2022届高考物理一轮复习 第47讲 磁场对运动电荷的作用 讲义

第四十七讲磁场对运动电荷的作用

双基知识：

一、洛伦兹力的大小和方向

1.洛伦兹力的定义

磁场对运动电荷的作用力.

2.洛伦兹力的大小

(1加〃8时,C=0；

(2)0_1_5时,F=qvB；

(3)0与8的夹角为。时，F=qvBsin6.

3.洛伦兹力的方向

(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动

的反方向；

(2)方向特点：FIB,Flv,即尸垂直于8、0决定的平面.(注意8和。可以有

任意夹角)

4.做功：洛伦兹力不做功。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1.若带电粒子以入射速度。做匀速直线运动。

2.若时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度。做匀速圆周运

动。

3.基本公式：⑴向心力公式：qvB=nt--,

(2)轨道半径公式：r=黄；

(3)周期公式：丁=鬻。

注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。

考点一对洛伦兹力的理解和应用

1.洛伦兹力的特点

⑴利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。

(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。

(3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。

2.与安培力的联系及区别

（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

3.洛伦兹力与电场力的比较

洛伦兹力电场力

产生条件oWO且v不与B平行电荷处在电场中

大小F=qvB（v工B）F=qE

力方向与场方向的关系FIB,FLvF//E

做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功

【典例11（多选）如图2所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中A3

为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，

磁场方向垂直于纸面向里.质量相同的甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）中,

甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电.现将三个小球在轨道上分别从不同

高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则（）

A.经过最高点时，三个小球的速度相等

B.经过最高点时，甲球的速度最小

C.甲球的释放位置比乙球的位置高

D.运动过程中三个小球的机械能均保持不变

答案CD

解析设磁场的磁感应强度大小为B,圆形轨道半径为r,三个小球质量均

2

为它们恰好通过最高点时的速度分别为0甲、。乙和。丙，则甲o甲8=――,

乙J2丙2〜

mg—qjVuB=~mg=~显然，vV>v^>vc,选项A、B错误；三个小

球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在

圆形轨道最高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的

释放位置最高，选项C正确.

【典例2】（多选）如图1所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀

强磁场中。f=0时，一个质量为〃2、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速

度竖直向下滑动，则物块运动的。一/图像可能是（）

CD

答案ACD

解析设初速度为0o,贝UFN=q0o5,若满足,咫=/7="\,即mg="10o5,物

块向下做匀速运动，选项A正确；若mg>^qvnB,则物块开始有向下的加速度，

由。=巧髻生可知，随速度增加，加速度减小，即物块先做加速度减小的加

速运动，最后达到匀速状态，选项D正确；若/ngV/zgooB,则物块开始有向上

的加速度，做减速运动，由。=画喑驾可知，随速度减小，加速度减小，即

物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，则选项C正确。

考点二带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法

一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法。在具

体问题中，要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律

列式：卯8=4,求半径L翡及运动周期丁=争=翳。

2.两种方法定圆心

方法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力FLv,

分别确定两点处速度的垂线，其交点即为圆心，如图(a)。

方法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出

此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度方向的垂线的交

点即为圆心，如图(b)。

(a)(b)

3.几何知识求半径

利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几

个重要的几何特点：0*（偏向角）

（1）粒子速度的偏向角”）等于圆心角3）,并等于AB弦与切勿/\

线的夹角（弦切角。）的2倍（如图所示），即9=a=20=Q）t。

（2）直角三角形的应用（勾股定理）。

找到A3的中点C,连接0C,则△AOC、AB0C都是直角

三角形。

4.求时间的两种方法

方法一：由运动弧长计算，f=（（/为弧长）；

方法二：由偏转角度计算，片焉《或尸初。

5.三类边界磁场中的轨迹特点

（1）直线边界：进出磁场具有对称性。

、•'

0

图a中粒子在磁场中运动的时间f=,=咪

LQD

图b中粒子在磁场中运动的时间―（1_沁（好第=2"?（/）

图C中粒子在磁场中运动的时间7=裁

（2）平行边界：存在临界条件。

带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图

所示。

</=/?)(1-C0S0)

d=2R2d=Rsin6</=/?(!+cos。)J=/?(l-cos0)

丙T

（3）圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出

粒子做圆周运动的半径尸=备

粒子在磁场中运动的时间/=夕=鬻，6>+«=90°

【典例3】如图所示，一个理想边界为P0、MN的匀强磁场区域，磁场宽度

为d,方向垂直纸面向里。一电子从。点沿纸面垂直P。以速度如进入磁场。若

电子在磁场中运动的轨迹半径为2d。。，在MN上，且。。与MN垂直。下列判断

正确的是（）0Q

A.电子将向右偏转左飞xxhx2右

B.电子打在MN上的点与0,点的距离为d"°,”

