2022年沪教版（上海）九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向训练练习题

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第I［卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90。B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦D.垂直于弦的直径平分这条弦

2、已知。。的半径为5cm,点。到圆心。的距离为4cm,则点。和圆的位置关系（）

A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.无法判断

3、已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm,则其侧面积为（）cm.

A.3"B.6〃C.12%D.18万

4、已知。。的半径为3,点P到圆心。的距离为4,则点P与。。的位置关系是（）

A.点。在。。外B.点尸在。。上C.点尸在。。内D.无法确定

5、如图，点4B,C均在。。上，连接的，OB,AC,BC,如果5，那么NC的度数为（)

A.22.5°B.45°C.90°D.67;5°

6、如图，点4&。均在OO上，当NOBC=35。时，4的度数是（).

C

A.65°B.60°C.55°D.5C)°

7、如图，A8是O。的直径，C、。是O。上的两点，若ZBOC=130",则ZAL>C=()

A.15°B.20°C.25°D.3C)°

3

8、如图，在取△回（?中，^ACB=90,AC=4,tanA=-.以点C为圆心,CB长为半径的圆交A3于点

4

D,则AD的长是（)

B

73

A.1B.-C•一D.2

52

9、如图，切是△ABC的高，按以下步骤作图：

(1)分别以点力和点5为圆心，大于;A8的长为半径作弧，两弧相交于G、〃两点.

(2)作直线交46于点E.

(3)在直线。/上截取成=隹.

(4)以点尸为圆心，〃■长为半径画圆交切于点2

则下列说法错误的是()

A.AE=BEB.GH//CDC.AB=42EFD.WB=45。

10、如图，正六边形1%的1的边长为6,以顶点力为圆心，46的长为半径画圆，则图中阴影部分图

形的周长为()

E

A.2冗B.4nC.2n+12D.4n+12

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、〃1是。。的直径，弦BDLAC于点、E,连接6G过点。作在工/笫于点匕若劭=12cm,OE=三

cm,则OF=cm.

2、如图，以面积为20cm之的灯的斜边48为直径作。。，的平分线交。。于点〃，若

—,则/C+6C=_____.

AB2

3、如图，在Rt^ABC中，NC=90。，分别以AB、BC、AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史

上称为“希波克拉底月牙”.当AB=8,BC=4时，则阴影部分的面积为

AB

4、如图，正方形4阅9内接于。，点。在4B上，则N6%的度数为

5、16.如图，平行四边形46（6中，AACB=30°,/C的垂直平分线分别交4C,BC,/〃于点。，E,

F,点尸在冰上，连接力&PA,PB.若PA=PB,现有以下结论：

①△为6为等边三角形；

②XPEBsXAPF：

③4PBC-NPAC=30°；

④£4;EB+EP

其中一定正确的是_____（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，4?是。。的一条弦，6是45的中点，过点6作皿总于点G过点8作。的切线交"的

延长线于点D.

/D

(1)求证：DB=DE；

(2)若四=12,B%5,求4c长.

2、已知，P是直线力6上一动点(不与46重合)，以P为直角顶点作等腰直角三角形必ft点6是

直线力。与△加的外接圆除点。以外的另一个交点，直线应与直线外相交于点凡

(1)如图，当点〃在线段上运动时，若/〃跖=30°,PB=2,求比'的长；

(2)当点。在射线4?上运动时，试探求线段4?,PB,件之间的数量关系，并给出证明.

3、如图1,抛物线y=a*-2a户6(a<0)与x轴交于46两点(力点在6点的左边)，与y轴的正

半轴交于点C,顶点为。，OB=OC=3OA.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2,点/的坐标为(0,7),若过点少作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点

H,直线尸去-205(AW0)与抛物线交于尸、G两点，求当在为何值时，△尸M面积最小，并求出

面积的最小值；

(3)如图3,已知直线/：y=2x-l,将抛物线沿直线/方向平移，平移过程中抛物线与直线/相交

于£尸两点.设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为处在x轴上存在唯一的一点R使/以W=

90°,求卬的值.

4、如图，材是切的中点，EMLCD,若必=4,EM=6,求CEQ所在圆的半径.

5、如图，46为。。的直径，点4。在上，AC=CD=DB,DELAC.求证：麽'是。。的切线.

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°,直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90。，A选

项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

2、A

【分析】

直接根据点与圆的位置关系进行解答即可.

【详解】

解：:。。的半径为5cm,点。与圆心。的距离为4c5cm>4cm,

.•.点。在圆内.

故选：A.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等

于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外.

3、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线

长和扇形的面积公式计算.

