材料力学课件

第二章轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形，例如：第一节引言轴向拉伸（压缩）的受力特点：轴向拉伸（压缩）的变形特点：承受轴向拉伸（压缩）的杆件简称为拉（压）杆与杆的轴线重合杆件沿轴线方向伸长（缩短）所受外力或外力合力的作用线拉杆压杆[例1]判断下列杆件哪些属于轴向拉伸（压缩）？轴向拉伸轴向压缩偏心压缩偏心拉伸第二节

轴力与轴力图一、内力与截面法内力：截面法：截面法的基本思路：外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力分析计算内力的基本方法截开杆件，暴露内力，根据平衡原理确定内力二、拉（压）杆横截面上的内力·轴力在拉（压）杆横截面上，只存在一个作用线与杆的轴线重合的内力，称之为轴力，记作

FN，并规定拉正压负三、轴力图表达轴力随横截面位置变化规律的图线[例2]试作出图示拉（压）杆的轴力图。

[例3]试作出图示拉（压）杆的轴力图。

第二节

轴力与轴力图◆内力与截面法第二章轴向拉伸与压缩◆拉（压）杆横截面上的内力·轴力在拉（压）杆横截面上，只存在一个作用线与杆的轴线重合的内力，称之为轴力，记作

FN，并规定拉正压负第三节拉（压）杆的应力

一、应力概念定义：称为

k

点的应力如图，分布内力在

k

点的集度截面上分布内力的集度表达方式：垂直于截面的法向应力分量称为正应力，记作

，并规定拉正压负；相切于截面的切向应力分量称为切应力，记作

，并规定顺时针转向为正、逆时针转向为负。单位：其中为

Pa。1

Pa=1

N/m2，常用MPa，有时用

GPa。应力常用其一对正交分量表示，在国际单位制中，应力的单位二、拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上只存在正应力。FN为横截面上的轴力。式中，拉（压）杆横截面上的正应力均匀分布，即有作用于杆端的外力的分布方式，会影响杆端局部区域的应力分布，其影响区至杆端的距离大致等于杆的横向尺寸。三、圣维南原理A

为横截面的面积；四、拉（压）杆斜截面上的应力斜截面的方位角

：在拉（压）杆的斜截面上，既有正应力，又有切应力，其计算公式为式中，

为斜截面的方位角

；

为横截面上的正应力。截面外法线

n

与

x

轴正方向之间的夹角，并规定以

x

轴为始边，逆时针转向的

角为正，反之为负。◆

计算时应注意

与

的正负号。讨论：1）当

=0°时，即在横截面上，

max=

；3）切应力互等定理：

+

90°

=－

，即在任意两个相互垂直的斜截面上，切应力大小相等、转向相反。2）当

=45°时，即在

45°斜截面上，

max=

/

2

；[例1]如图，已知

AB

为直径

d=

15

mm

的圆截面杆，AC

为边长

a

=

20

mm

的正方形截面杆，F=

10

kN，试计算两杆横截面上的应力。

解：用截面法，截取节点

A

为研究对象并作受力图。列平衡方程，解得两杆轴力1）计算两杆轴力

2）计算两杆应力AB杆：AC杆：

[例2]图示压杆，已知轴向压力

F=

25

kN，横截面面积

A=200mm2

，试求

m

-

m斜截面上的应力。

解：m

-

m斜截面的方位角横截面上的正应力代入公式即得该斜截面上的正应力与切应力第四节拉（压）杆的变形一、应变概念定义

为线应变，简称应变说明：2）

＞

0

为伸长，

＜

0

为缩短。3）量纲为一1）线应变反映了拉（压）杆的变形程度，具有可比性。二、拉（压）杆的轴向变形·胡克定律试验表明，在线弹性范围内，有上式称为胡克定律，可改写为式中，E

为材料常数，称为弹性模量，单位为

Pa

；EA

称为杆件的抗拉（压）刚度注意胡克定律的适用条件：1）线弹性范围，即杆内应力不大于材料的比例极限，

≤

p;2）单向拉伸（压缩）三、拉（压）杆的横向变形·泊松比拉（压）杆的横向应变：式中，试验表明，在弹性范围内，有2）

的量纲为一说明：

为材料常数，称为横向变形因数或泊松比1）在弹性范围内，

为材料常数

为轴向应变[例1]图示阶梯杆，已知轴向载荷

F1

=

20

kN、F2

=

50

kN，AB

段横截面面积A1

=

300

mm2

，BC段和CD段横截面面积

A2

=

A3

=

600

mm2，三段杆的长度

l1

=

l2

=

l3

=

100

mm，钢材弹性模量

E

=

200

GPa，试求该阶梯杆的轴向变形。

解：画出杆的轴力图2）分段计算轴向变形1）画轴力图3）计算总轴向变形[例2]试求图示等直杆因自重引起的伸长。已知杆的原长为l，横截面面积为A

，材料的弹性模量为E

，质量密度为

。

解：由截面法，得

x

截面上的轴力采用积分元素法即得杆的重力可视为沿杆的轴线平均分布，其分布集度[例3]图示构架，已知杆

1

用钢制成，弹性模量

E1

=

200

GPa，长度l1=

1

m，横截面积

A1

=

100

mm2

；杆2用硬铝制成，弹性模量

E2

=

70

GPa，长度

l2=

0.707

m，横截面面积A2

=

250

mm2

。若载荷F

=

10

kN，试求节点

A

的位移。

解：截取节点A

，作受力图1）计算杆的轴力由平衡方程得两杆轴力2）计算杆的轴向变形由胡克定律得两杆轴向变形3）计算节点

A

的位移小变形条件下，以切线代弧线、以直代曲◆

在小变形的条件下，在确定支座反力和内力时，一般可忽略杆件变形、按照结构的原始尺寸和位置来进行计算；在确定位移时，则可采用上述“以切线代弧线”、“以直代曲”的方法。这样，可使问题的分析计算大为简化。得节点

A

的水平位移、竖直位移分别为[例4]已知钢制螺栓内径d1=

10.1

m，拧紧后测得在长度

l=

60

mm内的伸长

l=

0.03

mm

；钢材的弹性模量

E

=

200

GPa，泊松比

=

0.3。试求螺栓的预紧力与螺栓的横向变形。

解：螺栓横截面上的应力螺栓的预紧力拧紧后螺栓的轴向线应变螺栓的横向应变螺栓的横向变形第五节材料在拉伸时的力学性能一、拉伸试验简介试验标准：GB228－1987金属材料室温拉伸试验方法标准拉伸试样：规定标距:或者GB/T228－2002金属材料室温拉伸试验方法标距：试样工作段的原始长度试验设备：液压式电子式二、低碳钢的拉伸曲线1.线弹性阶段（Ob

