结构力学龙驭球第八章 渐近法课件

第八章渐近法及其他算法简述结构力学龙驭球第八章渐近法基本要求：

掌握用力矩分配法计算连续梁和刚架的计算，掌握用机动法绘制连续梁影响线形状及连续梁的最不利荷载分布。理解无剪力分配法和力矩分配法与位移法的联合应用结构力学龙驭球第八章渐近法

理论基础：位移法；

计算对象：杆端弯矩；

计算方法：增量调整修正的方法；

适用范围：连续梁和无未知结点线位移的刚架。（1）转动刚度S：转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力,在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。§8-1

基本概念1.名词解释结构力学龙驭球第八章渐近法1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。结构力学龙驭球第八章渐近法

在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）

远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。θMAB1MABMAB111MABΔ②①③④下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（）√√√√iiiii⑤①②③④iAAAAA4i>SAB>3iBBBBB结构力学龙驭球第八章渐近法分配系数SAB

=4i1SAB=3i11SAB=i（2）分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得结构力学龙驭球第八章渐近法（3）传递系数MAB=4iAB

AMBA=2iAB

AMAB

=3iAB

AMAB=iAB

AMBA=-iAB

A在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

AlAB近端远端AB

A

AAB结构力学龙驭球第八章渐近法2.基本运算ABCMABMBAMBCABCMABFMBAFMBCFMBMBMBAMBCMB=MBA+MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：MBA=MBAF+MBC=MBCF+MAB=MABF+然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号结构力学龙驭球第八章渐近法例1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB= MBA+MBC=-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=结构力学龙驭球第八章渐近法1、单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。2、图示刚架可利用力矩分配法求解。3、若图示各杆件线刚度i相同，则各杆A端的转动刚度S分别为：4i,3i,i

。结构力学龙驭球第八章渐近法4、图示杆AB与CD的EI、

l

相等，但A

端的转动刚度大于C

端的转动刚度。

结构力学龙驭球第八章渐近法§8-2多结点的力矩分配ABCD

B

CMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算结构力学龙驭球第八章渐近法CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN

0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）结构力学龙驭球第八章渐近法ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9FQ图（kN）求支座反力68.256.4B124.6结构力学龙驭球第八章渐近法

1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：结构力学龙驭球第八章渐近法0.222111ABCDFEBCMFBA=40kN·mMFBC=-41.7kN·mMFCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE结构力学龙驭球第八章渐近法ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kN·mABC1m5m1mEI=常数D50kN结构力学龙驭球第八章渐近法4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09

ABCEF结构力学龙驭球第八章渐近法－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)结构力学龙驭球第八章渐近法若用力矩分配法计算图示刚架，则结点A的不平衡力矩为

结构力学龙驭球第八章渐近法§8-3对称结构的计算结构力学龙驭球第八章渐近法↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15结构力学龙驭球第八章渐近法0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)结构力学龙驭球第八章渐近法例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABDCEI1I2↓↓↓↓↓↓↓qEBF解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmBE==212iii+i211ii+BEBFμ结构力学龙驭球第八章渐近法ABDCEFμBEBF212iii+i211ii+mMM图当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2≥20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1≥

20i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。如本例中只要横梁线刚度i1超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i1结构力学龙驭球第八章渐近法§8-4无剪力分配法一、应用条件：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。FPFPFPFPFPFPABCDFPFPFPABCDFP2FP3FP柱剪力图即：刚架中除了杆端无相对线位移的杆外，其余杆件全是剪力静定杆。结构力学龙驭球第八章渐近法二、单层单跨刚架BACBACSAB=iAB

SAC=3iAC只阻止转动放松单元分析：ABABMABMBAFQ=0等效ABMABSAB=iAB

CAB=-1上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。（2）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。（3）AC杆的计算与以前一样。

（1）求剪力静定杆的固端弯矩时，先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。结构力学龙驭球第八章渐近法1、剪力静定杆的固端弯矩：↓↓↓↓↓↓↓↓

将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。2、剪力静定杆的转动刚度和传递系数：θAΔABMAB=4iθA－6iΔ/lMBA=2iθA－6iΔ/l∵FQBA=－（MAB+MBA）/l=0∴MBA=－MAB，∴MAB=iθA剪力静定杆的

S=iC=－1Δ/l=θA/2MBA=-iθA

求剪力静定杆的固端弯矩时先由平衡条件求出杆端剪力；结构力学龙驭球第八章渐近法例：2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3（1）M（2）S、、C0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M图(kN·m)结构力学龙驭球第八章渐近法三、单跨多层刚架FP1FP2ABCDEFP1FP2ABFP1MABMABBCMBCMCBFP1+FP2(1)求固端弯矩AB、BC杆是剪力静定杆。1）由静力条件求出杆端剪力；2）将杆端剪力作为荷载求固端弯矩结构力学龙驭球第八章渐近法BCDEASBA=iABSBE=3iBESBC=iBC

