2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4={》|1<工<3},3={x|3<x<6},则A0|8=（）

A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0

2.（5分）己知复数z满足（3+i）z=1-3/（;为虚数单位），贝Uz=（)

A.iB.-iC.1+ZD.1-z

X—%0

3.（5分）已知x,y满足约束条件•x+M，4,则z=2x-y的最小值为（）

X.1

A.一2B.-1C.0D.1

4.（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了篇（yuM、合、

升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容

积.根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测

量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时

所用的圆周率分别为3.1547,3.1992,3.1498,3.2031,比径一周三的古率已有所进步,则

这4个数据的平均数与极差分别为（）

A.3.1767,0.0615B.3.1767,0.0533

C.3.1745,0.0484D.3.1547,0.0533

5.（5分）已知口。的圆心是坐标原点。，且被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,则口0的

方程为（）

A.x2+y2=4B.x2+y2=9C.x2+y2=8D.x2+y2=6

6.（5分）已知A48c的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足/+c?=反，

且a=5则必-=（）

sin8

A.2B.3C.4D.2M

7.（5分）已知递增等比数列{%}的前〃项和为，4=2，邑=7，则$7=（）

A.64B.63C.127D.48

8.（5分）已知aw（色，乃），且cos2a='sin2a+l,贝!Jcosa=（）

22

A后口出「3岳「2不

A.----D.----L.-------L）.-----

105105

9.（5分）点/为抛物线V=4x的焦点，点A（2,l）,点P为抛物线上与直线AF不共线的一

点，则A4PF周长的最小值为（）

A.3一&B.3+0C.4D.2夜

10.（5分）己知函数/（x）=Asin（3T+°）（A>0,G>0,的图象如图所示，且f（x）

的图象关于点（％,0）对称，则|/|的最小值为（）

A.—B.-C.-D.—

3636

11.(5分)已知函数=+,则不等式f(2x-l)</(x-2)的解集为()

1/g(l-x),x<0

A.（0,2）B.（0,1）C.（-1,1）D.（-2,2）

12.（5分）在直角梯形43C。中，ABHCD,ABA.AD,AB=2,AD=R,/CAB，,

3

__________________17

点尸是线段4?上的一点，若BC=2CE,AF=AAB,HAEDF=-—,贝4/1=（）

4

A.-B.-C.-D.-

4323

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）曲线y=2cosx+sinx在点（0,2）处的切线方程为.

14.（5分）大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究雄鱼的科学家发现鞋鱼的

游速可以表示为函数v=glog3备，单位是m/s,其中。表示鱼的耗氧量的单位数.当一

条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是m/s.

15.（5分）已知圆锥的体积为乎万，其底面半径和母线长的比为1:3,则该圆锥内半径最

大的球的表面积为一.

?2

16.（5分）过双曲线。:5-4=13>0,6>0）的右焦点尸作C的一条渐近线的垂线，垂足

a-b

为A,交另一条渐近线于点3.若丽'=析，3知兑4,则C的离心率的取值范围为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：

共60分.

17.(12分)已知公差dxO的等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,,且生=5，%，%,小成等

比数列.

(1)求数列｛〃,｝的通项公式；

(2)求证数列｛2｝的前"项和？；,<(.

18.(12分)如图,三棱锥4-BCD中，AZ)_L底面BC£>,底面BCO是等边三角形，AD=BD=1,

M为BC中点.

(1)试在棱AC上确定一点N,使MN//平面板)；

(2)证明：平面ABC_L平面AD”；

(3)求点M到平面45。的距离.

19.(12分)某超市为了促销某品牌粮食，记录了每天销售员的人均日业绩，现随机抽取100

天的数据，将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,

85),[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率；

(2)用分层抽样的方法在样本数据[45,55),[55,65)中抽取一个容量为5的样本，再

在这个样本中任取两天，求这两天的数据都在[55,65)中的概率.

0.03I

20.(12分)已知椭圆E:二+£=l(“>b>0)的离心率为直，其左、右焦点为耳，凡，

a'b-3

过点尸।的直线/与椭圆E交于A/、N两点，AMN写的周长为46.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过椭圆E右焦点的直线4,/?互相垂直，且分别交椭圆E于A,8和C,。四点，求

|A8|+|C£>|的最小值.

21.(12分)设函数/(幻=*2一q(x+Hnx)(q>0),/(x)是函数/(x)的导函数.

(1)讨论/*)的单调性；

(2)若/(1)+f'(1)=0,证明：§+4■+…+”>/〃(〃+l)(〃wN*).

12n~

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)在直角坐标系xOy中，直线q的参数方程为J、二,+5(?为参数).以坐标原点

a

为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为炉=--—•

2+cos2(9

(1)求直线0的普通方程和曲线C?的直角坐标方程；

(2)求曲线G上的动点到直线G距离的最大值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数f(x)=|x-l|+2|x+l|.