段）性能特点——

⑴弹性变形弹性变形：卸载后会消失的变形⑵应力与应变成正比（Oa

段）性能参数——

⑴比例极限

p

胡克定律适用范围：

≤

p⑵弹性模量

E弹性模量

E

就等于

Oa

直线段的斜率，即2.屈服阶段（bc

段）性能特点——

⑴塑性变形塑性变形：卸载后不会消失⑵屈服现象性能参数

——

⑴屈服极限

s屈服极限

s：下屈服点的应力，即发生屈服现象的最小应力屈服现象：材料暂时丧失了的变形变形抗力3.强化阶段（

ce

段）性能特点——

⑴弹塑性变形⑵强化现象性能参数

——

强度极限

b强度极限

b

：

—

曲线最高点的应力，即断裂前所能承受的强化现象：材料恢复了变形抗力最大应力4.缩颈阶段（ef段）⑴缩颈现象：⑵变形抗力急剧下降，直至断裂变形局部化性能特点——

三、卸载规律与冷作硬化现象冷作硬化现象：卸载规律：线性卸载，如图中

dd′直线段材料预加塑性变形后重新加载，比例极限提高，塑性变形降低四、材料的塑性指标（1）伸长率式中，l为标距；l1

为试件拉断后工作段的长度（2）断面收缩率式中，A

为原始横截面积；A1

为试件拉断后断口处最小横截面积工程中通常将材料划分为两类：塑性材料脆性材料五、名义屈服极限

有些塑性材料不存在明显的屈服阶段，工程中通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力作为屈服强度指标，称为名义屈服极限或条件屈服极限，记作

0.2六、铸铁的拉伸

–

曲线性能特点

——

1.塑性变形很小

2.抗拉强度很低3.强度指标：强度极限

b4.弹性模量为近似值以

–

曲线开始部分的割线的斜率作为弹性模量，即对于铸铁，胡克定律近似成立第六节材料在压缩时的力学性能试验标准：标准试件：一、低碳钢的压缩曲线1)

压缩时的比例极限

p、屈服2)

压缩时不存在强度极限

b主要结论：GB/T7314－2005金属压缩试验方法GB7314－1987金属压缩试验方法短圆柱，dh

高度

h

与直径

d

的比一般为2.5

～

3.5极限

s、弹性模量

E

与拉伸时大致相同二、铸铁的压缩

曲线1)

抗压强度极限

bc

明显高于抗拉强2)

断口方位角大致为

45°～

55°◆

脆性材料适宜制作承压构件◆

什么原因？主要结论：度极限

b

(铸铁约为

3～4

倍)第七节拉（压）杆的强度计算一、强度失效·极限应力·许用应力与安全因数强度失效：强度失效的两种形式：1）塑性材料：2）脆性材料：极限应力：塑性材料（拉、压相同）脆性材料（

bc＞

b）塑性屈服脆性断裂材料丧失承载能力材料强度失效时所对应的应力，记作

u

，应取许用应力：式中，n

为大于1的常数，称为安全因数作

[

]

，材料不发生强度失效所允许承受的最大应力，记工程中规定拉（压）杆的强度条件：二、拉（压）杆的强度条件强度条件：说明：1）对于塑性材料，拉伸与压缩许用应力

[

]

基本相同，无需区分；对于脆性材料，拉伸许用应力

[

t

]与压缩许用应力[

c

]

差异很大，必须严格区分。2）工程中规定，在强度计算中，如果杆件的实际工作应力

超出了材料的许用应力[

]

，但只要超出量

－

[

]

不大于许用应力[

]

的

5%，仍然是容许的。防止强度失效，保证安全工作的条件三、强度计算的三种类型1）校核强度2）截面设计3）确定许可载荷[例1]图示圆截面阶梯杆，已知轴向载荷

F1=

20

kN、F2=

50

kN；杆的直径

d1

=

14.5

mm、d2

=

16

mm；材料为

Q235

钢，屈服极限

s=

235

MPa

，取安全因数

ns=

1.8

，试校核该阶梯杆的强度。

解：2）强度校核材料的许用应力1）作轴力图分段进行强度校核AB段：

故AB段强度满足要求

BC段：

故

BC段强度也满足要求

解：[例2]如图，已知吊重

F

=

1000

kN，两侧对称斜拉杆由圆截面的钢杆制成，材料的许用应力

[

]

=

120

MPa，

角为

20°，试确定斜拉杆横截面的直径。截取吊环的上半部分为研究得斜拉杆轴力对象，由平衡方程1）计算斜拉杆的轴力2）截面设计

根据拉（压）杆强度条件解得斜拉杆横截面的直径故取斜拉杆直径解：[例3]如图，斜杆AB

由两根80mm×80mm×7mm的等边角钢构成，横杆AC

由两根

No.10

槽钢构成，许用应力[

]=120MPa，试根据强度确定许可载荷

[F

]

。

截取节点

A

，解得两杆轴力列平衡方程1）计算两杆轴力2）确定许可载荷查型钢表，得斜杆

AB

横截面面积横杆

AC

横截面面积由斜杆

AB

强度条件

解得再由横杆

AC

强度条件

解得

所以，该支架的许可载荷为由斜杆

AB

强度条件

[例4]图示组合屋架，已知屋架的跨度

l=8.4

m、高度

h=

1.4

m；所受均布载荷

q=

10

kN/m；圆截面钢拉杆

AB

的直径d=22mm；许用应力

[

]

=

160

MPa，试校核钢拉杆

AB

的强度。解：截取左半个屋架为研究对象由对称性得屋架的支座反力1）计算杆

AB

的轴力作受力图由平衡方程得杆

AB

的轴力根据拉杆

AB

的强度条件2）校核杆

AB

的强度所以，钢拉杆

AB

的强度仍然符合要求但由于第八节应力集中概念一、应力集中现象由于构件截面形状或尺寸突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中。二、理论应力集中因数定义为理论应力集中因数说明：2）构件的角愈尖，孔愈小，截面尺寸改变的愈急剧，理论式中，

max为应力集中处的最大应力

为同一截面上的名义平均应力1）理论应力集中因数

K

愈大，构件的应力集中程度就愈大。应力集中因数

K

就愈大，即应力集中程度就愈大。三、应力集中对构件强度的影响1.在静载荷作用下，应力集中对构件强度的影响与材料有关对于塑性材料，由于屈服现象，可以不考虑应力集中对构件强度的影响；