C.电子打在上的点与0,点的距离为小d

D.电子在磁场中运动的时间为瑞

D［电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断0,09

可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如左0：嗖：彳右

图所示，A错误；设电子打在上的点与。点的距离M

为x,则由几何知识得：x=r—ylr2—d2=2d—yl（2d）2—d2=（2故B、C

d7T

错误；设轨迹对应的圆心角为〃，由几何知识得sin〃=:萩=0.5,得〃=%,则电

OrTTfl

子在磁场中运动的时间为£=一=W一,故D正确。］

【典例4】如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，

P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过尸点，在纸面内

沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为这些粒子在磁场边界的出射点分布

长

在六分之一圆周上;若粒子射入速率为V2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。

不计重力及带电粒子之间的相互作用。则。2：切为（）

A.小：2B.啦：1

C.小：1D.3：近

C［相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以0入射,

一端为入射点P,对应圆心角为60。（对应六分之一圆周）的弦PP必为垂直该弦入

射粒子运动轨迹的直径2打，如图甲所示，设圆形区域的半径为R,由几何关系

知ri=；R。其他不同方向以也入射的粒子的出射点在PP对应的圆弧内。同理

可知，粒子以也入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知「2

坐电可得「2：为=小：1。因为机、夕、5均相同，由公式r=各可得y8r,所

以V2：也=5：lo故选C。］

【典例5】如图所示，边长为I的正方形abed内存在匀强磁场，磁感应强度

大小为B,方向垂直于纸面所在平面）向外。ah边中点有一电子发射源O,

可向磁场内沿垂直于"边的方向发射电子。已知电子的比荷为上则从。、d两

点射出的电子的速度大小分别为（）

A.^kBl,小姐/B./kBh永B/

C.^kBl,兴kBID.gkBI,^kBl

B［若电子从a点射出，运动轨迹如图线①，有q为5=/n祟，解得

K-a4

警=需=竽，若电子从d点射出，运动轨

Va

迹如图线②，有qVdB—nr^,放=(&—§+/2,解

qBRdSqBl5kBl.^&

得1n=41n4，选项B正确。1

考点三带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题

1.临界问题常用的四个结论

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运

动的时间越长。

(3)当速率。变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情

况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心

角等。

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，入射点和出

射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

解决临界极值问题的方法技巧

⑴数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利

用“三角函数''”不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。

(2)一个“解题流程”突破临界问题

临界点

I思维I

粒子速半径

--A

度方向方向

⑶从关键词找突破口：题干中常用“恰好""最大""至少”“不相撞”“不脱离”

等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐含

的规律，找出临界条件。

2.带电粒子在磁场中运动的多解问题

类型分析图例

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也

可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子

带电粒子电XX/X\

在磁场中运动轨迹不同，形成多解

性不确定

如图，带电粒子以速度。垂直进入匀强磁场，如

带正电，其轨迹为。；如带负电，其轨迹为人

只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强

度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定

一

磁场方向不而形成多解

确定如图，带正电粒子以速度。垂直进入匀强磁场，

若8垂直纸面向里，其轨迹为a,若3垂直纸面

向外，其轨迹为匕

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由

;x

临界状态不于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁Jxyxx\x

唯一场飞出，也可能转过180。从入射界面一侧反向

飞出，于是形成多解

运动具有周带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动

期性时，运动往往具有周期性，因而形成多解

【典例6】如图所示，边界与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，

边界ON上有一粒子源S。某一时刻，从粒子源S沿平行于纸面，向各个方向发

射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的

初速度大小相等，经过一段时间后有大量粒子从边界0M射出磁场。已知NMON

=30°,从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于泰了为粒子在磁场

中运动的周期），则从边界0M射出的粒子在磁场中运动的最短时间为（）

A［粒子在磁场中做匀速圆周运动，入射点是S,出射点«

在OM直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从父冬，攵

边界0M射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最电*:

短，根据几何知识，作ESA-OM,则ES为最短的弦，即粒子从S到E的时间

最短。由题意可知，粒子运动的最长时间等于;T,此时轨迹的弦为DS,设OS

=d,贝"£>S=0Stan3（）o=ga,粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：「=罕

ESd

1024、/5

由几何知识有ES=OSsin30。=/,sin2=~T=1V=2,则〃=120。,

粒子在磁场中运动的最短时间为：Un=^T=|r,A正确。］

【典例7】（多选）一质量为〃?、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀

强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于

它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周

运动的角速度可能是（）

mmmm

AC［依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，

且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电

荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向

相同时，根据牛顿第二定律可知45g=机3，得。=当旦，此种情况下，负电

Km

荷运动的角速度为“=9=幽；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，

Km

有2Bqv=4,,此种情况下，负电荷运动的角速度为空、

KmKm

故A、C正确。］

【典例8】如图所示，在无限长的竖直边界AC和。E间，上、下部分分别

充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为

Bo,OF为上、下磁场的水平分界线。质量为机、带电荷量为+q的粒子从AC边

界上与0点相距为。的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q

点第一次进入下方磁场区域，Q与。点的距离为3”。不考虑粒子重力。

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件;