基于磁场梯度的椭球体阵列磁场模型

基于磁场梯度的椭球体阵列磁场模型

关于船舶周围空间磁体分布的研究很多，但对船周围另一物理变量（即磁体梯度）的研究很少。随着技术的进步，磁体和磁体之间的倾斜变得简单起来。目前,国内外绝大多数的文献都只介绍了利用磁场梯度来对磁性目标定位的方法,而对磁场梯度在建立磁场模型方面的应用讨论较少。本文采用旋转椭球体阵列作为磁场梯度模型,提出了一种利用磁场梯度来建立磁场数学模型的方法。针对模型的精度和稳定性易受人为选择椭球参数影响的弊端,本文利用逐步回归方法来确定船舶磁场模型的各参数。船模试验表明,利用该方法建立的磁场模型精度高,可以广泛应用于近距离的磁性目标定位和磁场建模。1探索磁场模型参数的建立在舰船坐标系下,设空间任意场点P相对于椭球体中心点的坐标为(x,y,z),椭球体三分量磁矩为Mx,My,Mz。用Hij(i,j=x,y,z)表示Hi在j方向上的梯度,则磁场的3个分量在3个方向上的梯度为:其中:fxx=3x4π(t2+2a2t+b2t-4a2b2g2t3a)fxx=3x4π(t2+2a2t+b2t−4a2b2g2t3a);fyx=3ay4π(t2+3b2t-4a2b2g2b2t3)fyx=3ay4π(t2+3b2t−4a2b2g2b2t3);fzx=3az4π(t2+3b2t-4a2b2g2b2t3)fzx=3az4π(t2+3b2t−4a2b2g2b2t3);fxy=fyx;fyy=3x4π(b2t2+b2ty2-2a2ty2-4a2b2y2ab4t3)fyy=3x4π(b2t2+b2ty2−2a2ty2−4a2b2y2ab4t3);fzy=3xyz4π(b2t-2a2t-4a2b2ab4t3)fzy=3xyz4π(b2t−2a2t−4a2b2ab4t3);fxz=fzx;fyz=fzy;fzz=3x4π(b2t2+b2tz2-2a2tz2-4a2b2z2ab4t3)fzz=3x4π(b2t2+b2tz2−2a2tz2−4a2b2z2ab4t3);gxx=fyx;gyx=fyy;gzx=fzy;gxy=fyy;gyy=3ya4π(3b2t2+y2(3b2-4a2)t-4y2b2a2b6t3)gyy=3ya4π(3b2t2+y2(3b2−4a2)t−4y2b2a2b6t3);gzy=3za4π(b2t2+y2(3b2-4a2)t-4y2b2a2b6t3)gzy=3za4π(b2t2+y2(3b2−4a2)t−4y2b2a2b6t3);gxz=fyz;gyz=gzy;gzz=3ya4π(b2t2+z2(3b2-4a2)t-4z2b2a2b6t3)gzz=3ya4π(b2t2+z2(3b2−4a2)t−4z2b2a2b6t3);exx=fzx;eyx=fzy;ezx=fzz;exy=fzy;eyy=gzy;ezy=gzz;exz=fzz;eyz=-(fyx+gyy);ezz=-(fzx+gzy);a=√x2+y2+z2+g2+t2a=x2+y2+z2+g2+t2−−−−−−−−−−√;b=√a2-g2b=a2−g2−−−−−−√;t=√(x2+y2+z2+g2)2-4g2x2t=(x2+y2+z2+g2)2−4g2x2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√。g为椭球体半焦距。容易证明Hyx=Hxy,Hzx=Hxz,Hzy=Hyz,Hzz=-(Hxx+Hyy),从而在梯度的9个量中只有5个量是独立的,所以可以利用磁场梯度的5个独立分量来确立船舶磁场模型的各参数。如图1,选用几何中心与船舶几何中心重合的1个大椭球体和N-1个(N为奇数)小椭球体组成的椭球体阵列来建立数学模型,两相邻小椭球体中心点间距为d。