【详解】

解：它的侧面展开图的面积=3X2"X2X3=6万(cm2).

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长.

4、A

【分析】

根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点尸与。。的位置关系.

【详解】

解：的半径分别是3,点P到圆心。的距离为4,

/.d>r,

...点一与。。的位置关系是：点在圆外.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键.

5、B

【分析】

根据同弧所时的圆周角是圆心角的一半即可得.

【详解】

解：VOALOB,

：.ZAOB=90°,

ZC=-ZAOB=45°,

2

故选：B.

【点晴】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键.

6、C

【分析】

先由0庐%,得到/在庐/必小35°,从而可得/8除180°-40CB~40B0110°,再由圆周角定理

即可得到答案.

【详解】

解：-：OB=OC,

：.Z0CB=Z0B^5a,

：.Z3001800-NOCB-NOBOllO。,

ZA=-ZBOC=55°,

2

故选C.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关

键.

7、C

【分析】

根据圆周角定理得到/应右的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论.

【详解】

解：；N800=13。°,

：.ABDO-ZBO(=^°,

2

•.16是。。的直径，

，/力游90°,

...//牍90°-65°=25°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

8、B

【分析】

利用三角函数及勾股定理求出6GAB,连接切，过点C作血46于£,利用cosB=4g=拦，求出

ADOC

BE,根据垂径定理求出劭即可得到答案.

【详解】

3

解：在放AABC中，ZACB=90,AC=4,tanA=-,

4

.•.除3,AB=JAC?+BC2=5,

连接必，过点C作四上48于E,

-3_BE

••一=，

53

9

解得3七=二，

■:CB=CD,CELAB.

1Q

・・.BD=2BE=—f

1o7

AD=AB-BD=5——=-,

55

故选：B.

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键.

9、C

【分析】

连接力凡BF,由作法可知，用垂直平分力6,再根据所=4E可得乙4电45°,进而得出

90°,根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确.

【详解】

解：连接力尺BF,由作法可知，在1垂直平分48,

:.AE=BE,故/正确；

•必是AABC的高，

C.GH//CD,故6正确;

VEF=AE,AE=BE,

：.AB=2EF,故C错误；

EF=AE,

同理可得N哥后45°,

:./AFB=9Q°,

NAPB=；NAFB=45°,故〃正确;

故选：C.

【点睛】

本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆

周角定理进行推理证明.

10、D

【分析】

根据正多边形的外角求得内角NE4B的度数，进而根据弧长公式求得却,即可求得阴影部分的周长.

【详解】

解：•正六边形/比颂的边长为6,

ZFAB=180°--x360°=120°,AF=AB=6

6

,120^x6“

=------------=4万

FB180

二阴影部分图形的周长为AF+AB+&=4万+12

故选D

【点睛】

本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的

关键.

二、填空题

1、内或迹

2

【分析】

根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解.

【详解】

解：如图，连接8。

•.FC是。。的直径，弦BDLAC于点、E,BD=Y2cm,

/.BE=ED=—BD=6cm.

2，

OE=|cm,BDLAC,

,1o

/.BO=CO=AO=slOE2+BE2=ycm,

CE=CO+CE=9an,BC=VCE2+BE2=3屈cm,

•：OFLBC,

内.

•.•CF1=Br=—B”C=_3----cm,

22

OF=VOC2-CF2=氏cm,

如图，

513

•/0E=ycm,BDLAC,BO=CO=AO=-cm,

EC=CO-OE=4cm,BC=ylBE2+EC2=2屈cm,

•：OF工BC,

：.BF=CF=-BC=岳cm,

2

/.OF=y/C02-CF2=.

2

故答案为：m或士叵.

2

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握并利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析是解题的关

键.注意未作图题一般情况下要进行分类作图讨论.

2、4>/T5cm##

【分析】

连接co,延长交。。于点E,连接£>E,先根据圆周角定理和圆的性质可得AB=CE,/CZ)E=90。，再

根据特殊角的三角函数值可得"C£=30。，从而可得/B4C=NACO=15。，作ZAB产=NB4C=15。，

交AC于点F,从而可得AF=8F,N8F'C=30。，然后在田ABB中，利用直角三角形的性质和勾股定

理可得BF=2BC,CF=GBC,设8C=xcm(x>0),从而可得AC=(2+")xcm,利用直角三角形的面

积公式可求出x的值，由此即可得.