(I)求不等式/1),,5的解集；

(II)若不等式的解集为R,求〃?的取值范围.

2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={刈1<;<:<3},B={x|3<x<6},则40|8=()

A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0

【解答】解：因为集合4={》|1<》<3},B={x|3<x<6},

由集合交集的定义可知，=

故选：D.

2.（5分）已知复数z满足（3+i）z=l-39为虚数单位），则z=（）

A.iB.-iC.I+/D.1-z

【解答】解：由a得/展黜3—"9i+3产-10/

32+12"To-

故选：B.

x-y„0

3.（5分）已知x,y满足约束条件,x+y,,4,则z=2x-y的最小值为（）

x.A

A.一2B.-1C.0D.1

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由z=2x-y,得y=2x-z,由图可知，当直线y=2x-z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-1.

故选：B.

4.（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了畲（yuG）、合、

升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容

积.根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测

量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时

所用的圆周率分别为3.1547,3.1992,3.1498,3.2031,比径一周三的古率已有所进步，则

这4个数据的平均数与极差分别为（）

A.3.1767,0.0615B.3.1767,0.0533

C.3.1745,0.0484D.3.1547,0.0533

【解答】解:由题意，这4个数据分别为3.1547,3.1992,3.1498,3.203L

这4个数据的平均数为；X（3.1547+3.1992+3.1498+3.2031）=3.1767,

4个数据中最大的时3.2031,最小的为3.1498,

极差为3.2031-3.1498=0.0533.

故选：B.

5.（5分）已知口。的圆心是坐标原点。，且被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,则口。的

方程为（）

A.x2+y2=4B.x2+y2=9C.x2+y2=8D.x2+y2=6

【解答】解：：口。的圆心是坐标原点。，且被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,设口0的

方程为

则弦心距为d=七°-°+5]=75,

丁+产

.•.（8>+（2）2=/,解得产=9,可得圆的标准方程为Y+y2=9,

故选：B.

6.（5分）已知A43C的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c满足/+c?一/=从，

且。=5则，-=（）

sinB

A.2B.3C.4D.2G

【解答】解：AA3C的三边。，b,。满足廿+/一〃2=反，

整理得cosA=b"-----=—,

2bc2

由于Ac（0,乃），

所以A=三，

3

fesinA=—,

2

珈ba\/3

sinBsinA，3

T

故选：A.

7.（5分）已知递增等比数列｛qJ的前〃项和为，&=2，53=7,则S7=（）

A.64B.63C.127D.48

【解答】解：设等比数列｛可｝的公比为外

q=4

由题设可得:解得:

q=一

2

・.•数列｛凡｝是递增数列,

4=1

4=2

1-27

=127,

1-2

故选：C.

8.（5分）已知a£（工，乃），且cos2cr=Lsin2a+l,则cosa=（

22

厂3后

A.B.c.-------

10510--¥

【解答】解：因为cos"=」sin2a+l,

2

所以cos?a-sin2a--x2sinacosa+sin2a+cos2a，可得-2sin?a=sinacosa,

2

因为a£（工，兀），sinawO,

2

所以sina=」cosa,

2

由于cos2a+sin2a=[,

।

可得一cos2a+cos2a=1,可得cosa=±----,

45

因为（石，乃），cosa<0,

所以cosa=----.

5

故选：D.

9.(5分)点尸为抛物线V=4x的焦点，点A(2,l),点P为抛物线上与直线"不共线的一

点，则△铲尸周长的最小值为()

A.3-及B.3+72C.4D.2拉

【解答】解：求周长的最小值，即求|尸川+|「用的最小值，

设点尸在准线上的射影为。，

根据抛物线的定义，可知|PF|=|PO|,

因此，1PAi+|尸尸|的最小值，即1PAi+IP0的最小值，

根据平面几何知识，可得当。，P,A三点共线时|P4|+|P0最小，

因此最小值为xA—(—1)=2+1=3,

-.1AF|=7()2-l2+d-0)2=叵,

.•.M4/周长的最小值为3+夜，

10.(5分)已知函数f(x)=Asin3x+e)(A＞0,。＞0,|例＜鸟的图象如图所示，且/⑶

的图象关于点(%,0)对称，则|为|的最小值为()

A.—B.—C.—D.—

3636

【解答】解：函数f（x）=Asin（Gx+e）（A>0,。>0,|夕|<§的图象，可得A=2,

集合五点法作图，1x^+9=],/.9=/,/(x)=2sin(x+^).

根据/(x)的图象关于点(％,0)对称，可得垢+工二女)，keZ,

6

则|%|的最小值为巴，此时,k=0,

6

故选：B.

