机械振动总结复习习题及解答

欢迎阅读欢迎阅读、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量I=1.725x10一3kg•m2，弹簧刚麻=24.5N/m，小球质量0m=0.0856kg，直角折杆的一边l=4cm。另一边b=5cm。试求固有频率。U重力势能 g0■0U重力势能 g0■0一mg(l一lcos0)解：弹性势能U=U=U总势能 k.八Li+U=—kb202+mglCos0一mglg2dU代入dU代入~dT=0可得X=X二.i可求得0=0满足上式。dd2U再根据公式dX2T>0判别0=0位置是否稳定及其条件:即满足kb2>mgl条件时，振动系统方可在=0位置附近作微幅振动。系统的动能为T=2I0&2d(d(T+U)代入dt=0可得欢迎阅读由e=0为稳定位置，则在微振动时sin°田0,可得线性振动方程为：固有频率代入已知数据，可得2用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为，重心在点,物体对重心的回转体半径为L试导出运动微分方程。解：如图所示，在任意角度0(t)时，重心c的升高量为A=r(1—cos0)=2rsin2o2取重心c的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为TOC\o"1-5"\h\zV=mgA=2mgrsin2&«+mgr02 (a)Ib=Ic+mbc2=m(L2+bc2) (b)bc2=r2+R2-2rRcos0(t) (c)而柱体的动能为T=2Ib02把(b)式，(c)式两式代入，并线性化有T=+m[L2+(一)2]02 ()根据能量守恒定理，有+m[L2+(—)2]02++mgr02=E=const对上式求导并化简，得运动微分方程为[L2+(一)2府+0=0 (e)3一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角0为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0=0，则当m有0转角时，系统有：由d(E+U)=0可知：T解得3=#r2/(I+mr2)( )4图中，半径为的圆柱在半径为的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程解1)建立广义坐标。设槽圆心。与圆柱轴线O1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。欢迎阅读欢迎阅读2）写出系统的动能和势能。圆柱的动能由两部分组成，即它跟随质心的移动动能和绕质心转动的动能，而质心的速度为（-。，圆柱相对于质心的角速度g（r）G/r，因此系统的动能为若取系统静平衡时的势能为零，则在一般位置系统的势能为U=mg（R-r）（1-cos9）3）利用能量守恒原理得到当系统作微小振动时9很小，sin9.9，9不恒等于零，方程就简化为。5单圆盘转子如图（）所示，可化简为图I）所示的简去 T ⑹支梁系统，求其在跨度中点垂直方向的刚度及系统的自然频率。解：当忽略轴的质量时，系统简化为图（b）的模型，这是一个弯曲变形振动问题。为了求其刚度，按照材料力学中的公式，其跨度中点在集中力P的作用下，产生的挠度y为则由k=P/y得到系统可进一步简化为“m-k”系统，则单自由度系统的自然频率为6机械式振动仪原理图如图所示。支承于水平轴的摆连接一个刚度为的螺线弹簧，在重力作用下摆的平衡位置偏离水平线成P角。设摆在水平线上方成。角处，螺线弹簧不受力。摆的质量为，它绕轴的转动惯量为，摆重心至轴的距离为摆可围绕平衡位置作微幅振动，求其固有频率。振动仪原理图解：方法一：当摆处于平衡位置时，有摆的微振动角位移记为9，由动量矩定理，可得摆的运动微分方程为考虑到式，并精确到一阶小量，上式可线性化为因此，摆的振动固有频率为方法二：能量法由于不考虑阻尼，因而系统的机械能守恒。这时系统的动能和势能可以分别表示为

由+ ==常数一=，可得因此，摆的振动固有频率为、例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L抗弯刚度其中给出九二mgl3由材料力学：一丽求：梁的自由振动频率和最大挠度解：取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系静变形：九自由振动频率为：g .148自由振动频率为：g .148EJml3撞击时刻为零时刻则自由振动振幅为梁的最大扰度：则撞击时刻为零时刻则自由振动振幅为梁的最大扰度：则t=0时，有:、质量 的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如上图所示。当物块从高度 时撞于弹簧上并不在分离。弹簧的刚度系数为倾簧上并不在分离。弹簧的刚度系数为倾NB 30求此系统的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。解：物块平衡时，弹簧的变形为3=mgsinp/k0欢迎阅读以物块平衡位置为原点，建立图示坐标。物块受力如图所示，其运动微分方程为mx=mgsinP-k(d+x)o将式()带入上式，化简后得系统的固有频率为当物块碰上弹簧时，取时间 作为振动的起点。则运动的的初始条件为：初位移： x=-b=-3.06x10-3m初速度：v=、,;2gh=1.4m/sTOC\o"1-5"\h\z0 0代入式A=：x2+xi和tane=2A得0 32 xY n 0则物块的运动方程为 x=35.1sin(401-0.087)(9今有离心式自动脱水洗衣机，质量为，有四个垂直的螺旋弹簧支撑，每个弹簧的刚度由试验测定为，另有四个阻尼器，总的相对阻尼系数为z。简化如图所示。洗衣机在初次脱水时以运行。此时衣物的偏心质量为，偏心距为。试计算其垂直振幅。由于结构的对称性，在计算其垂直方向振幅时，可作为单自由度系统来处理。解偏心质量的离心惯性力在垂直方向的分量引起洗衣机机体在垂直方向上的受迫运动，其振动方程为：式中右边分子上的me32为离心惯性力，3为激振力频率:系统的四个弹簧为并联，总刚度为K=4k=3320N/cm,固有频率3n为频率比为这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。振幅为：、为了估计机器基座的阻尼比C,用激振器使机器上下振动。激振器有两个相同的偏心块组成，它们沿相反的方向以同一角速度3如下图所示回转，这样可以产生垂直惯性力。当转速3逐渐提高时机