新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总

第五章三角函数TOC\o"1-4"\h\z\u5.1任意角和弧度制 -1-5.1.1任意角 -1-5.1.2弧度制 -8-5.2三角函数的概念 -14-5.2.1三角函数的概念 -14-5.2.2同角三角函数的基本关系 -21-5.3诱导公式(1) -28-5.3诱导公式(2) -34-5.4三角函数的图象与性质 -39-5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 -39-5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1) -45-5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) -51-5.4.3正切函数的性质与图象 -57-5.5三角恒等变换 -74-5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 -74-5.5.2简单的三角恒等变换 -79-5.6函数y＝Asin(ωx＋φ) -86-5.7三角函数的应用 -99-5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一角的概念⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(anyangle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．解题方法探究探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5eq\f(5,12)小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋eq\f(5,12))×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2010°＝－6×360°＋150°，所以与－2010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．易错点归纳一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，角eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，eq\f(α,3)是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．综上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为eq\f(α,3)终边所落在区域，故eq\f(α,3)为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制知识点一角度制与弧度制设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧eq\x\to(PP1)的长为l.由初中所学知识可知l＝eq\f(nπr,180)，于是eq\f(l,r)＝neq\f(π,180).如果n°确定，eq\f(l,r)的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的eq\f(1,360)为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.30°(4)角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝eq\f(nπ,180)，则度量单位类别弧度制角度制扇形的弧长l＝αRl＝eq\f(nπR,180)扇形的面积S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2S＝eq\f(nπR2,360)解题方法探究探究一角度与弧度之间的互化[例1](1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：α1＝－eq\f(11,7)π，α2＝eq\f(511,6)π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：eq\f(16π,3)，－315°，－eq\f(11π,7)；(3)在0°～720°中找出与eq\f(2π,5)终边相同的角．[解析](1)α1＝－eq\f(11,7)π＝－eq\f(11,7)×180°≈－282.86°；α2＝eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°；α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19,4)π.(2)eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3)；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋eq\f(π,4)；－eq\f(11π,7)＝－2π＋eq\f(3π,7).(3)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴与eq\f(2π,5)终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.∴在0°～720°中与eq\f(2π,5)终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×(eq\f(180,π))°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2,3)πeq\f(3,4)πeq\f(5,6)ππ角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度eq\f(7,6)πeq\f(5,4)πeq\f(4,3)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πeq\f(7,4)πeq\f(11,6)π2π探究二用弧度制表示角[例2]用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析]对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的终边即eq\f(π,3)的终边，∴所求集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).对于题图(2)，同理可得，所求集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)＜α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．探究三扇形的弧长、面积公式的应用[例3][教材P174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析]设扇形的圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.[答案]1cm21cm2(2)求半径为2，圆心角为eq\f(5π,3)的圆弧的长度．[解析]∵半径R＝2，圆心角α＝eq\f(5π,3)，∴弧长l＝|α|·R＝eq\f(10π,3).(3)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝10，,\f(1,2)rl＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,l＝2.))当r＝1时，l＝8，此时α＝eq\f(l,r)＝8(rad)>2π，不符合，舍去；当r＝4时，l＝2，此时α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．∴所求圆心角的弧度数为eq\f(1,2)rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．易错点归纳一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便．[典例]已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？[解析]设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.根据题意设大齿轮的周长L＝48.小齿轮的周长l＝20.故eq\f(2πR,2πr)＝eq\f(48,20)，即eq\f(R,r)＝eq\f(48,20).(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ，∴θr＝2πR，θ＝eq\f(R,r)×2π＝eq\f(48,20)×2π＝eq\f(24,5)π.(2)大轮的转速v1＝3r/s，故小轮的转速v2＝eq\f(48,20)×3，1s转过的弧长为eq\f(48,20)×3×2π×10.5＝151.2π(cm)．二、角度制与弧度制混用[典例]把角－570°化为2kπ＋α(0≤α＜2π)的形式为()A．－3π－eq\f(1,6)π B．－4π＋150°C．－3kπ－30° D．－4π＋eq\f(5,6)π[解析]－570°＝－2×360°＋150°，化为弧度为－4π＋eq\f(5,6)π.