【详解】

解：如图，连接8,延长交。。于点E,连接OE,

•.•A8,CE都是。。的直径，

AB=CE,ZCDE=90°,

CDE

•,----=-----,

,AB2

CD73

..=—,

CE2

在中，cosZDCE=—=—,

CE2

/.ZDCE=30°,

・.,C£>平分ZACB,且NAC8=90。，

.•.ZAC。=45。，

ZACO=ZACD-ZDCE=15°,

-OA=OCf

:.ZBAC=ZACO=\50,

如图，作NAM=NA4C=15。，交AC于点产，

AF=BF,/BFC=ZABF+ABAC=30°,

•.在放△50中，BF=2BC,CF=7BF2-BC2=V3BC，

:.AC=AF+CF=BF+CF=(2+>/3)BC9

设3C=xcm(x>0),则AC=(2+百)xcm,

,/SKRt△ABdC=~2A。BC=20,

—(2+y/3)x,x=20,

2

解得x=2后-2遥或x=—2后+2石<0(不符题意，舍去),

则AC+BC=(2+石)x+x=(3+6)(2而-2方)=4厉(cm),

故答案为：47rAm.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助

线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键.

3、86

【分析】

根据阴影部分面积等于以4CBC为直径的2个半圆的面积加上S.ABC减去A8为半径的半圆面积即

°„ABC•

【详解】

解：•.•在RtZ\ABC中，ZC=90°,

AC2+BC2=AB2

-：AB=8,BC=4

AC=ylS2-42=473

'S阴影部分=gAC,8C+g万x(g4C)+g乃x(：8C)-g;rx(gAB)

=1/lCBC+1^xl(AC2+BC2-AB2)

^-ACBC

2

=—x4>/3x4

2

=85/3.

故答案为：8b

【点睛】

本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键.

4、45°度

【分析】

连接必、0C,根据正方形的性质得到N80c的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案.

【详解】

解：连接仍、0C,

:四边形4&W是正方形,

：.ZB0C=9Q°,

：.ZBP(^-ZBOC=45°,

2

故答案为：45°.

【点睛】

此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点

是解题的关键.

5、①③④

【分析】

根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可.

【详解】

连接用

①的垂直平分线分别交力GBC,4〃于点0,E,F

：.PA=PC,EFVAC,EA=EC

"：PA=PB,

:.P后PFPC

二点力、B、。在以P为圆心的圆上

ZAPB=2ZACB=60°

...△为6为等边三角形；故①正确;

②•：NACB=30°,EFLAC.E忙EC

：.ZAEO=ZCEO=60°

：.ZPEB=\20°

♦・•△为8为等边三角形

・•・ZAPB=ZABP=60°

・・・ZAPF=\SO-ZAPB-ZBPE=120°-Z.BPE

:・ZPEBwZAPF,故②错误；

③•・,平行四边形ABCD中

：.AD//BC

：.ZAFE=ZCEO=60°fZABC+ZBAD=1800tZCAD=ZACB=30°

・・・△?!跖为等边三角形

・.,ZAPB=/BAP=60°,ZABC+ZBAD=180°

・•・Z.PBC=ZABC-ZABP

=180°-ZBA£>-60°

=120。—(N8AP+NEAP)

=\20°-(60°+ZFAP)

=6O°-ZFAP

・.•ZFAP=ZCAD-ZPAC=300-ZPAC

：.ZPBC=60°-(30°-ZPAC)=APAC+30°

即NW-ZPAC=30°,故③正确；

■:XAEF、△448为等边三角形

...^ABE=^APF(SAS

BE=PF

YE用EP^P2EA

:.E归E浒EP,故④正确；

综上，一定正确的是①③④

故答案为：①③④

【点睛】

本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题

的关键是根据处=吩％得到点从B、，在以尸为圆心的圆上.

三、解答题

1、(1)见解析；(2)y

【分析】

(1)由切线性质及等量代换推出N4=N5,再利用等角对等边可得出结论；

(2)由已知条件得出sin/。斯和sin//偌的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.

【详解】

(1)如图，

■:DC10A,

・・・N1+N3=9O°,

,:初为切线,

OBLBD,

・・・N2+/5=90°,

,?OA=OB,

・・・N1=N2,

VZ3=Z4,

Z.Z4=Z5,

在△颂中，N4=N5,

J.DE-DB,

⑵如图，作DRLAB于F,

连接阳,:DQDE,

・,・止：除3,

在Rt△颂中，止3,D打BA5,

:・D六用三;4

.・.si•nZ/Z门/fi尔^-D--F-=—4,

DE5

VZAOE+ZA=90°=ZA+ZAEC,ZAEC=ZD£F,

:"AO-DEF,

4£4

・••在中，sinZJ6!£==一,

A05

•.,止6,

【点晴】

本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点

与方法进行解题是关键.