设大椭球编号为1,大椭球的半焦距g=√(L/2)2-(B/2)2g=(L/2)2−(B/2)2−−−−−−−−−−−−−√;小椭球从左至右编号为2,3,…,N,则第i个小椭球体的中心点坐标(ui‚vi‚wi)=[(i-Ν-12)d‚0‚0](ui‚vi‚wi)=[(i−N−12)d‚0‚0],小椭球体的半焦距gi=L/(2N-2),其中L为船长,B为船宽。记场点Pj磁场梯度的5个独立分量分别为Hxxj,Hxyj,Hxzj,Hyyj,Hyzj,则Ηxxj=Ν∑i=1fxxjiΜxi+fyxjiΜyi+fzxjiΜziHxxj=∑i=1NfxxjiMxi+fyxjiMyi+fzxjiMzi;(1)Ηxyj=Ν∑i=1fxyjiΜxi+fyyjiΜyi+fzyjiΜziHxyj=∑i=1NfxyjiMxi+fyyjiMyi+fzyjiMzi;(2)Ηxzj=Ν∑i=1fxzjiΜxi+fyzjiΜyi+fzzjiΜziHxzj=∑i=1NfxzjiMxi+fyzjiMyi+fzzjiMzi;(3)Ηyyj=Ν∑i=1gxyjiΜxi+gyyjiΜyi+gzyjiΜziHyyj=∑i=1NgxyjiMxi+gyyjiMyi+gzyjiMzi;(4)Ηyzj=Ν∑i=1gxzjiΜxi+gyzjiΜyi+gzzjiΜziHyzj=∑i=1NgxzjiMxi+gyzjiMyi+gzzjiMzi。(5)将各个椭球体的半焦距和各测量点Pj与各椭球体的相对坐标以及相应的磁场梯度测量值代入式(1)～(5)中,得到了5K个方程,构成一个方程组,写成矩阵的形式为AM=B。其中,M=[Mx1My1Mz1…MxNMyNMzN]T;B=[H1xx…HKxx…;H1yz…HKyz]T;A为方程对应的磁矩系数。2线性磁矩的生成通常情况下有5K>3N,方程组为矛盾方程组,其解为无约束最小二乘解。采用优化算法通过多次迭代,使磁矩达到最优,有效地解决了这类问题,但是迭代收敛的速度和精度取决于迭代初始点的选择。一方面收敛速度快,精度高的初始点是较难选择的。另一方面为了提高建模精度,需要选用较多的模拟体,模拟体的数量增加,会使系数矩阵A中某些列的相关性增强,条件数变大,方程呈现病态,建立的模型拟合误差增大,稳定性变差。为克服这种人为因素的影响,考虑到每个椭球体的三分量磁矩都是相互独立的,本文采用逐步回归的方法对原始磁矩进行筛选再求解。为了使磁场梯度各分量在无量纲的条件下进行计算,现将方程组做一定的变换。记方程组增广矩阵C=[A:B]=(α1,α2,…,α3N+1),αi=(α1i,α2i,…,α5Ki)T。令ˉαi=15Κ5Κ∑j=1αji‚σi=15Κ5Κ∑j=1(αji-ˉαi)2‚i=1‚2‚⋯‚3Ν+1‚做变换令α¯¯i=15K∑j=15Kαji‚σi=15K∑j=15K(αji−α¯¯i)2‚i=1‚2‚⋯‚3N+1‚做变换C1=(α1-ˉα1σ1‚α2-ˉα2σ2‚⋯‚α3Ν+1-ˉα3Ν+1σ3Ν+1),形成新的方程组A1M1=B1。则两方程组中磁矩对应的关系Μi=σ3Ν+1σiΜ1i。运用逐步回归解新方程组得到M1后,通过上式可以方便地得到磁矩M。由于阐述逐步回归的具体方法和步骤的文献较多,这里不再赘述。3船模磁场模型求解为了验证模型的有效性,笔者对某船模进行了实验。测量2个深度(h1=0.517m,h2=0.865m)上的磁场梯度。利用一种深度上的船模梯度测量值建立船模磁场模型,计算h1,h2两种深度上船模磁场值,比较两者的计算值与测量值,经归一化处理后结果见图2和图3。图2为利用深度为h1的磁场梯度建立的磁场模型,图3为利用深度为h2的磁场梯度建立的磁场模型;图中的实线表示磁场测量值,虚线表示利用模型计算的磁场值。从图中可以看出,模型计算