2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期开学数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期开学数学试题

一、单选题

i.椭圆［+£=1的长轴的长等于（）

A.正B.272C.2D.4

【答案】D

【解析】根据椭圆的方程，可求出长轴的长.

【详解】椭圆［+9=1中，“2=4*2=2,所以长轴的长2a=4.

故选：D.

2.已知复数z=?",则复数z的虚部为（）

1+|

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.

l+5i(l+5i)x(l-i)l+4i-5i2

=3+2i,

【详解】1+T-(l+i)x(l-i)-2-

所以复数z的虚部为2.

故选：A.

3.经过两点A(-3,1),仇0,-4)的直线的方程为()

A.y=-x-4B.y=--x-4C.y=-x-4

333

【答案】D

【分析】由两点坐标求得斜率，由斜截式写出直线方程.

【详解】由已知直线斜率为/=丁?=-2，

所以直线方程为y=

故选：D.

?v2

4.双曲线工-乙=-1的渐近线方程为（)

49

234

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±2x

324

【答案】B

【分析】利用双曲线的方程即可求出双曲线渐近线.

【详解】由题意可知，双曲线的焦点在y轴上，所以/=9/2=4,即〃=32=2,

所以双曲线H=-l的渐近线方程为y=±£

故选：B

5.若两条直线4：2x+ay—1=0与4：or+(2a-l)y+3=0相互垂直，则。=()

A.—B.0

2

C.一,或oD.一2或0

2

【答案】C

【分析】根据两直线垂直可得出关于实数。的等式，由此可求得实数。的值.

【详解】因为则2a+a(2a-l)=a(2a+l)=0,解得”=或“=().

故选：C.

6.作圆C:(x-2)2+(y-l>=25上一点P(-2,4)处的切线/,直线m:以-3y=0与直线/平行，则直线

/与机的距离为()

812

A.4B.2C.-D.—

55

【答案】A

【分析】先求得/的方程，根据/，小平行求得“，由此求得/与〃，的距离.

【详解】圆C的圆心为作(2,1),P(-2,4)是圆上一点,

原。二三4-」1;=-33,所以切线/的斜率为4:，

—2—243

4

直线/的方程为y-4=§(x+2),4x-3y+20=0,

由于/与机平行，所以£===>“=4,

4-320

即直线机的方程为4x-3y=0,

-20,

所以直线/与用的距离为^^=4.

故选：A

7.若方程值==2x+〃z有实数解，则实数”的取值范围是

A.[-6,0)U[2,+8)B.[-G,0)u(0,6]

C.(—oo,—^3]kJ[2,+oo)D.(F,-2]U⑵欣)

【答案】C

【分析】由已知函数/(x)=V7=1与g(x)=2x+帆图象有交点，作函数图象，观察可得实数”的取

值范围.

【详解】方程庐1=2x+m有实数解等价于/(8)=>/?二1与g(x)=2x+m图像有交点，

"x)=J?=^|]x2-y2=i(y\0)表示等轴双曲线x轴上方的部分，

g(x)=2x+帆表示平行直线系，斜率都为2；

当，心0时、把y=2x向左平移到(一1,0)处，机有最小值，即一2+加=0,，*=2,故，"22；

当机<0时，把y=2x向右平移到与双曲线相切时，”有最大值，联立厂「，，化简可得

[x--y2=\

3x2+4mx+m2+\^0，令方程+4〃?x+W+i=o的判别式△=4帆？-12=0得加=±G，由题意可

得与右支相切时机=-百，故根4-6

综上：实数机的取值范围是(f,-G]u[2,+8)

故选：C.

8.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段B尸的延长线交椭圆C于点。，且

丽==2而，则椭圆C的离心率为()

A.立B.GC.-D.3

33

【答案】A

【分析】由题意设椭圆的焦点在x轴上，F(c,0),8(0,6),设。(x,y),由乔=2而解得点。坐标,

代入椭圆方程，化简即可求得离心率.

22

【详解】设椭圆的焦点在X轴上，方程为］r+方=l（a>"0）,F（C,O）,3（0⑼,

UUU

设。(x,y),由丽=2而，且3b=(c,,—b)/3=(x-c,y),

故七尸肝,。后，-眇

由点。在椭圆上，

整理得二=L

a23

故离心率6=£=3,

a3

故选：A.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）,

常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,6,c的齐次式，结合〃=/—/转化为“，c•的齐次式，然后等

式（不等式）两边分别除以a或42转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范

围）.