[答案]D纠错心得(1)－3π不是2kπ的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2kπ＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A，C错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B错．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.当α＝eq\f(π,6)时，点P的坐标是什么？当α＝eq\f(π,2)或eq\f(2π,3)时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sinefunction)，记作sinα，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosinefunction)，记作cosα，即x＝cosα；③把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangentfunction)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometricfunction)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).其中r＝eq\r(x2＋y2).知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式eq\f(π,6)与eq\f(13,6)π终边有什么关系？sineq\f(π,6)与sineq\f(13,6)π.coseq\f(π,6)与coseq\f(13,6)π，taneq\f(π,6)与taneq\f(13,6)π之间有什么关系？知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.解题方法探究探究一利用三角函数定义求三角函数值[例1][教材P178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝________.[解析]由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝eq\r(4a2＋－3a2)＝5|a|.①当a＞0时，r＝5a，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，则2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).②当a＜0时，r＝－5a，2sinα＋cosα＝2×eq\f(－3a,－5a)＋eq\f(4a,－5a)＝eq\f(2,5).综上，2sinα＋cosα＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，a＞0，,\f(2,5)，a＜0.))[答案]±eq\f(2,5)(2)求eq\f(4,3)π的正弦、余弦和正切值．[解析]在直角坐标系中作∠AOB＝eq\f(4,3)π，如图．∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，∴sineq\f(4,3)π＝－eq\f(\r(3),2)，coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2)，taneq\f(4,3)π＝eq\r(3).(3)已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－eq\f(\r(2),2)，求cosα和tanα的值．[解析]设点M的坐标为(x1，y1)．由题意可知，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，即y1＝－eq\f(\r(2),2).∵点M在圆x2＋y2＝1上，∴xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝1，解得x1＝eq\f(\r(2),2)或x1＝－eq\f(\r(2),2).∴cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝－1，或cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.(4)已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．[解析]法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(5),5)，,y1＝\f(2\r(5),5)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(\r(5),5)，,y2＝－\f(2\r(5),5).))①当角α的终边在第一象限时，cosα＝x1＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝y1＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y1,x1)＝2.②当角α的终边在第三象限时，cosα＝x2＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝y2＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y2,x2)＝2.法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝eq\r(t2＋2t2)＝eq\r(5)|t|.①若t＞0时，则r＝eq\r(5)t，从而sinα＝eq\f(2t,\r(5)t)＝eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,\r(5)t)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.②若t＜0，则r＝－eq\r(5)t，从而sinα＝eq\f(2t,－\r(5)t)＝－eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,－\r(5)t)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r＝|OP|＝eq\r(x2＋y2)，第三步，求值：由sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)求值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题[例2]判断下列各式的符号．(1)sin2005°cos2006°tan2007°；(2)tan191°－cos191°；(3)sin2cos3tan4.[解析](1)∵2005°＝1800°＋205°＝5×360°＋205°，2006°＝5×360°＋206°，2007°＝5×360°＋207°，∴它们都是第三象限角，∴sin2005°<0，cos2006°<0，tan2007°>0，∴sin2005°cos2006°tan2007°>0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.(3)∵eq\f(π,2)<2<π，eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．探究三利用公式一求值[例3]求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋tan(－eq\f(15π,4))；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.[解析](1)原式＝cos(8π＋eq\f(π,3))＋tan(－4π＋eq\f(π,4))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤易错点归纳一、单位圆的妙用——比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).如果α在第一象限，作PM⊥x轴于M点．则|PM|＝y，|OM|＝x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于eq\f(AT,MP)＝eq\f(OA,OM)，即eq\f(AT,OA)＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(y,x)＝tanα，OA＝1，∴tanα＝AT.即此时，可用线段MP、OM、AT的长度来表示sinα、cosα、tanα的值．[典例]如果eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，那么下列不等式成立的是()A．cosα＜sinα＜tanαB．tanα＜sinα＜cosαC．sinα＜cosα＜tanαD．cosα＜tanα＜sinα[解析]在坐标系中作∠AOC＝eq\f(π,4)，OC与单位圆的交点为C.作∠AOP＝α，OP与单位圆的交点为P.如图．作PM⊥x轴于M点，由OP和OC相比较可知．MP＞OM.过A点作切线AT，则AT＞MP.又sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.