专题7-从古典概率论到现代概率论

参考文献：1.〔美〕H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛译，山西人民出版社，19862.〔美〕H.伊夫斯，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，19903．吴文俊主编，《世界著名数学家传记》〔上下集〕，科学出版社，1995，20234.〔美〕E.T.贝尔，《数学精英》，徐源译，商务印书馆，19915.〔美〕M.克莱因，《西方文化中的数学》〔1953〕，张祖贵译，复旦大学出版社，20236．张尧庭，概率概念的进展和争论─以及它对实践的指导意义，邓东皋等编《数学与文化》，北京大学出版社，19907．柳延延，《概率与打算论》，上海社会科学院出版社，19968.〔美〕J.L.福尔克斯，《统计思想》，魏宗舒、吕乃刚译，上海翻译出版公司，19879.〔美〕C.R.劳，《统计与真理——怎样运用偶然性》，科学出版社，202310．高庆丰，《欧美统计学史》，中国统计出版社，198711．周述岐，《数学思想史和数学哲学》，中国人民大学出版社，1993一、前史～～概率论的酝酿〔16世纪前后的两百余年间〕概率的数学理论是由于争论一些有关机遇现象而产生的，典型的例子是赌博、玩耍中的问题。在公元前2023年的埃及古墓中，已有正立方体的骰子，在古代的玩耍与赌博活动中就有概率思想的雏形。但概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年间。它产生的缘由虽然是多方面的，但主要是由于当时保险业的产生与进展以及赌博业的盛行。

在这一时期，相当多的数学家对赌博中的问题产生深厚的兴趣，其中以帕乔利、卡尔达诺为代表。帕乔利(L.Pacioli，约1445～1517，意大利〕1494年《算术，几何，比及比例全书》——赌博中断问题：两个赌徒相约赌假设干局，双方各拿出一样数量的赌金，谁先胜s局谁就赢得全部赌金。但是，当一个赌徒胜a局〔a＜s〕，另一个胜b局〔b＜s〕时，赌博因故中断，问应当如何安排赌金。卡尔达诺(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《赌博之书》(1539，出版于1663)：对赌博中断问题的连续争论；点问题：掷两颗或三颗骰子时在一切可能的方法中有多少种方法得到某一总点数；大数定律的雏形：在抛掷硬币的试验中，每次消失正面或反面虽属偶然，但在大量重复试验中，消失正面〔对称地，消失反面)的频率却必定地接近于定数1／2；在n次独立大事中，假设大事本身的概率是p，那么它连续发生n次的概率是p的n次方二、概率论的创立与进展～～古典概率论/组合概率时期〔17－18世纪〕从17世纪中期概率论的产生到18世纪末，约一个半世纪的时间里，概率论主要以计算各种古典概率问题为中心进展着，因而将其称为古典概率时期；由于这个时期的概率论主要以组合论为工具，所以也称为组合概率时期。

这一时期的代表人物有：帕斯卡、费尔马、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗尔、贝叶斯帕斯卡〔B.Pascal，1623～1662，法国〕

费尔马〔P.deFermat，1601～1665，法国〕二人关于赌博中断问题争论的通信，不仅有关于这个问题的不同解法，还从对一些特殊问题的解答中归纳出了一批范围广泛的结论，并且在肯定程度上提醒了一般方法，这些工作标志着作为一门数学分支的概率论的诞生。惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷兰)

《论赌博中的推理》(1657)——第一篇关于概率论的正式论文数学期望：假设p表示一个人获得肯定金额s的概率，则sp称为他的数学期望。雅各·伯努利〔JacobBernoulli，1654～1705，瑞士〕《猜度术》〔出版于1713年〕——“把概率论建立在稳固数学根底上的首次认真的尝试”：①关于惠更斯《论赌博中的推理》的一个精彩评注②对排列组合理论的深入争论③将排列组合理论运用于概率论④概率论在法律和经济等问题上的应用⑤伯努利大数定律(大数定律的最早形式)，这是占据《猜度术》全书中心位置的结果，被称为“主命题”，是概率论中的第一个极限定理。雅各·伯努利考虑的是最简洁的情形，即在整个试验序列中，某个给定大事消失的概率始终保持为常数德·莫弗尔(DeMoivre，1667～1754，法国)

