202022学年度高三复习竖直平面内的圆周运动

2022-2022学年度高三复习竖直面内的圆周运动专练1．如图，用一根长为L＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（g＝10m/s2，sin370=3/5,cos370=4/5,计算结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，当ω的取值范围在0到ω＇之间时，请通过计算求解T与ω2的关系，并在坐标纸上作出T—ω2的图象，标明关键点的坐标值。【答案】（1）12．5rad/s（2）（3）见解析图【解析】试题分析：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω02lsinθ解得（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mgtan60°=mω′2lsin60°得，（3）a．当ω1=0时T1=mgcosθ=8N，标出第一个特殊点坐标（0，8N）；b．当0＜ω＜rad/s时，根据牛顿第二定律得：Tsinθ−Ncosθ＝mω2lsinθTcosθ+Nsinθ＝mg得，T＝mgcosθ+mlω2sin2θ＝8+ω2当ω2＝rad/s时，T2=12．5N标出第二个特殊点坐标[12．5（rad/s）2，12．5N]；c．当rad/s≤ω≤rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为βT3sinβ＝mω2lsinβ∴T3＝mlω2当ω＝ω′＝rad/s时，T3=20N标出第三个特殊点坐标[20（rad/s）2，20N]．画出T-ω2图象如图所示．考点：牛顿第二定律；圆周运动2．如图所示，光滑斜面与水平地面在C点平滑连接，质量为0．4kg的滑块A无初速地沿斜面滑下后，又沿水平地面运动至D点与质量也为0．4kg的小球B发生正碰，碰撞时没有机械能损失，小球B用长为L=0．32m的细绳悬于O点，其下端恰好与水平地面上的D点相切，已知滑块与水平地面间的动摩擦因素为μ=0．1，C、D间距LCD=1．4m，碰后B球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动，g=l0m／s2，求：（1）B球碰后的速度；（2）滑块A在斜面上滑下时的高度h；（3）滑块A最终与D点间的距离S。【答案】（1）4m/s（2）0．94m（3）8m【解析】试题分析：（1）设A和B碰后B的速度为vB，对于B从最低点到最高点的过程，由机械能守恒得：mvB2=mg2L+mv2最高在最高点，对B由牛顿第二定律得：解得：（2）设A与B碰前、碰后速度分别为vD和vB′根据动量守恒定律得：mvD=mvD′+mvB根据机械能守恒定律得：mvD′2=mvD2+mvB2联立两式解得：vB=vD=4m/s，vD′=0对A从C到D的过程，由动能定理得：μmgLCD=mv2-mvD2下滑过程，有：Mgh=mvC2解得：h=0．94m（3）设滑块A最终与A的距离为S，由动能定理得：μmgS=mvD2解得：S=8m考点：动量守恒定律；机械能守恒定律3．水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°（1）小球的电性及绳子对它的拉力的大小（2）现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为多大？【答案】（1）小球带正电，绳子对它的拉力的大小为mg．（2）为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为．【解析】试题分析：（1）根据受力分析，依据平衡条件，分析电场力的方向，从而确定小球的电性．并求绳子的拉力大小．（2）将电场力与重力合成等效成重力加速度，由牛顿第二定律求最小速度，并根据运动定理，即可求解．解：（1）静止时，小球所受的电场力水平向右，所以小球带正电．静止时对球受力分析如右图，则有绳子拉力T==mg（2）小球所受的电场力qE=mgtan37°=mg将电场力与重力合成，“等效”场力为G′==mg，与T反向“等效”场重力加速度g′=g与重力场相类比可知，小球能在竖直平面内完成圆周运动的速度速度位置在AO连线B处，且最小速度为vB=从B到A运用动能定理，可得G′•2R=﹣即mg•2R=﹣解得v0=答：（1）小球带正电，绳子对它的拉力的大小为mg．（2）为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为．【点评】此题要掌握平衡条件，寻找电场力与重力的关系．并等效成新的重力加速度，同时掌握动能定理，注意功的正负值．4．如图所示，一轻绳长为L，下端拴着质量为m的小球（可视为质点），当球在水平面内做匀速圆周运动时，绳与竖直方向间的夹角为θ，已知重力加速度为g，求：（1）绳的拉力大小F；（2）小球做匀速圆周运动的周期T．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）以球为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件，得。（2）由牛顿第二定律，，得。考点：向心力【名师点睛】解决本题的关键知道小球所受的重力和拉力的合力提供圆周运动的向心力．小球在竖直方向上平衡，即拉力在竖直方向的分力等于重力。5．如图所示，在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，O为悬点，O＇为O在水平地面上的投影，已知绳长为a，绳与竖直方向夹角为θ=60°，OO＇间距离为3a/2，重力加速度为g。某时刻绳被剪断，小球将落到P点，求：（1）小球做圆周运动的速度V的大小；（2）P到O＇的距离L。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：：（1）小球所受合力提供向心力：，解得小球做圆周运动的线速度为：．（2）绳被剪断，小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有：，代入数值解得：根据几何关系得：考点：考查了圆周运动规律的应用【名师点睛】在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解v．绳被剪断，小球做平抛运动，根据平抛运动的规律列式，求解即可l6．如图所示，一个人用一根长1m、只能承受74N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面h=6m．转动中小球在最低点时绳子恰好断了．