高考数学二轮复习 第一部分 小题专题练 小题专题练（五） 解析几何（含解析）试题

小题专题练(五)解析几何一、选择题1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(eq\r(5)，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(3,2)x D．y＝±2x2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为eq\f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝13．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝04．(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得的弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．8 B．2eq\r(2)C．5 D.eq\r(5)5．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为()A.eq\f(3\r(5),5) B．4C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(12\r(5),5)6．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝－12x B．y2＝－8xC．y2＝－6x D．y2＝－4x7．已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o(EF2,\s\up6(→))的最大值、最小值分别为()A．9，7 B．8，7C．9，8 D．17，88．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)9．(2019·唐山市摸底考试)已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝110.如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是()A．(6，12) B．(8，10)C．(6，10) D．(8，12)11．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝112．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为eq\r(2)13．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则()A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|FP|＝4 D．|FR|＝4二、填空题14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为____________．15．(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．16．如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．17．已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．小题专题练(五)解析几何1．解析：选D.设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝eq\r(5).双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，所以eq\f(\r(5)b,\r(b2＋a2))＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝eq\r(c2－b2)＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故选D.3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.4．解析：选D.通解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋1）2＋b2＝r2,（a－2）2＋（b－3）2＝r2))，所以a＋b－2＝0①，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以|a|＝|b|②，由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为eq\r(5)，故选D.优解：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为eq\r(5)，故选D.5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝eq\f(3,\r(5))，所以线段MN的长为2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))\s\up12(2))＝eq\f(12\r(5),5).故选D.6．解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，所以－eq\f(x1＋x2,2)＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则eq\o(EF1,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(EF2,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o(EF2,\s\up6(→))＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f(8,9)x2＝eq\f(x2,9)＋7，所以当x＝0时，eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o(EF2,\s\up6(→))有最小值7，当x＝±3时，eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o(EF2,\s\up6(→))有最大值8，故选B.8．解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，2eq\r(2))，所以k＝eq\f(2\r(2)－0,1－（－2）)＝eq\f(2\r(2),3).故选D.9．解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(eq\f(\r(3),2)c，eq\f(1,2)c)，则S△AF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，故选A.10．解析：选B.由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y,x2＋（y－1）2＝16))，得y＝3，又点P为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B.11．解析：选AD.在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1中，c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).因为双曲线C与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq\f(x2,4λ)－eq\f(y2,λ)＝1.当λ＞0时，c＝eq\r(λ＋4λ)＝eq\r(5)，解得λ＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1；当λ＜0时，c＝eq\r(－λ－4λ)＝eq\r(5)，解得λ＝－1，所以双曲线C的方程为y2－eq\f(x2,4)＝1.综上，双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1或y2－eq\f(x2,4)＝1，故选AD.12．解析：选ACD.等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正确．故选ACD.13.解析：选AC.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝eq\f(1,2)|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选AC.14．解析：由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因为|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(m2＋n2)＝\f(8\r(5),5)，,m2＋（n－2）2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,5)，,n＝\f(16,5)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).将点A的坐标代入抛物线方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)＝2p×eq\f(8,5)，所以p＝eq\f(16,5)，所以抛物线C2的方程为y2＝eq\f(32,5)x.答案：y2＝eq\f(32,5)x15．解析：化双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，则a＝b＝eq\r(2)，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，解得|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2)，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(（2\r(2)）2＋（4\r(2)）2－16,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)16．解析：由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(e