二、多选题

9.已知平面上一点M（5,0）,若直线/上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”，下

列直线中是点M的“相关直线'’的是（）

A.y=x+\B.y=2C.4x_3y=0D.2x-y+1=0

【答案】BC

【分析】分别计算点M到四条直线的距离,结合点M相关直线的定义，即可得到答案.

【详解】对于A,"（5,0）,直线为y=x+l,所以点到直线的距离为:"=3虚>4,

即点M到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点尸使IPM|=4成立.故A错误，

对于B,知（5,0）,直线为丫=2,所以点闻到直线的距离为2<4,

所以点M到直线的最小值距离小于4,

所以直线上存在点P使IPM1=4成立.故B正确，

对于C,M（5,0）,直线为4x-3），=0,所以点到直线的距离为:〃=4,

所以点M到直线的最小值距离等于4,

所以直线上存在点尸使IPM|=4成立，故C正确，

对于D,M(5,0),直线为-y+]=0,所以点至值线的距离为4=竽＞4,

即点M到直线的最小值距离大于4,

所以直线上不存在点P使1PMi=4成立.故D错误，

故选：BC.

10.将曲线G：y=sinx上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

m个单位长度，得到曲线C2：y=f(x),则下列结论正确的是()

6

A.f(x)=sin(2x+^)B.=

C./(x)在[0,用上有2个零点D.f(x)在(q.)上单调递增

【答案】BCD

【分析】先求出〃x)的解析式，即可判断A;

对于B:利用诱导公式直接证明；

对于C:令/(x)=sin(2x+?)=0,直接解方程即可得到答案；

对于D：直接判断单调区间即可.

【详解】曲线G：y=sinx上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到y=sin2x；再把得

到的曲线向左平移看个单位长度，得到曲线C2：y=〃x),所以C2"(x)=sin(2x+?J

故A错误.

对于B:7(5一x)=sin[2(5一+?=sin(笥-2x),而f(x)=sin(2x+().

因为(2x+5)+(券-2x)=万，所以sin(与-2xj=sin(2x+/),即=/(x).故B正确；

对于C:当X0O,划时，令/(x)=sin(2x+?J=0,解得：x=§或尤=普.即f(x)在。兀]上有2个零

点.故C正确；

对于D：当时，6(-0,]),所以f(x)在(-?6)上单调递增.故D正确.

故选：BCD.

11.已知实数满足方程V+y2-4x+l=0,则下列说法正确的是()

A.y-x的最大值为"-2B.f+)，2的最大值为7+4>Q

C.2的最大值为6D.x+y的最大值为2+6

X

【答案】ABC

【分析】令y-x=z,f=M+y2,%=5,m=根据其几何意义求解即可.

【详解】根据题意，方程Y+y2-4x+l=。，即(x-2)2+V=3,

表示圆心为(2.0),半径为6的圆，由此分析选项:

对于A,设y-x=z,g|Jx-y+z=0,

直线x-y+z=0与圆(X-2)2+y2=3有公共点,

|2+z|

所以工后,解得-卡-2Vz46-2

7T+T

则2='-》的最大值为#-2,故A正确;

对于B,设r=&+y2,其几何意义为圆(x-2)2+y2=3上的点到原点的距离,

所以/的最大值为2+行，

故f+y2的最大值为产=(2+6)2=7+46，故B正确；

对于C,设火=』，则"-y=0,直线区-y=0与圆(》-2)2+丁=3有公共点，

X

ItI

则了；淳‘小‘解得-64k

即上的最大值为白，故C正确；

X

对于D,设〃z=x+y,则x+y—m=0,直线x+y-机=。与圆(x-2y+y2=3有公共点，

则有辱空〈百，解得：-6+24〃?4指+2,

即犬+丁的最大值为#+2,故D错误；

故选：ABC

12.过抛物线V=4x的焦点F作直线交抛物线于A8两点，M为线段A8的中点，则下列结论正确

的是()

A.以线段A3为直径的圆与直线x=-；相交B.以线段8M为直径的圆与y轴相切

9

C.当而=2而时，|48|=5D.IA31的最小值为4

【答案】ACD

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A,B,M在准线上的射影为A,B',M：由抛物线

的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A；

当直线A8的斜率不存在时，显然成立；当直线A8的斜率存在时，设为1,求得A,B,M的横坐

标，由直线和圆的位置关系可判断B；

9

以尸为极点，X轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为0=—^；,设4（启，0）,8（0,万+9）,

1-cos0

求得|AW,\FB\,可判断C；

考虑直线A8垂直于x轴，取得最小值，可判断D.