《论抽签的原理》(1711年发表于《哲学学报》)；《时机论》(1718，1738，1756)：在对持续赌博问题的争论上取得了明显的进步，给出了较清晰的组合公式，使用了不同的方程，用循环序列来解决问题，并且在用正态靠近来说明问题时使用了函数，成为拉普拉斯用分析方法争论概率论的先导。；《分析杂论》(1730)：正态分布贝叶斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴将概率的概念和推理的方法、公式，扩展和提高为处理一般科学问题的原理；⑵给出了著名的贝叶斯公式；⑶提出了贝叶斯假设

在书中贝叶斯给出了概率的定义：“任一大事的概率是这样的比值：一个是由于这一大事发生应计算的期望的值，一个是会发生的事情的相应的值。时机〔chance〕我认为就是概率。”几个重要的问题逆概率〔inverseprobability〕彼得堡悖论Bernoulli-Euler关于装错信封的问题秘书问题布丰〔Buffon〕投针问题〔1777〕

今日看来，概率论最初考虑的问题，其样本空间(这一概念是德国数学家冯·米泽斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限个元素构成的。随着概率论的进展，这种样本空间的局限性越来越明显。把等可能性思想进展到包含无穷多个元素的样本空间，就产生了几何概率。将概率的古典定义与几何定义稍作比较就会觉察，在古典定义里，只有不行能大事的概率才是０，而在几何定义中，概率０的大事未必是不行能的三、概率论的进展～～分析概率论〔18世纪末——19世纪末〕从18世纪末到19世纪末的约一个世纪的时间里，在概率论的争论中引入了母函数与特征函数的概念，并渐渐引进了已经成熟的分析工具，特殊是高斯和拉普拉斯等人建立的关于“正态分布”以及“最小二乘法”的理论对于用概率论争论天文观测、大地测量和物理观测的结果起了重大作用，使概率论的进展进入了一个新的时期——分析概率时期。

这一时期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄国彼得堡学派〔切比雪夫、马尔科夫、李雅普诺夫〕等人高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的误差理论的根底》：对观测天体及进展大地测量时的误差问题进展了争论，导出了误差函数。设误差为X，则误差的分布就是今日所说的正态分布。因此，后人又称正态分布为高斯分布拉普拉斯(Laplace，1749－1827〕《概率的分析理论》〔1812〕：对概率论早期成果的系统总结；首次明确给出了概率的古典定义；在概率论中引入了差分方程、母函数等强有力的分析工具，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。

概率的古典定义：在某组条件(S)下进展试验，一共有N个两两互不相容而等可能的结果(根本大事〕发生，其中M个是适合大事A的结果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.这个定义实际上是把概率概念化为大事的等可能性，而把计算概率的问题归结为组合问题。虽然直到拉普拉斯才明确给出了这个定义，但可以认为，早在概率论的初创阶段其根本思想已经以某种形式为人们所默认。

从概率论的初创阶段直到19世纪，“等可能性”始终是一个根本而核心的概念，它指的是每个简洁大事具有一样的概率。人们对这一性质的生疏经受了相当曲折的过程，最终用概率测度概念取代了它。

概率的古典定义有着不行抑制的缺点，首先，“等可能性”并不总是简洁推断的；其次，当根本大事的总数不是有限的时，古典定义也无法适用。为了抑制其次个缺点，18世纪时引入了概率的几何定义，但这肯定义仍旧依靠于等可能性，从而不能抑制第一个缺点。泊松(Poisson，1781——1840)