∴tanα＞sinα＞cosα.故选A.[答案]A二、利用三角函数的定义运算出错[典例]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．[解析]因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．5.2.2同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数基本关系式如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.由此想到sinα、cosα、tanα之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_α(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．解题方法探究探究一利用基本关系式求值[例1][教材P183例6拓展探究](1)已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解析]法一：∵tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sinα，得(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(1,5)；当α为第二象限角时，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝eq\f(2\r(5),5)；当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝－eq\f(2\r(5),5).法二：∵tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．由tanα＝eq\f(sinα,cosα)，两边分别平方，得tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝eq\f(sin2α,cos2α)＋1＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α)＝eq\f(1,cos2α)，即cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).当α为第二象限角时，cosα<0，∴cosα＝－eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq\r(\f(1,1＋－22))＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(2\r(5),5).当α为第四象限角时，cosα>0，∴cosα＝eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝eq\r(\f(1,1＋－22))＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5).(2)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．[解析]∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(15,8).(3)已知tanα＝3，求：①eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；②sin2α－3sinαcosα＋1.[解析]①原式＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×3－3,4×3－9)＝1.②原式＝eq\f(sin2α－3sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－3tanα,1＋tan2α)＋1＝eq\f(32－3×3,1＋32)＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类(1)依据：cosα＝±eq\r(1－sin2α)或sinα＝±eq\r(1－cos2α)，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tanα＝eq\f(sinα,cosα)时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sinθ±cosθ与sinθcosθ相互转化方法：(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ.探究二三角函数式的化简[例2]化简下列各式．(1)eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＋eq\r(\f(1＋cosθ,1－cosθ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))；(2)eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(tanx－sinx,tanx＋sinx)).[解析](1)原式＝eq\r(\f(1－cosθ2,sin2θ))＋eq\r(\f(1＋cosθ2,sin2θ))＝eq\f(1－cosθ,|sinθ|)＋eq\f(1＋cosθ,|sinθ|)＝eq\f(2,|sinθ|).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴原式＝eq\f(2,sinθ).(2)原式＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(\f(sinx,cosx)－sinx,\f(sinx,cosx)＋sinx))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(sinx1－cosx,sinx1＋cosx))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\f(1－cosx,|sinx|)＝eq\f(sinx,|sinx|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))∪\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))k∈Z，,－1，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))∪\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)，2kπ＋2π))k∈Z.))1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sinα＝tanα·cosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).2．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低．(2)使式中的项数尽量少．(3)使三角函数的种类尽量少．(4)使式中的分母尽量不含有三角函数．(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．探究三三角恒等式的证明[例3]求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.[证明]法一：左边＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝(1－2sinα＋sin2α)＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα)2＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．∴原式成立．法二：令1－sinα＝x，cosα＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝1－x，,cosα＝y.))由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，∴左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．易错点归纳一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin2α＋cos2α＝1可变换成(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1，其中sinα＋cosα与sinαcosα很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sinα，cosα为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例]已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.(1)求k的值；(2)求tanθ＋eq\f(1,tanθ)的值．[解析](1)已知方程有两个实根sinθ，cosθ，应满足如下条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝36k2－32·2k＋1≥0，①,sinθ＋cosθ＝－\f(3,4)k，②,sinθ·cosθ＝\f(2k＋1,8).