【详解】解：丁=好的焦点尸（1,0）,准线方程为尸-1,

设A,B,M在准线上的射影为A,B',M',

由|AFRA4'|,IBFHBS'I,A4,|+|BB,|）=1（|AF|+|FB|）=-|AB|,

222

可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线x=-g相交，故A对；

当直线AB的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与y轴相切；

当直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为丫=田-女，联立V=4x,可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,

设M），B（X2,y2）,

可得X+%=2+^y,=1，设N=3+20,=3—2-\/2,

可得M的横坐标为l+1，MB的中点的横坐标为3（1+微+%），18Ml=Jl+公区-为a,

当k=1时，MB的中点的横坐标为|-a,||MB|=2,显然以线段BM为直径的圆与丁轴相交，故B

错；

2

以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为0=;——-,

1-COS0

222

设4月,0）,B（0,"+e）,可得乃=匚加‘3.8"）=用亚

可|/\r得||nr|上;Z"、gZ+l+；se=］，又|A"|=2|尸8|,可得|A"|=3,I2阳=\则

9

|AB|=|AF\+\FB\=-,故C正确；

显然当直线A8垂直于x轴，可得IABI取得最小值4,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.己知圆C:（x-3）2+y2=r2&>o）和圆。：/+>2-分+7=0外切，则厂=

【答案】2

【分析】根据两圆外切列方程，化简求得，，

【详解】圆C的圆心为（3,0）,半径为八.

圆。的圆心为（0,4）,半径为延；28=3.

圆心距为732+42=5，

由于两个圆外切，所以r+3=5nr=2.

故答案为：2

14.直线、=齿-4+1与圆/+丁=4交于AB两点，则即最小值为.

【答案】2&

【分析】求出直线¥=依-&+1过定点A（l,l）,然后结合圆的性质分析出当直线与垂直时，弦长

最短，然后结合垂径定理即可求解.

【详解】直线％+1过定点过M。』），因为点例。,1）在圆的内部，且0河=闹=夜，由圆中

弦的性质知当直线与。“垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得AB=2,22-（夜『=2四,

故答案为：20

15.直线/被两条直线/”4x+y+3=0和小3犬-5厂5=0截得的线段的中点为2（-1,2）,则直

线/的斜率为.

【答案】-3

【分析】先设一个交点再表示另一个交点3(-2-%,4,接着联立方程求出A,8两

点坐标，即可求出直线/的斜率.

【详解】设直线/与乙的交点为A(%,%),直线/与4的交点为8.

由已知条件，得直线/与4的交点为8(-2-%,4-%),

4%+为+3=0

联立《

3（-2-飞）-5（4-%）-5=0'

即I；：［：*：。'xo=-2

解得

Jo=5

所以，A(-2,5),8(0,—1),

直线I的斜率k=0二；］；)=m=-3,

故答案为：-3.

16.已知耳,马是双曲线二-1=1(。>08>0)左右焦点，过K的直线/与双曲线的左右支分别交于A、

arb

B两点，若46=2〃，/月4写=t，则要&=

【答案】g##0.5

【分析】根据双曲线定义得|伍|，1•1,再根据三角形面积公式得结果.

【详解】因为|伍卜|刈|=2%|曲|=次,所以|伍|=4%

因为倒|一|叫|=2a,所以忸川+|前卜忸闾=2a,忸A|=|B闾，

因为耳==~,所以NKA8=q,Q6A|=4a..|A8|=4a,

因此抖=产小呼二

4a2

SVABF。AFJsin-以曰

故答案为：g.

四、解答题

17.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

⑴若2bcosC=2a-c,求角B\

⑵若a2=/，求证：tanC=2tanA.

【答案】(1)B=《；

⑵证明见解析.

【分析】(1)由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后可得8角；

(2)已知代入余弦定理得cosC=3,再由正弦定理化边为角，由诱导公式、两角和的正弦公式变

形后可证.

【详解】(1),:2bcosC=2a-c由正弦定理得2sin5cosC=2sinA-sinC,

2sin3cosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2(sinBcosC+cosBsinC),

sinC=2cosBsinC,。是三角形内角，sinCVO,cosB=—,

2

8是三角形内角，8=。；

(2)Va2+-b2=c2,

3

所以

lab2ah3a

即cosC=s'nB,3sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

3sinA

cosAsinC=2sinAcosC,

a2+-b2=c2,显然“<c,A<C,因此A是锐角，cosAwO,显然cosC==A0,

33a

所以tanC=2tanA.

18.在“RC中，8C边上的高所在直线的方程为x-2y+l=0,/A的平分线所在直线方程为y=0,

若点B的坐标为(1,2).

⑴求点A和点C的坐标；

(2)求AC边上的高所在的直线/的斜截式方程.

【答案】⑴A(T，O),C(5,-6).