对于脆性材料(铸铁例外)，则必须考虑应力集中对构件灰口铸铁的内部组织2.在交变载荷作用下，无论是塑性材料还是脆性材料，应力集中都将成为构件破坏的根源，都必须考虑应力集中对构件强度的影响。强度的影响。第九节简单拉伸（压缩）超静定问题基本方法——基本步骤——1）作受力图，列平衡方程；2）画变形图，列变形协调方程；3）借助物理方程（胡克定律），由4）联立解方程，求出未知量。变形比较法变形协调方程得补充方程；要点——1）列平衡方程必须作受力图2）列变形协调方程必须画变形图3）列变形协调方程时注意利用小变形假设[例1]如图，等截面直杆两端固定，在截面

C

处受一轴向外力F

的作用，杆的抗拉（压）刚度为

EA，试作其轴力图。解：作受力图这是一次超静定问题，需要有一个补充方程才能获解。列平衡方程2）列变形协调方程因两端固定约束的限制，变形后杆件的总长保持不变，故有变形协调方程1）列平衡方程3）建立补充方程根据胡克定律，代入变形协调方程，得补充方程4）求解未知力联立补充方程与平衡方程，求得未知约束力作出轴力图[例2]如图，已知弹性杆

EC、HD

的抗拉（压）刚度分别为E1A1、E2A2，横梁

AB

是刚性的，试求载荷F

引起的两杆轴力。解：作横梁

AB

的受力图，列出求解两杆轴力的有效平衡方程

2）列变形协调方程画结构的变形图，得变形协调方程

1）列平衡方程3）建立补充方程利用胡克定律，由变形协调方程得补充方程4）解方程，求解未知轴力联立补充方程与平衡方程，求得杆

EC

轴力杆

HD

轴力◆

对于超静定结构，内力与杆的相对刚度有关，杆的相对刚度愈大，其内力就愈大。[例3]图示阶梯钢杆，在温度为15℃

时，两端固定在绝对刚硬的墙壁上，已知

AC、CB

两段杆的横截面积分别

A1=

200

mm2

、

A2=100

mm2，钢材的弹性模量

E=200GPa

、线胀系数

=1.25×10-5/℃

。试求当温度升高至

55℃

时，杆内的最大正应力。

解：作出杆的受力图，2）列变形协调方程杆件总长维持不变，故有变形协调方程列平衡方程式中，

lF为两端约束力引起的轴向变形，

lT为温度变化引起的轴向变形。1）列平衡方程3）建立补充方程由胡克定律根据线胀系数

的定义代入变形协调方程，得补充方程4）解方程，求解未知量解方程，得◆

对于超静定结构，由于多余约束的存在，当温度变化时，杆件不能自由伸缩，将在杆内引起应力。这种因温度变化而引起的应力称为温度应力。杆内的最大正应力位于

CB

段的横截面上，为[例4]图示结构，已知杆

1、杆

2

的抗拉(压)刚度同为E1A1，杆

3

的抗拉(压)刚度为E3A3。若因加工误差，杆

3

的实际长度比设计长度

l短了

（

＜＜

l

），试求将其强行装配后各杆内产生的应力。解：截取节点

A

，作受力图1）列平衡方程列平衡方程2）列变形协调方程画出结构变形图3）建立补充方程利用胡克定律，由变形协调方程得补充方程小变形，以直代曲，得变形协调方程4）解方程，计算轴力与应力联立求解方程，得各杆轴力再除以横截面面积，即得各杆应力◆

对于超静定结构，这种因构件尺寸误差假设

=

30°，

/

l=

1

/

1000

，三杆的抗拉

(

压

)

刚度均相同，材料的弹性模量

E=200GPa，计算得各杆横截面上的应力分别为强行装配而引起的应力称为装配应力。第一节引言第三章剪切与挤压在工程结构或机械中，构件之间通常通过铆钉

销轴

键键

等连接件相连接。这类连接件的主要变形破坏形式是剪切与挤压。销轴铆钉本章主要解决连接件的强度问题。剪切的受力特点——剪切的变形破坏特点——构件在两侧面受到大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向外力(外力合力)的作用。构件沿位于两侧外力之间的截面发生相对错动(被剪断)。发生错动的截面称为剪切面。铆钉剪切面一、剪切变形连接件在受到剪切变形的同时，往往还要受到挤压变形。在外力作用下，连接件与被连接构件之间在侧面互相压紧、传递压力。如果接触面较小而传递的压力较大，就有可能在接触面局部被压溃或发生塑性变形，这种变形破坏形式就称为挤压。传递压力的接触面称为挤压面。二、挤压变形第二节剪切的实用强度计算一、剪切面上的内力

剪切面上的内力为一个切向力，称为剪力，记作

FS

。铆钉二、剪切面上应力的实用计算式中，AS为剪切面的面积在剪切面上，只存在切应力工程中假设剪切面上的切应力平均分布，即有FS为剪切面上的剪力三、剪切强度条件

式中，[

]为材料的许用切应力第三节挤压的实用强度计算一、挤压应力的实用计算在挤压面上，存在着法向的挤压应力，记作

bs式中，Fbs为挤压面上的挤压力；Abs为挤压面的计算面积，取实际挤压面在垂直于挤压力的平面上投影的面积。挤压应力的工程实用计算公式为二、挤压强度条件

式中，[

bs

]

为材料的许用挤压应力[例1]

图示挂钩装置，已知拉力F

=

20

kN，t1=

8

mm，t2=

5

mm，销钉材料的许用挤压应力

[

bs]

=

190

MPa，许用切应力

[

]

=

60

MPa，试确定销钉直径

d

。解：销钉承受双剪，每个剪切面上的剪力1）根据剪切强度条件确定销钉直径根据剪切强度条件

得销钉直径

2）根据挤压强度条件确定销钉直径

由于

t1<

2

t2

，故知最大挤压应力发生在销钉的中间段，于是根据挤压强度条件得销钉直径因此，可取销钉直径

[例2]