（取g=10m/s2）（1）绳子断时小球运动的角速度多大？（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？【答案】（1）8rad/s（2）8m【解析】试题分析：（1）绳子断时，绳子的拉力恰好是74N，对小球受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可以求得角速度的大小；（2）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得落地点与抛出点间的水平距离．解：（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可得，F﹣mg=mrω2，所以ω==8rad/s，即绳子断时小球运动的角速度的大小是8rad/s．（2）由V=rω可得，绳断是小球的线速度大小为V=8m/s，绳断后，小球做平抛运动，水平方向上：x=V0t竖直方向上：h′=gt2代入数值解得x=ωR×=8m小球落地点与抛出点间的水平距离是8m．【点评】小球在最低点时绳子恰好断了，说明此时绳的拉力恰好为74N，抓住这个临界条件，再利用圆周运动和平抛运动的规律求解即可．7．如图所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．求：（1）若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？（2）若该同学拿着盒子以第（1）问中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到如图所示的位置（球心与O点位于同一水平面上）时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？【答案】（1）T0＝2π；（2），【解析】试题分析：（1）设盒子的运动周期为T0．因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力提供向心力，根据牛顿运动定律得mg＝mR（）2解之得T0＝2π（2）设此时盒子的运动周期为，则小球的向心加速度为a0＝R由第（1）问知T0＝2π且T＝由上述三式知a0＝4g设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为FN，根据牛顿运动定律知，在水平方向上F＝ma0即在竖直方向上即因为F为正值、FN为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg．考点：向心力【名师点睛】在最高点，盒子与小球之间无作用力，知小球靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出速度的大小，从而根据线速度与周期的关系求出盒子运动的周期。8．如图所示，绝缘细线左端固定在O点，右端固定一质量为m的小球，开始时细线被拉直长为L，处于水平状态，让小球从A点无初速释放，重力加速度为g，则：（1）小球到达最低点时的速度的大小；（2）小球到达最低点时绳中的拉力的大小；（3）如果小球带正电，处于方向向上的匀强电场中且电场力大小等于mg，仍让小球从A点无初速释放，小球到达最低点时速度的大小；（4）如果小球带正电，处于方向向上的匀强电场中且电场力大小等于2mg，为确保小球在竖直面内做完整的圆周运动，至少以多大的速度把小球从A点竖直抛出；【答案】（1）（2）3mg（3）（4）【解析】试题分析：（1）小球到达最低点时，由机械能守恒：解得：（2）小球到达最低点时，根据牛顿定律：解得：T=3mg（3）根据动能定理：解得：（4）如果小球带正电，处于方向向上的匀强电场中且电场力大小等于2mg，则合力为mg方向向上，在最低点的最小速度为，解得：由动能定理可得：解得考点：动能定理及牛顿第二定律的应用【名师点睛】此题是动能定理及牛顿定律的应用问题；解题时关键是要抓住临界状态的情况，第4问中的最不容易通过的点应该在最低点，学会用等效法解决问题．9．如图甲所示，一长为l=1m的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。给系统输入能量，使小球通过最高点的速度不断加快，通过传感器测得小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系如图乙所示，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力，请分析并回答以下问题：（1）若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度有何要求？（用题中给出的字母表示）。（2）请根据题目及图像中的条件求出小球质量m的值。（g取10m/s2）（3）求小球从图中a点所示状态到图中b点所示状态的过程中，外界对此系统做的功。（4）当小球达到图乙中b点所示状态时，立刻停止能量输入。之后的运动过程中，在绳中拉力达到最大值的位置，轻绳绷断，求绷断瞬间绳中拉力的大小。【答案】（1）；（2）m=0．2kg；（3）3．0J；（4）16N。【解析】试题分析：（1）小球刚好通过最高点做完整的圆周运动要求在最高点受力满足：因此小球过最高点的速度要满足：（2）小球在最高点时有：又因为：，所以绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系式为：由图像知，当Ek=1．0J时，F=0，代入上式得到：mgl=2．0J；又已知l=1m，则小球的质量m=0．2kg。（3）由知：图线的斜率值为N/J，因此对应状态b,Fb=4．0N，可求出小球在最高点的动能，由，得到：3．0J（或：由，将0．2kg、、F=4．0N代入，可求得：）对小球从状态a到状态b的过程，有：外界对系统做的功为2．0J。（4）在停止能量输入之后，小球在重力和轻绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动，运动过程中机械能守恒。当小球运动到最低点时，绳中拉力达到最大值。设小球在最低点的速度为v，对从b状态开始至达到最低点的过程应用机械能守恒定律，有：；设在最低点绳中拉力为Fm，由牛顿第二定律有：两式联立解得：Fm=16N。即绷断瞬间绳中拉力的大小为16N。考点：圆周运动，牛顿第二定律，机械能守恒定律。10．如图所示，竖直平面内有一长L=0.3m的轻绳，上端系在钉子上，下端悬挂质量M=0.8kg的小球A，细线拉直且小球恰好静止在光滑水平面上．一质量m=0.2kg的小球B以速度V0=10m/s水平向左运动，与小球A发生对心碰撞，碰撞过