③))由平方关系可建立关于k的等式．∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，④∴将②③代入④，得eq\f(9k2,16)－eq\f(2k＋1,4)＝1，即9k2－8k－20＝0，解得k＝－eq\f(10,9)或k＝2.将k值代入Δ≥0验证．∵k＝2不满足①式，故舍去，∴k＝－eq\f(10,9).(2)切化弦，再通分．tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθ·cosθ)，把(1)求得的k值代入．由(1)知sinθ·cosθ＝eq\f(2k＋1,8)＝－eq\f(11,72)，∴tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1,sinθ·cosθ)＝－eq\f(72,11).二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解[典例]已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且0＜θ＜π，求sinθ－cosθ.[解析]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25)，解得sinθcosθ＝－eq\f(12,25).∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25).∵0＜θ＜π，且sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ－cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).纠错心得此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sinθ－cosθ＝±eq\f(7,5).当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．5.3诱导公式(1)知识点一诱导公式(二)如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知识点二诱导公式(三)如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知识点三诱导公式(四)如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？知识梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．解题方法探究探究一给角求值[例1]求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－eq\f(16π,3))；(3)sineq\f(4,3)π·cos(－eq\f(19,6)π)·taneq\f(21,4)π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)法一：cos(－eq\f(16π,3))＝coseq\f(16π,3)＝cos(eq\f(4π,3)＋4π)＝coseq\f(4π,3)＝cos(π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).法二：cos(－eq\f(16π,3))＝cos(eq\f(2π,3)－6π)＝coseq\f(2π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·cos(2π＋eq\f(7π,6))·tan(4π＋eq\f(5π,4))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝(－sineq\f(π,3))·(－coseq\f(π,6))·taneq\f(π,4)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))×1＝eq\f(3,4).利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：探究二给值求值[例2][教材P195第8题拓展探究](1)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，则sin(eq\f(4,3)π－x)＝________.[解析]sin(eq\f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq\f(π,3)－x)]＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(1,3).[答案]－eq\f(1,3)(2)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，且0＜x＜eq\f(π,2)，则tan(eq\f(2,3)π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).又sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).cos(eq\f(2,3)π＋x)＝cos[π－(eq\f(π,3)－x)]＝－cos(eq\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin(eq\f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq\f(π,3)－x)]＝sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，∴tan(eq\f(2,3)π＋x)＝eq\f(sin\f(2,3)π＋x,cos\f(2,3)π＋x)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).[答案]－eq\f(\r(2),4)(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．探究三化简三角函数式[例3]化简cos(eq\f(4n＋1,4)π＋x)＋cos(eq\f(4n－1,4)π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(nπ－eq\f(π,4)－x)．(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋eq\f(π,4)＋x]＋cos[(2k＋1)π－eq\f(π,4)－x]＝－cos(eq\f(π,4)＋x)－cos(－eq\f(π,4)－x)＝－2cos(eq\f(π,4)＋x)；(2)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos(2kπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(2kπ－eq\f(π,4)－x)＝cos(eq\f(π,4)＋x)＋cos(－eq\f(π,4)－x)＝2cos(eq\f(π,4)＋x)．故原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2cos\f(π,4)＋x，n为奇数,2cos\f(π,4)＋x，n为偶数)).利用诱导公式化简三角函数式的注意点(1)当碰到kx±α(k∈Z)的形式时，要注意对k分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.易错点归纳一、角的终边关系与诱导公式的拓展在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：α与β的终边关于x轴对称α＋β＝2kπ(k∈Z)α与β的终边关于y轴对称α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)α与β的终边关于直线y＝x对称α＋β＝eq\f(4k＋1,2)π(k∈Z)α与β的终边关于直线y＝－x对称α＋β＝eq\f(4k－1,2)π(k∈Z)α与β的终边在同一条直线上α－β＝kπ(k∈Z)α与β的终边垂直α－β＝eq\f(4k±1,2)π(k∈Z)公式一～四拓展为sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα，cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα.[典例]化简：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(k∈Z)．[解析]原式＝eq\f(－1k＋1sinθ·－1k＋1cos－θ,－1ksin－θ·－1kcosθ)＝eq\f(－12k＋2sinθcosθ,－12ksin－θcosθ)＝－1.[答案]－1二、盲目套用公式[典例]若tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为________．[解析]由tan(5π＋α)＝m，得tanα＝m.于是原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).[答案]eq\f(m＋1,m－1)纠错心得此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．