图示连接件由两块钢板用

4

个铆钉铆接而成。已知板宽

b=

80

mm、板厚

=

10

mm；铆钉直径

d

=

6

mm；板和铆钉材料的许用切应力

[

]

=

100

MPa、许用挤压应力

[

bs]

=

280

MPa、许用拉应力

[

]

=

160

MPa。试确定该连接件所允许承受的轴向拉力F。解：由剪切强度条件解得1）根据铆钉的剪切强度确定许可轴向拉力由于这是对称性问题，可以假设各铆钉受力相同，于是，各铆钉剪切面上的剪力均为解得2）根据铆钉和板的挤压强度确定许可轴向拉力由挤压强度条件显见，各挤压面上的挤压力均为3）根据板的拉伸强度确定许可轴向拉力作出板的受力图，画轴力图，可见1-1截面与2-2截面为可能的危险截面，应分别对其进行拉伸强度计算。解得由

1-1截面的拉伸强度再由

2-2

截面的拉伸强度解得综上所述，该连接件的许可轴向拉力为[例3]如图，已知钢板厚度

t

=

5

mm，剪切强度极限

b

=

160

MPa。欲用冲床将钢板冲出直径

d

=

25

mm

的孔，问所需的冲剪力

F

应为多大？解：由钢板受剪切变形，剪切面为圆柱侧面得冲孔所需冲剪力为故取冲剪力为[例

4]如图，皮带轮通过键与轴联接，已知皮带轮传递的力偶矩M

=600

N·m;轴的直径

d

=

40

mm；键的尺寸

b=

12

mm、h

=8

mm、l=55

mm；键材料的许用切应力[

]

=

60

MPa、许用挤压应力[

bs

]

=

180MPa，试校核键的强度。

解：选取键和轴为研究对象，作受力图⑴计算键的受力

得键所受挤压力由平衡方程⑵

校核键的剪切强度根据剪切强度条件键的剪切强度符合要求由截面法，⑶校核键的挤压强度键的挤压力得剪力根据挤压强度条件键的挤压强度符合要求结论：键的强度符合要求[例5]图示带肩杆件，已知材料的许用切应力

[

]=

100

MPa、许用挤压应力

[

bs

]=320MPa、许用拉应力

[

]=160MPa，试确定许可载荷。解：1）根据杆件拉伸强度确定许可载荷由拉伸强度条件

解得

2）根据凸肩的剪切强度确定许可载荷杆件凸肩的剪切面为圆柱面，由剪切强度条件

解得

3）根据凸肩的挤压强度确定许可载荷杆件凸肩的挤压面为圆环形平面，由挤压强度条件

解得所以，许可载荷第四章扭转第一节引言受力特点：扭转变形

——变形特点：受外力偶作用，外力偶的作用面垂直于杆的轴线杆的横截面绕轴线作相对转动主要承受扭转变形的杆称为轴材料力学主要讨论圆轴的扭转第二节

外力偶矩的计算·扭矩与扭矩图一、扭转圆轴横截面上的内力·扭矩一个位于横截面内的内力偶，该内力偶的矩称为扭矩，记作

T

，其正负号按右手螺旋法则确定。扭矩图：表达扭矩随横截面位置变化规律的图线[例1]图示传动轴，已知主动轮上的转矩

MeC=300

N·m、从动轮上的阻力偶矩

MeA=50

N·m、MeB=100

N·m、MeD=150

N·m，试作出该传动轴的扭矩图。解：二、外力偶矩与功率、转速之间的换算关系式中，P

为功率，以

kW

计n

为转速，以

r/min

计Me为外力偶矩，以

N·m

计第三节扭转圆轴横截面上的应力基本结论：一、薄壁圆管扭转时横截面上切应力的近似计算公式薄壁圆管：

其中，

为壁厚、R

为平均半径薄壁圆管扭转时横截面上切应力的近似计算公式圆轴扭转时横截面上只存在切应力

二、圆轴扭转时横截面上切应力的计算公式式中，

为点至圆心的距离，称为圆截面对圆心的极惯性矩对于圆：对于圆环：（

=

d

/

D，为内外径比）T

为横截面上的扭矩

三、最大扭转切应力圆轴扭转时，在横截面边缘各点处，切应力取得最大值，其计算公式为式中，，称为抗扭截面系数对于圆：对于圆环：（

=

d

/

D，为内外径比）第四节扭转圆轴的强度计算扭转圆轴的强度条件

——式中，[

]为许用扭转切应力[例2]图示阶梯轴，已知

AB

段直径

d1=

80

mm

、BC

段直径

d2=

50

mm；外力偶矩

M1=

5

kN·m、M2=

3.2

kN·m

、M3=

1.8

kN·m

；材料的许用扭转切应力[

]

=

60

MPa

，试校核该轴强度。解：AB段：BC

段：1）作扭矩图2）校核强度AB

段：BC

段：由于所以，该阶梯轴的强度不符合要求[例3]如图，某汽车传动主轴由无缝钢管制成。已知轴的外径

D

=

90

mm，壁厚

=

2.5

mm

，工作时所承受的最大外力偶矩

Me=

1.5

kN·m

，材料为

45

钢，许用扭转切应力

[

]=60

MPa

，试校核此轴强度。解：2）计算抗扭截面系数1）计算扭矩故该轴强度符合要求3）校核轴的强度[例4]如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。由于

T

、[

]

不变，故要求两轴强度相同，只需其抗扭截面系数

Wt

相等，即有解：解得实心轴直径1）确定实心轴直径D1实心轴横截面面积2）比较实心轴与空心轴的重量空心轴横截面面积在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比就等于横截面面积之比，故得◆