2、(1)及(2)P六AB~PB或P六AB+PB,理由见解析

【分析】

(1)根据△加等腰直角三角形，PB=2,求出血的长，由。。是△板的外接圆，/颂=30°,

可得答案；

(2)根据同弧所对的圆周角，可得N49片/用眼由△如〃等腰直角三角形，得NDPB=/APD=90°,

DP=BP,可证△/及运△月%,可得答案.

【详解】

解：(1)由题意画以下图，连接以，

•.•△4切等腰直角三角形，。。是a/w的外接圆,

:.NDPB=NDE片9Q°,

,:PB=2,

•**DB=yjDP2+BP2=>/22+22=2>/2，

VZ£0£=3O°,

Z.DE=-DB=-x2y/2=yf2

22

(2)①点P在点4、6之间，

由(1)的图根据同弧所对的圆周角相等，可得:

4AD44FBP,

又•・•△脚等腰直角三角形，

・・・N加*N初=90°,D产BP,

在△/々和△力少中

ZADP=/FBP

<DP=BP

NDPB=/APD

：./\APD^/\FPB

:・A六FP,

\APrPB^AB

:・F打PB-AB,

:.FkAB-PB,

②点夕在点8的右侧，如下图:

・・・AW等腰直角三角形，

：・/DPB=/AP六90。,D六BP,

■:/PBF+/EBE8C,ZPDA+ZEB/^180°,

:"PB—PDA,

在△加沙和△9中

/DPB=ZAPF

DP=BP

/PBF=NPDA

：./\APD^/\FPB

：.AP-FP,

:,AB+P氏AP,

:・AB+PFPF,

・,.小AB^PB.

综上所述，F4AB~PB或P户AB+PB.

【点睛】

本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意(2)的两种情况.

3、(1)y=-*+2x+3；(2)A=-2,面积最小为160;(3)旧之普或匕普

【分析】

(1)令产0,解得尸6,求出出=0C=b,OA=^b,得至0),C(0,b),BQb,0),把/

(->,0),BQb,0)代入y=a*-2a户6即可求解；

y—f2JC+7

.一，c,,得*+(〃—2)x+4=0,根据直线图与函

{y=-x+2x+3

数只有一个交点，求出〃(2,3),再得到直线OZ过定点"(2,-5),利用甑尸诏8，田五M尸

x(X1-%)=4(不一%)，求出(西一电)的最小值即可求解；

(3)当以£尸为直径的OR与x轴相切时，x轴上存在点。即切点，使/*90°,设点4,尸的坐标

分别为尸(为，力)、F(xz,%),求出平移后的抛物线的解析式为y=-(x-M2+2码2,联立

2

丫=-(%-根J+2m+2得到/_(2，“+2)1+/2—2/一3=0,求出小+加=2m2,Xlx2=m-2m-3,

y=2x-\

%+%=4/zr6,表示出点2zzr3),求出(办一天片利用得至I」欧=4%，列出关于卬的

方程即可求解.

【详解】

(1)'：y=a^-2a^b(a<0)与x轴交于/、6两点(/点在6点的左边)，与y轴的正半轴交于点

C,

令A=0,解得y=b

：.CWb

/.0B=0C=b,0A--h

3

：.A0),C(0,b),BQb,0)

把力(-;b,0),B(b,0)代入y=aV-2ax+6

八ab22,ci

“i0=---—ab+Z?4力/日\a=—\

得93,解得彳//

0=ab2-2ab+h1''

.•.抛物线解析式为尸4+2户3；

(2),点后的坐标为(0,7),

可设直线£77的解析式为产〃户7

联立p=得丁+(“_2h+4=0

［》=一厂+2工+3/

,直线掰与函数只有一个交点，且在对称轴右侧

2)2-4xlx4=0

解得d=-2,所6(舍去)

直线肌的解析式为片-2矛+7

解方程》2—4工+4=0得x尸及=2

：.ff(2,3)

•.•直线67/解析式y=kx-2k-5=k(x-2)-5

直线GT/过定点M(2,-5)

如图，连接加

,：H(2,3)

.♦.M八x轴，脉8

设产(*2,%)、G(小，/))

）攵（：2）得至“炉+（左一2）x—24一8二0

联立《

/.小+上2=2-A,x\X2=-2Jk~8

S^/v/r1•SAW/+5Aaer~MHx（玉-々）=4（玉一毛）

故当（玉-w）最小时,，SAFCH最小

2222

'：（^-^）=（%,+%2）-4%,%2=（2-^）-4（-2^-8）=（）1+2）+32

故当A=-2时，（王-々尸的最小值为32

故（%-W）的最小值为豉=4应

...此时Sv,最小为4（不