BCiBC

FQ=0

iAB

AB（2）分配与传递

在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。CBC=-1CBA=-1结构力学龙驭球第八章渐近法C8kN17kN27273.53.5553.3m3.6mABC4kN8.5kN4kNAB3.555454-6.6-6.6BC12.5kN-22.5-22.5ABCAB0.02110.97890.02930.02060.9501-6.6-6.6-22.5-22.50.627.650.85-0.85

-0.60.157.05-0.1500.010.14-0.01-7.057.05-6.1527.79-21.64-23.36例：由结点B开始结构力学龙驭球第八章渐近法4I4I5I3I3IABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I3I3IABCDEFΔ=1F1Pk11用力矩分配法，并求出F1P、k11再叠加M图。§8-5力矩分配法与位移法的联合应用结构力学龙驭球第八章渐近法例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图。8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN[分析]图示结构中E点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。选E点竖向线位移为位移法基本未知量，B、C点角位移用力矩分配法计算。解：（1）取E点竖向线位移为位移法基本未知量典型方程为：（2）用力矩分配法求基本体系，在荷载作用下的弯矩图结构力学龙驭球第八章渐近法8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN

杆件相对线刚度

杆端分配系数

固端弯矩kN.mkN.mkN.m-106.7106.7-13040-42.68-64.02-21.34-128.064.0-64.043.386.786.7-86.7401286486.773.340kN.m结构力学龙驭球第八章渐近法（3）用力矩分配法计算时的弯矩图

时，梁端固端弯矩：-0.750.750.30.450.150.150.3-0.3-0.5-0.250.25-0.250.15i0.3i0.25i结构力学龙驭球第八章渐近法ABECFDG（4）代入典型方程得（5）求作连续梁弯矩图169.118.318.340170.91601286486.773.3400.15i0.3i0.25i结构力学龙驭球第八章渐近法§8-6近似法1.分层计算法两个近似假设：第一,忽略侧移的影响。第二，忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响。结构力学龙驭球第八章渐近法结构力学龙驭球第八章渐近法分层刚架结构力学龙驭球第八章渐近法2.反弯点法1）变形和受力特征2）近似假设刚架中的横梁简化为刚性梁结构力学龙驭球第八章渐近法3）基本作法（1）计算柱的侧移刚度系数（2）计算剪力分配系数和同层各柱剪力（3）计算柱端弯矩（4）计算梁端弯矩（5）绘制弯矩图结构力学龙驭球第八章渐近法图示结构弯矩正确的一组为（）。

结构力学龙驭球第八章渐近法图示结构用力矩分配法计算时，分配系数

为：A.1/4; B.12/21;C.1/2; D.6/11。结构力学龙驭球第八章渐近法结构及荷载如图

所示，当结点不平衡力矩（约束力矩）为0.125ql2

时,其荷载应是：。

结构力学龙驭球第八章渐近法§8-8超静定力的影响线（机动法）FP=1x

Z1

Z1FP=1x

Z1=1δ11δP1δ11Z1+δ1P=0Z1=－δP1/δ11FP=1xδ1PZ1(x)

=－δP1(x)

/δ11Z1=－δ1P/δ11δ1P=δP1结构力学龙驭球第八章渐近法FP=1x

Z1

Z1=1δ11δP11、撤去与所求约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图δP1

图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。3、将δP1

图除以常数δ11

，便确定了影响线的竖标。静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图，因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图，因而是曲线。结构力学龙驭球第八章渐近法FP=1xABCDEFMCδ11MC.I.LABCDEFMKδ11MK.I.LKFP=1xABCDEFABCDEFRCδ11RC.I.LABCDEFFQC右.I.L结构力学龙驭球第八章渐近法超静定梁的影响线绘制（机动法）Z1(x)

=－δP1(x)

/δ11先绘制支座弯矩的影响线：如MBFP=1EABCDFP=1EABCDMB=1δ11δP12、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图δP1图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。1、撤去与所求约束力Z1相应的约束。3、将δP1图除以常数δ11，便确定了影响线的竖标。结构力学龙驭球第八章渐近法EABCDMBMAMCMB(=1)FP=1EABCDMBδ11δP1EABCD11EABCDFP=1xl－x杆端弯矩使梁下侧受拉为正。结构力学龙驭球第八章渐近法例题求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。6m6m6mABCD10.50.25AB：BC：x1FP=1x2FP=1x2FP=1CD：MB=1结构力学龙驭球第八章渐近法ABCD-0.123m-0.346m-0.389m-0.497m-0.520m-0.281m0.151m0.175m0.108m

利用已作出的弯矩影响线，即可按叠加法求得连续梁上任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。AB：BC：CD：弯矩影响线结构力学龙驭球第八章渐近法FP=1xABCDEFMK.I.LRC.I.LKMC.I.L↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓MKmaxMCmin↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