空心轴用料仅为实心轴的

31%

，为什么？第五节扭转圆轴的变形与刚度计算一、切应变与剪切胡克定律1.切应变在切应力作用下，单元体直角的改变量称为切应变，记作

。2.剪切胡克定律说明：2）弹性常数

E、G、

之间满足关系式1）G

为材料的弹性常数，称为切变模量，单位为

Pa

。对于钢材，G=80GPa

。二、扭转圆轴的变形·扭转角的计算单位长度扭转角dx

微段的扭转角

相距为

l两截面间的扭转角，则有若说明：2）扭转角

的正负号与扭矩

T

一致；3）在国际单位制中，

的单位为

rad、

′的单位为

rad/m。1）GIp称为杆件的抗扭刚度；三、扭转圆轴的刚度条件刚度条件：扭转圆轴的刚度条件：注意：刚度条件中不等式两边的单位应统一式中，[

′]为轴的许用单位长度扭转角对变形的限制条件解：[例5]如图，圆轴

AC

受外力偶

MeA、MeB与

MeC的作用，已知MeA

=

180

N·m、MeB

=

320

N·m、MeC

=

140

N·m，Ip

=

3.0×105

mm4，l=2

m

，G=80

GPa

，试计算该轴

C

截面相对于

A

截面的扭转角

AC

。1）作扭矩图2）计算扭转角故得[例6]如图，圆轴

AB

承受均布外力偶作用，其力偶矩集度me=20N·m

/

m。已知圆轴直径D

=

20

mm，长度

l

=

2

m，材料的切变模量

G

=

80

GPa。试画出此轴的扭矩图，并计算自由端面

B

相对于固定端面

A

的扭转角

AB

。解：得距

A

端

x

处截面的扭矩扭矩

T

是

x

的线性函数，画出扭矩图：1）画扭矩图由截面法，A

截面处的扭矩最大，为40N·m将已知数据代人上式，得2）计算扭转角

AB由于扭矩

T随

x

连续变化，故需用积分形式的公式计算扭转角

AB[例7]如图，已知传动轴的转速

n

=

300

r/min；主动轮输入功率

PC=

30

kW，从动轮输出功率

PA=

5

kW、PB=

10

kW、PD=

15

kW；材料的切变模量

G=

80

GPa，许用切应力[

]

=

40

MPa；轴的许用单位长度扭转角

[

]=

1°/

m。试按强度条件及刚度条件设计此轴直径。解：1）计算外力偶矩2）画扭矩图，确定最大扭矩画扭矩图，最大扭矩发生在

BC

段和

CD

段，大小为3）按强度条件确定轴的直径

根据扭转圆轴的强度条件得轴的直径4）按刚度条件确定轴的直径由扭转圆轴的刚度条件得为使轴同时满足强度条件和刚度条件，轴的直径应选取较大值故取轴的直径第四章扭转第一节引言受力特点：扭转变形

——变形特点：受外力偶作用，外力偶的作用面垂直于杆的轴线杆的横截面绕轴线作相对转动主要承受扭转变形的杆称为轴材料力学主要讨论圆轴的扭转第二节

外力偶矩的计算·扭矩与扭矩图一、扭转圆轴横截面上的内力·扭矩一个位于横截面内的内力偶，该内力偶的矩称为扭矩，记作

T

，其正负号按右手螺旋法则确定。扭矩图：表达扭矩随横截面位置变化规律的图线[例1]图示传动轴，已知主动轮上的转矩

MeC=300

N·m、从动轮上的阻力偶矩

MeA=50

N·m、MeB=100

N·m、MeD=150

N·m，试作出该传动轴的扭矩图。解：二、外力偶矩与功率、转速之间的换算关系式中，P

为功率，以

kW

计n

为转速，以

r/min

计Me为外力偶矩，以

N·m

计第三节扭转圆轴横截面上的应力基本结论：一、薄壁圆管扭转时横截面上切应力的近似计算公式薄壁圆管：

其中，

为壁厚、R

为平均半径薄壁圆管扭转时横截面上切应力的近似计算公式圆轴扭转时横截面上只存在切应力

二、圆轴扭转时横截面上切应力的计算公式式中，

为点至圆心的距离，称为圆截面对圆心的极惯性矩对于圆：对于圆环：（

=

d

/

D，为内外径比）T

为横截面上的扭矩

三、最大扭转切应力圆轴扭转时，在横截面边缘各点处，切应力取得最大值，其计算公式为式中，，称为抗扭截面系数对于圆：对于圆环：（

=

d

/

D，为内外径比）第四节扭转圆轴的强度计算扭转圆轴的强度条件

——式中，[

]为许用扭转切应力[例2]图示阶梯轴，已知

AB

段直径

d1=

80

mm

、BC

段直径

d2=

50

mm；外力偶矩

M1=

5

kN·m、M2=

3.2

kN·m

、M3=

1.8

kN·m

；材料的许用扭转切应力[

]

=

60

MPa

，试校核该轴强度。解：AB段：BC

段：1）作扭矩图2）校核强度AB

段：BC

段：由于所以，该阶梯轴的强度不符合要求[例3]如图，某汽车传动主轴由无缝钢管制成。已知轴的外径

D

=

90

mm，壁厚

=

2.5

mm

，工作时所承受的最大外力偶矩

Me=

1.5

kN·m

，材料为

45

钢，许用扭转切应力

[

]=60

MPa

，试校核此轴强度。解：2）计算抗扭截面系数1）计算扭矩故该轴强度符合要求3）校核轴的强度[例4]如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。由于

T

、[

]

不变，故要求两轴强度相同，只需其抗扭截面系数

Wt

相等，即有解：解得实心轴直径1）确定实心轴直径D1实心轴横截面面积2）比较实心轴与空心轴的重量空心轴横截面面积在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比就等于横截面面积之比，故得◆

空心轴用料仅为实心轴的

31%

，为什么？第五节扭转圆轴的变形与刚度计算一、切应变与剪切胡克定律1.切应变在切应力作用下，单元体直角的改变量称为切应变，记作

。2.剪切胡克定律说明：2）弹性常数

E、G、

之间满足关系式1）G

为材料的弹性常数，称为切变模量，单位为

Pa

。对于钢材，G=80GPa

。二、扭转圆轴的变形·扭转角的计算单位长度扭转角dx

微段的扭转角

相距为

l两截面间的扭转角，则有若说明：2）扭转角

的正负号与扭矩

T

一致；3）在国际单位制中，

的单位为

rad、

′的单位为

rad/m。1）GIp称为杆件的抗扭刚度；三、扭转圆轴的刚度条件刚度条件：扭转圆轴的刚度条件：注意：刚度条件中不等式两边的单位应统一式中，[

′]为轴的许用单位长度扭转角对变形的限制条件解：[例5]如图，圆轴

AC

受外力偶

MeA、MeB与

MeC的作用，已知MeA

=

180

N·m、MeB

=

320

N·m、MeC

=

140

N·m，Ip

=

3.0×105

mm4，l=2

m

，G=80

GPa

，试计算该轴

C

截面相对于

A

截面的扭转角

AC

。1）作扭矩图2）计算扭转角故得[例6]如图，已知传动轴的转速

n

=

300

r/min；主动轮输入功率

PC=

30

kW，从动轮输出功率

PA=

5

kW、PB=

10

kW、PD=

15

kW；材料的切变模量

G=

80

GPa，许用切应力[

]