11.(5分)已知函数f(x)=H“+D'"°,则不等式/(2x-l)</(x-2)的解集为()

[/g(l-x),x<0

A.(0,2)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-2,2)

【解答】解：当x>0时，-x<0,则/(-x)=/g(l+x)=/(x),

当x<0时，一x>0,则/(-x)=/g(l-x)=/(x),

所以函数〃x)在R上是偶函数，

所以不等式f(2x-1)<f[x-2)等价于/(|2x-l|)</(|x-2|),

因为/(x)在[0,+8)上单调递增,所以

两边同时平方化简可得：-1<X<1,

即不等式/(2x-l)</(x-2)的解集为(-1,1),

故选：C.

12.(5分)在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±AD,AB=2,AD=E,ZCAB=-,

3

点下是线段A3上的一点，若觉=2年，而=2而，且通.方=-U,则2=()

4

A.-B.-C.-D.-

4323

【解答】解：直角梯形A3。中，AB//CD,ABLAD,

则以A点为原点AB为x轴，AZ)为)，轴建立如图所示的直角坐标系，

因为AB=2,AD=6,ZCAB=-,

3

所以A(0,0),8(2,0),C(1,V3).HO#),

因为配=2区，设EG%”),

则(-1,指)=2(m-1,〃-拘，

所以〃2=3，w=乎，所以E(；,当

因为而=4通，所以尸(240),

所以AE=(g,3g)，DF=(2A,—V5),

.___o17

所以荏•方=4——=一一，

24

解得

4

故选：A.

E

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)曲线y=2cosx+sinx在点(0,2)处的切线方程为_x-y+2=0_.

【解答】解：vy=2cosx+sinx,/./=-2sinx+cosx,

曲线y=2cosx+sinx在点(0,2)处的切线的斜率k=l,

曲线y=2cosx+sin尤在点(0,2)处的切线的方程y=x+2,即x-y+2=0.

故答案为：X—y+2=0.

14.(5分)大西洋鲤鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鲤鱼的

游速可以表示为函数丫ullog,，"，单位是，"/S,其中。表示鱼的耗氧量的单位数.当一

23100

条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是-mis.

~2~

【解答】解：将。=2700代入可得以=3/083年¥=；/08327=^，

故答案为：

2

15.（5分）已知圆锥的体积为手万，其底面半径和母线长的比为1:3,则该圆锥内半径最

大的球的表面积为_2乃_.

【解答】解：设内切球的半径为广，则利用轴截面，根据等面积可得

-x2x＞/9^T=lx（3+3+2）r.

22

72

r=——,

2

/.该圆锥内切球的表面积为44产=4〃xL=24,

2

故答案为：2%.

16.（5分）过双曲线C:二-==1（。＞0力＞0）的右焦点尸作。的一条渐近线的垂线，垂足

ab“

为A,交另一条渐近线于点B.若E=£~,3别I4,则C的离心率的取值范围为一［乎—

噜一

【解答】解：不妨设点A在渐近线y=上，则点B在渐近线y=?x上，

aa

•:AB.LOA,

/.直线AB的方程为y=-(x-c)»

b

b

y=——x

联立a，解得4艺，

a/、

y=-(x-c)

b

b

y=—x2

a，解得仇/^tabc、

联立7^)'

a.、a-b"

y=-(x-c)

h

•/FB=AAF,

25

—.•.尤辘晅

a25

：.c的离心率的取值范围为［手，争］.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:

共60分.

17.（12分）已知公差dxO的等差数列｛”“｝的前〃项和为5,，且4=5，卬，%，阳成等

比数列.

（1）求数列的通项公式；

1Q

（2）求证数列｛L｝的前〃项和I,〈士.

S"4

【解答】解：（1）•.«、4、小成等比数列，

a；=443，

.♦.(5+2d)2=(5—d)(5+11d),

化为1-2d=0,dwO,

解得d=2,

an=5+2(〃-2)=2〃+1.

证明：(2)S„=n(3+2n+1)-n(n+2),

_L)2_1_L_L)<2

T=—(1---1-------1-----1-…-l---------)=—(1H--------=(+

“232435nn+222〃+ln+242n+1n+24

18.(12分)如图,三棱锥A-BCD中，4)J_底面BCD,底面BCD是等边三角形，AD=BD=1,

M为BC中点.

(1)试在棱AC上确定一点N,使MN//平面ABD；

(2)证明：平面A8C平面；

(3)求点版到平面W的距离.