5.3诱导公式(2)知识点诱导公式(五)、(六)如图，作P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式五(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α.公式六(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.(3)公式五～六归纳：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．解题方法探究探究一利用诱导公式求值[例1](1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝________.(3)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))的值．[解析](1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5).(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3).(3)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，所以a2＋eq\f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以原式＝eq\f(cosα＋2cosα,－2sinα)＝－eq\f(3,2)·eq\f(cosα,sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.[答案](1)C(2)eq\f(2,3)(3)见解析已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系；②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．探究二化简三角函数式[例2]化简：eq\f(sin4π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋α))cos2π－α)－eq\f(tan5π－α,sin3π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))).[解析]∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－cosα，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tanα，sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sinα，∴原式＝eq\f(sinαsinα,－cosαcosα)－eq\f(－tanα,sinαcosα)＝－eq\f(sin2α,cos2α)＋eq\f(1,cos2α)＝eq\f(1－sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.将同角三角函数基本关系式和诱导公式联系起来化简三角函数式是常见的题型，利用诱导公式解题时，要注意灵活运用公式．在解法二中利用诱导公式的规律对解题过程进行简化时，容易误认为是π的奇、偶倍而犯错，要牢记“奇变偶不变”中奇、偶指的是eq\f(π,2)的奇、偶倍．探究三证明三角恒等式[例3]求证：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,sinα＋\f(3π,2)cosα＋\f(3π,2))＝－tanα.[证明]左边＝eq\f(tan－α·sin－α·cos－α,sin[2π－\f(π,2)－α]·cos[2π－\f(π,2)－α])＝eq\f(－tanα·－sinα·cosα,sin[－\f(π,2)－α]cos[－\f(π,2)－α])＝eq\f(sin2α,－sin\f(π,2)－αcos\f(π,2)－α)＝eq\f(sin2α,－cosα·sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα＝右边．∴原等式成立．对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．易错点归纳一、诱导公式(一)～(六)的拓展与应用这六组诱导公式可归纳为k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k为奇数时，得角α的余名三角函数值，然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限．”即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋α))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(±sinα，当k为偶数，,±cosα，当k为奇数.,))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋α))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(±cosα，当k为偶数，,±sinα，当k为奇数.))[典例]化简：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)π＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)π－α))(n∈Z)．[解析]当n＝4k(k∈Z)时，原式＝sin(2kπ＋α)＋cos(2kπ－α)＝sinα＋cosα.当n＝4k＋1(k∈Z)时，原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－α))＝cosα＋sinα.当n＝4k＋2(k∈Z)时，原式＝sin(2kπ＋π＋α)＋cos(2kπ＋π－α)＝－sinα－cosα.当n＝4k＋3k∈Z时，原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3,2)π＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3,2)π－α))＝－cosα－sinα.综上，当n＝4k或n＝4k＋1(k∈Z)时，原式＝sinα＋cosα.当n＝4k＋2或4k＋3(k∈Z)时，原式＝－sinα－cosα.二、三角形中的诱导公式由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C，所以eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).[典例]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(A＋C)，－eq\r(3)cos(B＋C)＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解析]由已知条件得，sinA＝eq\r(2)sinB，①eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，②①2＋②2得，sin2A＋3cos2A＝2，∴2cos2A＝1，∴cosA＝±eq\f(\r(2),2).当cosA＝eq\f(\r(2),2)时，cosB＝eq\f(\r(3),2).又A、B为三角形内角∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.当cosA＝－eq\f(\r(2),2)时，cosB＝－eq\f(\r(3),2)，A、B都为钝角，舍去．综上，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点一正弦函数的图象在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？知识梳理(1)如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin_x0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sinx0)．若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(如图)．将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象(如图)．正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecurve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．(2)五点法：在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．知识点二余弦函数图象你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？知识梳理(1)变换法将正弦函数的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线(cosinecurve)．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续