=

40

MPa；轴的许用单位长度扭转角

[

]=

1°/

m。试按强度条件及刚度条件设计此轴直径。解：1）计算外力偶矩2）画扭矩图，确定最大扭矩画扭矩图，最大扭矩发生在

BC

段和

CD

段，大小为3）按强度条件确定轴的直径

根据扭转圆轴的强度条件得轴的直径4）按刚度条件确定轴的直径由扭转圆轴的刚度条件得为使轴同时满足强度条件和刚度条件，轴的直径应选取较大值故可取轴的直径第五章弯曲内力第一节～第二节引言一、弯曲概念弯曲受力特点：受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用弯曲变形特点：杆的轴线由直线弯成曲线主要承受弯曲变形的杆称为梁对称弯曲：①梁至少具有一个纵向对称面②所有外力均作用于同一纵向对称面内③梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线材料力学主要讨论直梁的对称弯曲对称弯曲又称为平面弯曲二、梁的计算简图和分类梁的计算简图：梁的分类：⑴单跨静定梁简支梁外伸梁悬臂梁⑵多跨静定梁(组合梁)⑶超静定梁多跨静定梁超静定梁第三节剪力和弯矩一、梁横截面上的内力·剪力和弯矩一个切向内力，称为剪力，记作

FS一个位于纵向对称平面内的内力偶矩，称为弯矩，记作

M剪力的正负号规定：绕梁段顺时针转向为正，反之为负弯矩的正负号规定：使梁段上压下拉为正，反之为负[例1]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支座反力画受力图，由平衡方程得剪力由平衡方程得弯矩截取右侧梁段，受力图中应假设剪力和弯矩均为正剪力：弯矩：二、求剪力、弯矩的简便方法2.弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和。1.剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。注意：外力既包含载荷又包含支座反力，故在用简便方法计算剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力。[例2]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例3]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例4]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例5]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩第四节～第五节剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程剪力方程：描述了梁的剪力随截面位置的变化规律弯矩方程：描述了梁的弯矩随截面位置的变化规律二、根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图2.建立剪力方程和弯矩方程；1.计算支座反力；3.根据剪力方程和弯矩方程，描点绘制剪力图和弯矩图。[例6]试根据剪力方程和弯矩方程，画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）计算支座反力2）建立剪力方程和弯矩方程剪力方程弯矩方程3）根据方程描点画图[例7]试根据剪力方程和弯矩方程，画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）计算支座反力2）建立剪力方程和弯矩方程剪力方程弯矩方程3）根据方程描点画图三、弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系若规定分布载荷集度

q(x)

上正下负，则有

四、关于剪力图、弯矩图的主要结论1.

若无分布载荷，则剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；若有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。特例：当剪力恒为零时，则弯矩图为水平直线(纯弯曲)。2.

若均布载荷向上，弯矩图开口向上；

若均布载荷向下，弯矩图开口向下。3.

若

FS(

x0)

=

0

，则在

x0截面处，弯矩图取得极值。4.

在集中横向力作用处，剪力图突变，突变值就等于该集中横向力值，且弯矩图发生转折。5.

在集中力偶作用处，弯矩图突变，突变值就等于该集中力偶矩值。6.

两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。将各段的控制点连线成图1.反力：计算支座反力2.分段：根据载荷分段3.定点：根据图形规律确定各段控制点4.连线：五、快速绘制剪力图、弯矩图的基本步骤六、四个常用弯矩图[例8]试不列方程，直接画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例9]试不列方程，直接画出图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例10]试不列方程，直接画出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例11]试不列方程，直接画出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例12]试不列方程，直接画出图示组合梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[练习题

1

]

试作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[练习题

2

]

试作图示组合梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线第五章弯曲内力第一节～第二节引言一、弯曲概念弯曲受力特点：受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用弯曲变形特点：杆的轴线由直线弯成曲线主要承受弯曲变形的杆称为梁对称弯曲：①梁至少具有一个纵向对称面②所有外力均作用于同一纵向对称面内③梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线材料力学主要讨论直梁的对称弯曲对称弯曲又称为平面弯曲二、梁的计算简图和分类梁的计算简图：梁的分类：⑴单跨静定梁简支梁外伸梁悬臂梁⑵多跨静定梁（组合梁）⑶超静定梁多跨静定梁超静定梁第三节剪力和弯矩一、梁横截面上的内力·剪力和弯矩一个切向内力，称为剪力，记作

FS。一个位于纵向平面内的内力偶矩，称为弯矩，记作

M。剪力的正负号规定：绕梁段顺时针转向为正，反之为负。弯矩的正负号规定：使梁段上压下拉为正，反之为负。[例1]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支座反力画受力图，由平衡方程得剪力由平衡方程得弯矩截取右侧梁段，假设剪力和弯矩均为正剪力：弯矩：二、求剪力、弯矩的简便方法2.弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和。1.剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。注意：外力既包含荷载又包含支座反力，故在用简便方法计算剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力。[例2]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例3]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例4]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩[例5]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：先求梁的支座反力快速计算指定截面的剪力和弯矩第四节～第五节剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程剪力方程：描述梁的剪力随截面位置变化规律的函数关系，记作弯矩方程：描述梁的弯矩随截面位置变化规律的函数关系，记作二、根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图2.建立剪力方程和弯矩方程；1.计算支座反力；3.根据剪力方程和弯矩方程，描点绘制剪力图和弯矩图。说明：1）画剪力图时，规定上正下负。2）画弯矩图时，机械行业规定上正下负；土木行业规定下正上负。[例6]试根据剪力方程和弯矩方程，画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）计算支座反力2）建立剪力方程和弯矩方程剪力方程弯矩方程3）根据方程描点画图[例7]试根据剪力方程和弯矩方程，画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）计算支座反力2）建立剪力方程和弯矩方程剪力方程弯矩方程3）根据方程描点画图三、弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系若规定分布载荷集度

q(x)

上正下负，则有

四、关于剪力图、弯矩图的主要结论1.

