

本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,

属于中等题.

21.【答案】解：(1)当m=l时，/(%)=4-%-xlnx,x6[l,e].

f'(x)=ex—Inx=g(x),

gf(x)=ex-^=〃(%)在％e[l,e]上单调递增.

g'⑴=e—1>0,・,・g'(%)>0,

g(%)在％6[l,e]上单调递增，g(l)=e>0,

・•・/'(%)=g。)>0,

・•・函数/(%)%G口可上单调递增，

x=l时，函数f(%)取得最小值，f(l)=e+l；

x=e时，函数/(%)取得最大值，/(e)=ee+e-e=ee.

e

・・・fQ)在[l,e]上的值域为为+lfe],

(2)函数/(%)=emx+%—xlnx(m>0),xG(0,4-oo).

f'(x)=memx4-1—Inx-1=memx—Inx,

①巾二0时，/(%)=14-%-xlnx,xe(0,+oo).

/"(%)=一)x在％G(0,+8)上单调递减，又/'(1)=0.

・・・/'(%)在％G(0,+8)上存在唯一零点1.

②m>0时，/'(%)=memx—Inx=/i(x),

h!(x)=rn2emx在%€(0,+司上单调递增.

XTO时，九’(%)--8；%->+8时，"(%)T+8.

・•・存在唯一％oe(0,+8),满足僧2?0%0=工，2lnm+mx=-lnx,

x00Q

使得函数h(x)在(O/o)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增.

即x=殉时，函数八。)取得极小值即最小值，

/i(x)=memx°—lnx———I-mx+2lnm,

00tnxQ0

当且仅当？()时取等号.

■":l兀o-2,nx=1

m>，时，/i(x0)>2+2ln：=。，此时函数九(%)即/'(%)在%€(0,+8)上不存在零点.

m=，时、x0=e,h(x0)=h(e)=2+2Zn1=0,此时函数九(x)即((%)在％G(0,+8)上

有一个零点e.

OVznV，时，存在&=A，使得九(%0)=2+2仇mV2+2仇：=0,此时函数h(x)即

/。)在％6(0,+8)上有2个零点，一个与6(0,')，另一个%2£(\+8).

综上可得：时，/。)在工€(0,+8)上不存在零点.

m=｝时，f'(x)在xE(0,+8)上有一个零点C.

0＜