【解答】(1)解：取AC的中点N,因为M,N分别为BC,AC的中点，所以MN//AB,

又平面他£),/Su平面4?。，所以“N//平面ABZ)；

(2)证明：因为AQ_L平面8CQ,又BCu平面BCO,所以AD_LBC,

因为。C=OB,M为BC的中点，所以。MJ.BC,

又AD，ZiWu平面4W,所以BC1平面ADM,

又因为BCu平面4BC,所以平面A8cl.平面4W；

(3)解：设点M到平面ABZ)的距离为"，

由等体积法九一切=%—，

所以g，SMBD'共=；，SgDM'仞,

又SMQ=；xlxl=g,

.c_11V3_V3

AD=\,S^RDM=-X—X—=—，

ZZZo

所以4=且，

4

故点M到平面河的距离为—.

4

19.(12分)某超市为了促销某品牌粮食，记录了每天销售员的人均日业绩，现随机抽取100

天的数据，将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,

85),[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率;

(2)用分层抽样的方法在样本数据[45,55),[55,65)中抽取一个容量为5的样本，再

在这个样本中任取两天，求这两天的数据都在[55,65)中的概率.

必

航

0.03-...................................

【解答】解：(1)设事件A为“随机选取一天，这一天该超市的销售员人均业绩不少于55

袋”,

依题意，该超市人均业绩不少于55袋的频率分别为：0.3,0.2,0.15,0.05,

•.-0.3+0.2+0.15+0.05=0.7,

随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率为0.7.

(2)由题知，样本数据[45,55),[55,65)分别有20天，30天，

容量为5的样本中，[45,55)有2天，记为1,2,

[55,65)中有3天，记为3,4,5,

从中任取2天，基本事件有10种，分别为：

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10种，

其中都在［55,65）的有3种，分别为：34,35,45,

这两天的数据都在［55,65）中的概率为尸=±.

10

20.（12分）已知椭圆E:=+工=1（4>6>0）的离心率为立，其左、右焦点为尸-K，

crb-3

过点耳的直线/与椭圆E交于M、N两点，AMN用的周长为4#.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过椭圆E右焦点的直线4互相垂直，且分别交椭圆E于A,8和C,。四点，求

IABI+I8I的最小值.

【解答】解：（1）由题意可知，AMN心的周长为4指，

所以4a=4\^6,即a=瓜,

由e=「色，即£=［但,解得c=2,

3a3

所以从=〃2-，=4,

r22

所以椭圆的方程为上+匕v=1.

62

（2）由（1）知，椭圆的右焦点为（2,0）,

设4%，X），B（a,y2）,C（x3,%），。（匕，以），

当直线4的斜率为0时，IA8|=2a=2#，

直线4为：彳=2,

所以|CD|=半，

所以|48|+|CC|=26+半=半，

当直线4的斜率不存在时，直线的斜率为0,|48|+|CD|=平，

当直线6的斜率存在且不为0时，直线4的方程可设为x=〃?y+2（mx0）,

则直线/,的方程为》=-L丫+2,

m

厂y

所以T+T=,整理得(3+加)/=4殁—2=0,

x=my+2

△=16/n2+8(m2+3)>0恒成立，

4"?

+必=一~不

y+3

则

2

y%=―-7—；

m+3

所以

-4/〃

|AB=V+"/y{—y=J+my+y-yy

m2+3m+tn+

2厢（一今+1]2欣+小）

联立直线1与椭圆的方程可得\CD|=

23m2+1

(一~-)2+3

m

则ii+im=2a熏+高)=8向苏+

3m4+10/772+3'

.211

令布+1=，,则g«）=EW(/>D.

---7d----F3-(—I)2+4

2

当fe(l,+oo)时，-(一一l>=4e(3,4],

则gS」-1-----eg'1)

-(--I)2+443

所以|46|+|8上[2几,

所以|AB|+1C0的最小值为2屈.

21.(12分)设函数f(x)=/-a(x+a/nr)(a>0),尸(x)是函数f(x)的导函数.

（1）讨论/（x）的单调性;

(2)若/(1)+f'(1)=0,证明：3+3+~+注>川(〃+1)(〃€"*).

12-n~

【解答】解：(1)f(X)的定义域是(0,+◎，

2(2x+a)(x-。)

f\x)=2x-ci-----

xx

•/a>0,

:.XE(O,a)Hl,f\x)<0,/(x)单调递减,

xG(a,+8)时，fr(x)>0,/(x)单调递增，

即，(x)在(0,a)单调递减，在5,+«))单调递增；

(2)证明：由(1)可知/(1)=\-a,f(1)=2-a-a2,

.,A—a+2—a—a2=0,解得：a=l或。=-3(舍)，

f(x)=x2-x-lnx，

由(1)知：函数/(X)在(0,1)上单调递减，在。,物)上单调递增，

/.(1)=0,即f(x)..O即炉一了..阮v对任意x>o恒成立,

当且仅当x=l时“二”成立，

令x=>1,neN,，

n

n+l+1、，八+1\

贝mil(z----)~2-(----)>//?(----)，

nnn

整理得：“>l〃("+1=ln(n+1)—Inn,

nn

~z~4——+..