若无分布荷载，则剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；若有均布荷载，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

特例：当剪力恒为零时，则弯矩图为水平直线（纯弯曲）。2.

若均布载荷向上，弯矩图开口向下；

若均布载荷向下，弯矩图开口向上。3.

若

FS(

x0)

=

0

，则在

x0截面处，弯矩图取得极值。4.

在集中横向力作用处，剪力图突变，突变值就等于该集中横向力值，且弯矩图发生转折。5.

在集中力偶作用处，弯矩图突变，突变值就等于该集中力偶矩值。6.

两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。将各段的控制点连线成图1.反力：计算支座反力2.分段：根据荷载分段3.定点：根据图形规律确定各段控制点4.连线：五、快速绘制剪力图、弯矩图的基本步骤六、四个常用弯矩图[例8]试不列方程，直接画出图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例9]试不列方程，直接画出图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例10]试不列方程，直接画出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例11]试不列方程，直接画出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线[例12]试不列方程，直接画出图示组合梁的剪力图和弯矩图。解：1）反力2）分段3）定点4）连线第六节用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图往往更加方便，在土木行业中经常采用。[例13]试用叠加法画出图示简支梁的弯矩图。[例14]试用叠加法画出图示简支梁的弯矩图。第六章弯曲应力第一节引言基本结论：一般情况下，梁的横截面上同时存在着弯曲正应力

和弯曲切应力

。其中，弯曲正应力

与弯矩

M

相关；弯曲切应力

与剪力FS相关。第二节截面的几何性质一、静矩1.静矩的定义对

z

轴静矩对

y

轴静矩说明：1）静矩为代数量，可正可负可为零。2）静矩与坐标轴有关。3）静矩的单位为

m3。2.静矩与形心的关系1）若图形对某轴静矩为零，说明：则该轴必为形心轴；反之亦真。2）对于组合截面图形，则有式中，Ai为第

i部分的面积；（zCi,

yCi）为第

i

部分的形心坐标。[例1]图示矩形截面，试求其中阴影部分图形对

z

、y

轴的静矩，图中b、h为已知。解：由于

y

轴通过阴影部分图形的1）计算对

y轴静矩2）计算对

z

轴静矩形心，故有[例2]某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩。此截面可以看作由

1、2

两个矩形y轴为形心轴，故有2）计算对

z

轴的静矩解：1）计算对

y

轴的静矩组成，故得1.惯性矩的定义对

z

轴惯性矩对

y

轴惯性矩说明：1）惯性矩恒为正值2）惯性矩与坐标轴有关3）惯性矩的单位为

m4二、惯性矩与极惯性矩对坐标原点的极惯性矩4）2.简单截面图形对形心轴的惯性矩矩形：圆形：圆环形：型钢截面：查型钢表工字钢

式中，

=d

/

D，为内外径比3.惯性半径定义为截面图形对

z

轴的惯性半径4.惯性矩的平行移轴公式式中，zC(

yC)

轴为形心轴；z

(

y

)

轴为平行于

zC(yC)

轴的任一轴；a(

b

)

为两轴间距。1.惯性积的定义对

z、y

轴的惯性积说明：1）惯性积为代数量2）惯性积与坐标轴有关3）惯性积的单位为

m4三、惯性积4）若直角坐标轴

z、y

中有一个是图形的对称轴，对该坐标轴的惯性积必为零则图形2.惯性积的平行移轴公式a、b

为图形形心在坐标系

Ozy

中的坐标，应注意正负号说明：四、转轴公式与主惯性矩1.惯性矩与惯性积的转轴公式2.主惯性轴若截面图形对直角坐标轴

z0

、y0的惯性积等于零，则称这一对直角坐标轴为主惯性轴，简称主轴。若主惯性轴的坐标原点位于图形形心，则称其为形心主惯性轴，简称形心主轴。结论：1）有一个轴为图形对称轴的直角坐标轴就是主惯性轴2）若图形没有对称轴，则主惯性轴的转角为3.主惯性矩图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。主惯性矩的计算公式——[例3]计算图示

T

形截面的形心主惯性矩。解：1）建立形心主惯性轴2）计算形心主惯性矩

Iy矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整个

T

形截面

——3）计算形心主惯性矩

Iz矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整个

T

形截面

——第六章弯曲应力第一节引言基本结论：一般情况下，梁的横截面上同时存在着弯曲正应力

和弯曲切应力

。其中，弯曲正应力

与弯矩

M

相关；弯曲切应力

与剪力FS相关。第二节截面的几何性质一、静矩1.静矩的定义对

z

轴静矩对

y

轴静矩说明：1）静矩为代数量，可正可负可为零。2）静矩与坐标轴有关。3）静矩的单位为

m3。2.静矩与形心的关系1）若图形对某轴静矩为零，说明：则该轴必为形心轴；反之亦真。2）对于组合截面图形，式中，Ai为第

i部分的面积；（zCi,

yCi）为第

i

部分的形心坐标。则有[例1]图示矩形截面，试求其中阴影部分图形对

z

、y

轴的静矩，图中b、h为已知。解：由于

y

轴通过阴影部分图形的1）计算对

y轴静矩2）计算对

z

轴静矩形心，故有[例2]某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩。此截面可以看作由

1、2

两个矩形y轴为形心轴，故有2）计算对

z

轴的静矩解：1）计算对

y

轴的静矩组成，由计算公式得1.惯性矩的定义对

z

轴惯性矩对

y

轴惯性矩说明：1）惯性矩恒为正值2）惯性矩与坐标轴有关3）惯性矩的单位为

m4二、惯性矩与极惯性矩对坐标原点的极惯性矩4）2.简单截面图形对形心轴的惯性矩矩形：圆形：圆环形：型钢截面：查型钢表工字钢

式中，

=d

/

D，为内外径比。3.惯性半径定义为截面图形对

z

轴的惯性半径4.惯性矩的平行移轴公式式中，zC(

yC)

轴为形心轴；z

(

y

)

轴为平行于

zC(yC)

轴的任一轴；a(

b

)

