第08讲5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时

第08讲5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课程标准学习目标①理解与掌握两角差与和的余弦公式。②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。③能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值（角）、化简、证明等问题的解决会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的求值、化简及证明知识点01：两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【即学即练1】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）原式．（2）原式．知识点02：两角和与差的正弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【即学即练2】（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）．【答案】/【详解】.故答案为：.知识点03：两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,，，，.③变形结论：【即学即练3】（2023·四川宜宾·统考二模）已知，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C题型01两角和与差余弦公式【典例1】（2023秋·山西朔州·高一统考期末）计算的值（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C.【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）．【答案】/【详解】．故答案为：【变式1】（2023春·新疆·高一八一中学校考期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】．故选：B．【变式2】（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）.【答案】/【详解】.故答案为：.题型02已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦【典例1】（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，，所以，，则.故选：A.【典例2】（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知都为锐角，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为都为锐角，即，所以因为，，所以，，所以.故选：A【典例3】（2023·全国·高一假期作业）已知锐角，且满足.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为锐角，，所以.因为，是锐角，即，，所以，，又因为，所以..（2）由（1）知，，因为是锐角，，所以，由，，所以，，因为，所以.【变式1】（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为且都是第二象限角，所以，，所以.故选：C.【变式2】（2023秋·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）已知锐角满足，则等于（

）A． B．或 C． D．【答案】C【详解】因为满足，所以，.由此可得.又因为，所以，故选：C.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）已知，，且角，分别位于第二、四象限，求和的值．【答案】，【详解】因为角，分别位于第二、四象限，所以，，故，，所以，．题型03（）的余弦值【典例1】（2023·全国·高一假期作业）的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【变式1】（多选）（2023春·重庆江津·高一校考期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】A选项，因，则，故A错误；B选项，，故B正确；C选项，，故C错误；D选项，由诱导公式，，故D正确.故选：BD【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）求75°，15°角的余弦值．【答案】，.【详解】，．题型04用和差角的余弦公式化简、求值【典例1】（2023春·辽宁沈阳·高一校联考期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】．故选：B．【典例2】（2023秋·高一课时练习）化简求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)0【详解】（1）；（2）【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高一校考期末）已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，解得.（2）∵，∴，且，∴，∴，∴，则，∴，∵，∴.【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值.(1)；(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）.（2）.【变式3】（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）（1）求值：.（2）已知，，且，求角的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）；（2）由得，又，所以，由得，，所以.题型05逆用和差角的余弦公式化简、求值【典例1】（2023春·高一课时练习），则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.故选：B【典例2】（2023春·山东潍坊·高一统考期末）已知，，则.【答案】【详解】因为，即，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以.故答案为：【变式1】（2023春·新疆阿克苏·高一校考期中）已知，则．【答案】【详解】由题知，，于是.则.故答案为：【变式2】（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是锐角，且，则．【答案】【详解】，由题意，是锐角，则，则，解得.故答案为：题型06两角和与差正弦公式【典例1】（2023春·陕西商洛·高一校考期中）=（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故选：A【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）原式．（2）原式．【变式1】（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）=.【答案】【详解】原式，，，故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）化简计算：.【答案】【详解】.故答案为：题型07已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦【典例1】（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知，，则的值（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由，得，又，所以.故选：D.【典例2】（2023春·辽宁阜新·高一校考阶段练习）已知求，的值.【答案】，.【详解】∵，且，∴；又∵，且，∴.∴.【变式1】（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）若，且，，则.【答案】【详解】因为且，所以，又因为且，所以，所以，故答案为：【变式2】（2023春·湖北·高一校联考期中）已知，，，，则．【答案】【详解】，，，，.故答案为：.题型08（）的正弦值【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）求75°，15°角的正弦值．【答案】，【详解】．．【变式1】（2023春·江西赣州·高一校考阶段练习）计算（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D．【变式2】（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】,,故选：B题型09用和差角的正弦公式化简、求值【典例1】（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）已知为第二象限角，且，则的值为.【答案】【详解】因为为第二象限角，且，故..故答案为：【典例2】（2023春·河北·高二校联考期末）．【答案】【详解】.故答案为：【变式1】（2023春·高一课时练习）;【答案】【详解】原式.故答案为：【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）化简：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）.（2）.题型10逆用和差角的正弦公式化简、求值【典例1】（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】，故选：B【典例2】（2023春·湖北黄冈·高一校考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【详解】因为，，所以或；若，则，此时（舍）；若，则，此时（符合题意），所以，即；因为且，所以且，解得，，则，又，所以.故选：B.【变式1】（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A【变式2】（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】原式.故选：B题型11两角和与差正切公式【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）利用两角和（差）的正切公式，求的值．【答案】【详解】（方法一）因为，所以．（方法二）．故答案为：【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知，分别求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）．因为，所以（2）．因为，所以．【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【详解】（1）原式．（2）原式．【变式2】（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知角的终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】角的终边上一点，解得..故选：B.题型12已知两角的正弦，余弦求和差角的正切【典例1】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知，，则（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【详解】由得，进而可得，所以，故选：D【典例2】（2023·四川攀枝花·统考三模）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为为锐角，，则，所以，，由三角函数的定义可得，因此，.故选：A.【变式1】（2023·高一单元测试）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.且，，所以，，又，.故选：A【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知，，，是第三象限角，求，，的值.【答案】，，【详解】因为，，所以，因为，是第三象限角，所以，所以，，.【变式3】（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知，都是锐角．(1)，，求的值；(2)，，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1），都是锐角，，，，，，；（2），都是锐角，，，．题型13（）的正切值【典例1】（2023春·广东东莞·高三校联考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.【变式1】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）的值为．【答案】/【详解】.故答案为：.题型14用和差角的正切公式化简、求值【典例1】（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知角，满足，，则（