《关于刑事案件和民事案件审判概率的争论》(1837)引入泊松分布推宽阔数定律彼得堡学派〔切比雪夫、马尔科夫、李雅普诺夫〕切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894〕：在一系列争论中切比雪夫首先引入并提倡使用的随机变量概念，后来成为概率论与数理统计中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，证明白泊松形式大数定律，建立了有关独立随机变量序列的大数定律并对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进展争论。

马尔科夫(Markov，1856～1922)：致力于独立随机变量和古典极值理论的争论，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理，对相依随机变量序列的争论，创立了以他命名的著名的概率模型—马尔科夫链。李雅普诺夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列证明白中心极限定理。他还利用这肯定理第一次科学地解释了实际中遇到的很多随机变量近似地听从正态分布。贝特朗(Bertrand)悖论(1889)

在圆内任作一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以产生悖论，是由于在这一问题中未给出“任意作一弦”这个概念明确的定义。最本质的，是对“等可能性”的概念的不同规定，从而造成了计算结果的不同。实际上，当一个随机试验有无穷多个可能的结果时，有时很难客观地规定“等可能”这始终观概念。

拉普拉斯建立的古典概率理论的规律根底特别脆弱，对于大事的概率定义及运算都要用到“等可能性”概念，而在一个具体问题上还需要考察有多少等可能的情形。贝特朗悖论的消失说明白直观的、阅历性的概率概念的本质缺陷，对建立概率论的严密规律根底提出了要求。四、概率论的公理化～～现代概率时期〔20世纪〕拉普拉斯(Laplace)所给出的古典先验概率定义虽然在整个19世纪被广泛承受，但是由于他未能进一步探讨这一理论及其应用的根底从而缺少数学的严密性，所以1920年以前的概率论从整体上看是相当混乱的，甚至象庞加莱〔Poincare)和波莱尔(EmileBorel，1871～1956〕这样的大数学家也没能在令人满足的根底上给出相应的严密理论。

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率论的第一个公理化体系。***

主观学派英国经济学家、数学家凯恩斯(J.M.Keynes)：《概率论》〔完成于1911年，出版于1921年)英国的莱姆赛(F.Ramsey，1926)意大利的菲纳特(B.DeFinnetti，1937)赛维奇，1954)主观学派主观学派的人认为，贝叶斯陈述概率是两个数之比的说法，只是告知人们应当去猜测，重点不是他猜测的是多少。主观学派认为猜测不是任凭乱说，一个人的猜测肯定要前后全都，不能自相冲突。从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。或许，主观概率的最大影响不在概率论自身，而在于数理统计学近年来消失的贝叶斯统计学派频率理论学派〔统计学派〕德国数学家冯·米泽斯(vonMises)：1919年，运用公理方法给出了在统计频率比的性质的根底上的概率定义；1928年，在《概率，统计和真理》一书中建立了频率的极限理论。1931年，提出了样本空间的概念。这个概念使得有可能把概率的严格的数学理论建立在测度论的根底上。频率理论学派〔统计学派〕德国哲学家赖欣巴赫(HansReichenbach，1891─1953〕：1935年发表在专著《概率论》，试图建立概率理论的令人满足的公理体系；是为概率的频率解释作辩护

20世纪初，勒贝格(Lebesgue)创立的测度论和积分论以及随后进展起来的抽象测度和积分理论为概率论的公理化进展供给了新的手段。柯尔莫哥洛夫(Kolmogoroff，1903-1987，前苏联〕1929《一般测度论和概率计算》以测度论和实变函数论为根底对概率论公理作了初步论述；1933《概率论的根本概念》提出了概率论的公理化构造，明确了概率的定义和概率论的根本概念

柯尔莫哥洛夫的方法是从概率的一些主要性质入手，这些性质无论是建立在古典的定义上还是建立在统计的定义上都有效，他不仅开头了把概率论进展成为一门数学