为两轴间距。1.惯性积的定义对

z

、y

轴的惯性积说明：1）惯性积为代数量2）惯性积与坐标轴有关3）惯性积的单位为

m4三、惯性积4）若直角坐标轴

z、y

中有一个是图形对称轴，该对坐标轴的惯性积必为零。则图形对1.主惯性轴若截面图形对直角坐标轴z0

、

y0

的惯性积等于零，则称这一对直角坐标轴为主惯性轴，简称主轴。

若主惯性轴的坐标原点位于图形形心，则称其为形心主惯性轴，简称形心主轴。结论：有一个轴为图形对称轴的直角坐标轴就是主惯性轴。四、主惯性轴与主惯性矩2.主惯性矩图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。[例3]计算图示

T

形截面的形心主惯性矩。解：1）建立形心主惯性轴2）计算形心主惯性矩

Iy矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整个

T

形截面

——3）计算形心主惯性矩

Iz矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整个

T

形截面

——第三节弯曲正应力一、弯曲正应力计算公式弯曲正应力只与弯矩有关，故通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力纯弯曲：梁的剪力恒为零，弯矩为常量。观察变形

——变形前变形后基本假设

——1.弯曲变形时，梁的横截面仍保持为平面。2.弯曲变形时，梁内的纵向“纤维”受到单向拉伸或者压缩。中性层：保持不变的纵向“纤维”层。弯曲变形前后，梁内长度中性轴：中性层与横截面的交线。中性层横截面中性轴在横截面上建立直角坐标系：以中性轴为

z

轴、以横截面的对称轴为

y

轴、以梁的轴线为

x

轴建立直角坐标系。变形几何关系

——考察距中性层为

y

、长度为

dx

的纵向“纤维”原长：变形后长度：线应变：式中，

为中性层的曲率半径结论：梁横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离成正比物理关系

——结论：梁横截面上任意点的弯曲正应力与该点的纵坐标

y

成正比，根据胡克定律即弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布。存在两个待定问题：1）中性轴的位置？2）中性层的曲率（曲率半径）？静力学关系

——结论

1：中性轴

z

通过截面形心结论

2：中性层的曲率与弯矩成正比，与抗弯刚度

EIz

成反比。弯曲正应力计算公式：说明：对于非纯弯曲梁，只要满足长高比l

/

h

＞5，该公式依然适用二、弯曲正应力分布规律1.弯曲正应力沿宽度均布，沿高度线性分布。2.中性轴将横截面分为拉、压两个区域，在中性轴上各点处，弯曲正应力为零。3.弯曲拉（压）应力的最大值发生于上（下）边缘各点处，其计算公式为4.最大弯曲正应力计算公式式中，，称为抗弯截面圆环形：查型钢表系数，取决于截面形状和尺寸。矩形：圆形：型钢截面：工字钢

1）画弯矩图该梁可简化为简支梁[例1]图示梁为

No.50a工字钢，跨中作用一集中力

F=

140

kN。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处

a

点的正应力。跨中截面

C

为危险截面解：最大弯矩2）计算正应力查型钢表，No.50a

工字钢的惯性矩

Iz=

46470

cm4，抗弯截面系数

Wz=

1860cm3危险截面

C

上的最大正应力危险截面

C

上翼缘与腹板交界处

a

点的正应力[例2]试求图示

T

形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知

Iz=7.64×106mm4、

y1=52

mm、y2=88

mm。解：梁的最大正弯矩发生在截面

C

上，最大负弯矩发生在截面

B

上，分别为1）画弯矩图2）计算截面

C

的最大拉应力和最大压应力3）计算截面

B

的最大拉应力和最大压应力所以，T

形梁的最大拉应力发生在截面

C

的下边缘，最大压应力力发生在截面

B

的下边缘，分别为第四节弯曲正应力强度计算弯曲正应力强度条件——对于塑性材料：对于脆性材料：[例3]图示悬臂梁为工字钢，已知

F=

45

kN，l=4

m，许用应力[

]

=

140

MPa。若不计梁的自重，试根据弯曲正应力强度条件确定工字钢型号。解：最大弯矩1）画弯矩图2）强度计算由工字钢型钢表查得，可选用

No45a

工字钢，其抗弯截面系数

Wz

=

1430

cm3，满足强度要求。根据弯曲正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数讨论：结论：选用

No45a

工字钢若考虑梁的自重，梁的自重应视为均布载荷不计梁的自重所引起的计算误差约为3.5%，在工程中是允许的。[例4]图示槽形截面铸铁梁。已知截面的

Iz

=

5260×104mm4、y1=

77

mm、y2=

120

mm；铸铁材料的许用拉应力

[

t]

=

30

MPa、许用压应力

[

c]

=

90

MPa。试确定此梁的许可载荷。解：最大弯矩1）画弯矩图2）强度计算危险截面

B

处的最大弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处，应分别进行强度计算得由得所以，许可载荷由[例5]T

字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力

[

t]

=

40

MPa、许用压应力

[

c]

=

100

MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。截面

B

上有最大负弯矩截面

E

上有最大正弯矩解：1）画弯矩图2）计算截面的几何性质中性轴（形心）位置截面对中性轴

z

的惯性矩3）强度校核截面

B

为负弯矩，上拉下压B

截面应力分布3）强度校核截面

E

为正弯矩，上压下拉结论：该梁强度满足要求E

截面应力分布◆

在对拉、压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个横截面上危险点的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。第三节弯曲正应力一、弯曲正应力计算公式弯曲正应力只与弯矩有关，故通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力：纯弯曲：梁的剪力恒为零，弯矩为常量。观察变形

——变形前变形后基本假设：1.弯曲变形时，梁的横截面仍保持为平面；2.弯曲变形时，梁内的纵向“纤维”受到单向拉伸或者压缩。中性层：保持不变的纵向“纤维”层。弯曲变形前后，梁内长度中性轴：中性层与横截面的交线。中性层横截面中性轴在横截面上建立直角坐标系：以中性轴为

z

轴、以横截面的对称轴为

y

轴、以梁的轴线为

x

轴建立直角坐标系。变形几何关系

——考察距中性层为

y

、长度为

dx

的纵向“纤维”：原长：变形后长度：线应变：式中，

为中性层的曲率半径结论：梁横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离成正比物理关系

——结论：梁横截面上任意点的弯曲正应力与该点的纵坐标

y

成正比，根据胡克定律即弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布。存在两个待定问题：1）中性轴的位置？2）中性层的曲率（曲率半径）？静力学关系

——结论

1：中性轴z

通过截面形心结论

2：中性层的曲率与弯矩成正比，与抗弯刚度

E