(2)y=x+l

【分析】(1)联立方程组求解即可；(2)由(1)得直线/的斜率为攵=1即可解决.

【详解】(1)由已知A应在8c边上的高所在直线与/A的角平分线所在直线的交点，

所以AC所在直线方程为y=-(》+1),

8c所在直线方程为y—2=—2(x—l),

由])；-<)然得C(5,-6)

[y-2=-2(x-l)

所以点A和点C的坐标为4-1,0),C(5,-6).

(2)由(1)知AC所在直线方程为x+y+I=0,

所以直线/的斜率为左=1,

因为8(1,2),

所以直线/所在的方程为y-2=x-l,即y=x+l,

所以直线/的斜截式方程为y=x+i.

19.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x-2)2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点.

(1)求抛物线的方程；

(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、8、C、O四点，求

|A3|+|8|的值.

【答案】(1)圆=2：的圆心坐标为(2,0),

即抛物线的焦点为尸(2,0)...............3分

AP=4抛物线方程为j：=8x...............6分

1.由题意知直线AD的方程为丁=2(工一2)..........7分即J=2x-4代入厂=8x得

2

X-6x+4=o

设A(x“y)、D(x2,y2),则X1+x?=6,

|AD|=用+刍+/?=6+4=10..............11分

.|^5|+|CZ)|=|.4Z>|-|5C|=10-4=6

【分析】(1)设抛物线方程为V=2px,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；

(2)先由题意得出直线A8的方程，联立直线与抛物线方程，求出|4)|,再由|CB|为圆的直径,

即可求出结果.

【详解】(1)设抛物线方程为V=2px(p>0),

・・•圆(x—2>+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，p=4.

,抛物线的方程为：/=8x；

(2)依题意直线AB的方程为了=2x-4

fjy—2x—4

设。(冷火)，则JV，2_8A.>得f-6x+4=0,

x,+x2=6,|AO|=%+々+p=6+4=10.

\AB\+\CD\=\AE\-\CB\=10-4=6.

【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接

求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出

结果，属于常考题型.

20.已知圆M:/+(y-2)2=l,直线/：x—2y=0,点P在直线/上，过P点作圆〃的切线R4,PB,

切点为AB.

⑴若NAPB=60。，试求点P的坐标;

（2）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【答案】（1）（0,0）,

（2）证明见解析,定点（0,2）和ST

【分析】（1）利用点在直线上及直角三角形中的锐角三角函数，结合两点间的距离公式即可求解；

（2）根据已知条件及经过A,P,"三点的圆是以。为圆心，为半径的圆，进而得到该圆的

方程，根据其方程是关于"，的恒等式即可求解.

【详解】（1）设

因为期是圆历的切线，ZAPB=6O°,

所以NAP"=30。，MP=------=2,

sin30°

o4

所以（2"。+（加—2＞=4,解得机=0,/?!=—,

故所求点尸的坐标为（0,0）,或（黑）

（2）设P（2〃?,w）,MP的中点万+1J,

因为P4是圆M的切线，

所以经过A,P,M三点的圆是以。为圆心，MQ为半径的圆。

故其方程为=病+（£-］）,

化简，得寸+丁-2y-/n（2x+y-2）=0,此式是关于〃，的恒等式,

4

x=—

x2+y2-2y=0“”口x=°5

所以⑵+y-2=。'解得o或1

y=22

所以经过A,P,M三点的圆必过定点（0,2）和rt-

21.已知椭圆C：二+4=1（。＞匕＞0）的左右顶点分别为4（-2,0）,4（2,0）,右焦点为F,点T（l,g）

ab2

在椭圆上.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）P为椭圆上不与4,A?重合的任意一点，直线AR&P分别与直线％=4相交于点M,N,求证:

FM工FN.

【答案】⑴工+汇=1

43

⑵证明见解析

【分析】（1）将点7（1,6代入方程以及。=2即可求解.（2）联立方程得的坐标，进而根据向

量数量积为。证明垂直关系.

【详解】（1）由题知：a=2,

将点“I,］3）代入方程得：；1+输9=1，解得从=3,

•••椭圆C的标准方程为—+^=1.

43

（2）由（1）知c=l,尸（L0）.

设「（%，%）,则血-+二=1,

43

直线AJ的方程为y-%=占（x-%）,

令x=4,则％=%，即加（4,-^）,

直线4P的方程为y-%=-%（x-x。），

/一,

令x=4,则％=杏，即N（4,0\）丽■•丽=（3,驾）<3,居+

%-2x0-2%+2x0-2%+2%-2

12x3（1-芋）

=9+—5^-=9+---