）A． B．1 C．－3 D．3【答案】C【详解】.故选：C【典例2】（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）已知，，且，则．【答案】【详解】因为，，，所以，，因为，所以，，因此，因为，所以，故答案为：【变式1】（2023春·甘肃武威·高一校联考期中）已知，，则（

）A．1 B． C． D．7【答案】D【详解】因为，，则，可得，所以.故选：D.【变式2】（2023春·四川宜宾·高一校考期中）已知角的终边经过，；.【答案】/【详解】由题可知，，，.故答案为：；【变式3】（2023秋·高一课时练习）求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由.（2）解：由两角差的正切公式，可得.题型15逆用和差角的正切公式化简、求值【典例1】（2023秋·高一课时练习）若，则的值为（

）A． B．1C． D．2【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：D【典例2】（2023春·江西吉安·高一校联考期中）（，），则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【详解】因为，所以.所以.所以.故选：A.【典例3】（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【详解】，故选：A．【变式1】（2023春·广西钦州·高一统考期末）（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】因为，即，所以.故选：A【变式2】（2023·江苏·高一专题练习）（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，即，则，故选：D【变式3】（2023春·辽宁锦州·高一校考期中）计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，交叉相乘得：所以.故选：B.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考开学考试）（）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A2．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）的值为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】.故选：C.3．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）的值等于（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【详解】，故选：B.4．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，故选：D.5．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，解得，∵，∴，故选：D．6．（2023秋·江西赣州·高二赣州市第四中学校考开学考试）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由，得，由，得，所以故选：C.7．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知钝角a满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由为钝角，可知，所以，所以．故选：B．8．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知均是锐角，已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为均是锐角，，则，，又，所以.故选：D二、多选题9．（2023春·江西·高一统考期中）下列式子中值为的为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，由，所以.故选：ACD.10．（2023春·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（

）A．每一个直角三角形的面积为 B．C． D．【答案】AC【详解】对于A，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故A正确，对于BC,由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得,由于互余，所以，故B错误，C正确，对于D，，①，，②，且，，,故，故D错误，故选：AC三、填空题11．（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）．【答案】/【详解】.故答案为：.12．（2023·全国·高一假期作业）计算.【答案】【详解】.故答案为：四、解答题13．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）求下列各式的值:(1);(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）.（2）.14．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)已知，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）方法一,方法二（2）15．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，且，均为第四象限角，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，均为第