2021高中数学人教A版选修1-1（第三章导数及其应用）章节练习试题（含详细解析）

2021年09月30日试卷

一、单选题（共25题；共。分）

1、（0分）函数/（x）的图象在点久=5处的切线方程是y=-X+8,则/（5）+/'（5）等于

（）

A.1B.2C.0D.3

2、（0分）过点且与曲线y=/+1相切的直线方程是（）

A.27x-4y-23=0B.23x-3y-12=0或y=3

C.5%—17y+9=0D.27x-4y—23=0或y=l

3、(0分)函数y=—的导数是(

1-X

.cosx+sinx+xsinxDcosx-sinx+xsinx

A-B--(1=^-

ccosx-sinx+xsinxncosx-vsinx-xsinx

*~百分一

x

4、（0分）曲线y=e5在点（4,e?）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A-2

,2eB.4e2C.2e2D.e2

5、（0分）设aeR,函数/'（x）=eX+aeT的导函数是f（x）,且f'（x）是奇函数，若

曲线y=/（x）的一条切线的斜率是|,则切点的横坐标为（）

A——D—

2B.-In2C.In22

6、（0分）已知函数/'（x）=£+3（1x2+2bx+c的两个极值分别为/（Xi）和/（X2）,若%］和外分别在

区间（—2,0）与（0,2）内，则三的取值范围为（）

A.(-2,|)B.[-2,自

27

C.(-8,-2)ug+8)D.(-00,-2]U[-,+<»)

7、（0分）对于三次函数f（x）=a/+bM+ex+d（a,0）,给出定义：设尸（工）是函数y=/（%）

的导数，尸（x）是尸（x）的导数，若方程尸（%）=0有实数解沏，则称点（沏,/（%。））为函数y=/（x）

的''拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对

称中心，且"拐点"就是对称中心.设函数g（x）=—|x2+3x—%则9（蓝而）+g（喘N—

.,2018、/\

+g(痂)=()

A.2016B.2017C.2018D.2019

8、(0分)定义在(0弓)上的函数f(x),/是它的导函数，且恒有f(x)<f'(x)tanx成立，则

()

A-舟⑸</©)B./(I)<2f《)sinl

C-W)>%)D.何©)>加©)

9、(0分)设函数/'(x)=Inx+^x2-bx,若x=1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围

是()

A.(—8,1)B.(一8,1]C.(-00,0)D.(-oo,0]

10、(0分)已知函数”乃的导函数为f(x),且满足f(x)=2%广(e)+hu,则f(e)=

()

A.e

B.&

C.-1D.-e

n、(0分)已知f(x)=%3一Q%2+4%有两个极值点X1,x2>且f(x)在区间(0,1)上有极

大值，无极小值，则实数a的取值范围是()

77-77

A.Q>—B.QN—C.Q<—D.QW—

2222

12、(0分)设函数y=f(%)/WR的导函数为r(x),且/(-X)=/(%),f(x)</(x),

则下列成立的是()

21

A.〃0)<e】f⑴<e2f(2)B.ef(2)<f(0)<ef(l)

C.e2f(2)<e7■⑴<f(0)D.e7(l)<f(0)<e2/(2)

13、(0分)已知函数y=f(x)的定义域为R,满足。一2)尸(%)>0且函数y=f(x+2)为偶函

数，a=y(2),b=/aog().23),c=/(2后)，则实数a,b,c的大小关系是()

A.a>B>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

14、(0分)设函数F(x)=詈是定义在R上邯函数，其中/(x)的导函数(Q)满足/'(%)<

f(x)对于为6R恒成立，则()

A./(2)>e2/(0),/(2012)>e2012/(0)B./(2)<e2f(0),f(2012)>e2012f(0)

C./(2)<e2f(0),f(2012)<e2012f(0)D./(2)>e2/(0),/(2012)<e2012/(0)

15、(0分)已知定义域为R的函数满足f(4)=-3,且对任意xeR总有/z(x)<

3,则不等式/。)<3%-15的解集为(

A.(—8,4)B.(—8,—4)

C.(—8,-4)U(4,+8)D.(4,4-co)

16、（0分）已知何碱=一年整姆四，若=贝ija的值等于（）

A.詈B.£

c.至D.y

17、（0分）已知鳏礴=『*W'Tfll，则，句喷等于（）

A-3.#篇B.

C.In2D.警

18、（0分）函数c=&在a=l处的导数是（）

A.0B.1C.b2=c2-a2=lD.x2-y2=1

19、（0分）已知函数f（x）=6-x3,g（x）=ex—l,则这两个函数的导函数分别为（）

A.f'f<x）=6—3x2,g\x>）=exB.f'（x）=-Sx2^^%）=ex-1

C./'（%）==e*D.=6—3x2,gf（x）=ex-1

20、（0分）函数y=x?在x。到x°+△x之间的平均变化率为ki,在x。一△x到x。之间的平

均变化率为k2，则k|与kz的大小关系为（）

A.k\>kzB.k\<kzC.k、=kzD不确定

21>（0分）函数/（x）=等，则（）

A.%=e为函数f（%）的极大值点

B.x=e为函数/（%）的极小值点

c.x=｝为函数以乃的极大值点

D.%=｝为函数/（x）的极小值点

22、(0分)已知函数f(x)=x2—ax的图像在点A(l,f(l))处的切线1与直线x+3y+2=0

垂直，若数列｛肃｝的前n项和为S“，则S2013的值为()

.2010r2012n2013

A.——B-翳L.--------D.------

201120132014

23、(0分)设函数/(%)=ex(^sinx-cosx)(0<x<2012n),则函数f(x)的各极小值之和

为()

e2n(1一/012与2n1006n

A.B.e(l-e)

l-e2nl-en

2n1006n21l2010K

C.e(l-e)D.e(l-e)

l-e2nl-e2n

24、(0分)已知函数/(%)=ax3+bx2+ex+d在0,A点处取到极值，其中0是坐标原点，

A在曲线y=/s欣+%cosx,xE片与]上，则曲线y=f(%)的切线的斜率的最大值是

()

3713V3n।33南_3

A.Bc.-----------r-D.

4-14-----444

25、(0分)已知函数f(x)=>+m/+(：+")x+l的两个极值点分别为4/2，且6(0,1),

%2G(1,+00)，点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数y=+4)(a>1)的图像上存在

区域D内的点，则实数a的取值范围是()

A.(1,3]B.(1,3)C.(3,+00)D.[3,+8)

二、填空题(共10题；共0分)

26、(0分)设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1).27、(0

分)y=三三的导数为

28>(0分)已知圆C：%2+(y-1)2=72与曲线y=sinx有唯一的公共点，且公共点的横坐标为

a,若2sin2a-4cosa=4•a,贝!]4=.

29、(0分)函数y=f(x)图象上不同两点4(右,丫1),8(町,为)处的切线的斜率分别是心，心，规

定9(48)=幅件叫做曲线y=/(x)在点4、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=e，+x上不同

两点4(%1，%)，8(%2/2)，且匕一工2=1,则9(48)的取值范围是.

30、(0分)垂直于直线2x-6y+l=0并且与曲线y=x，3x?-5相切的直线方程是

_31、(0分)函数f(x)=x2+mx+l是R上的单调函数，则m的取值范围

为________________

32、(0分)函数/(%)=+l,(aeR),若满足也也迎=2,贝ij

a=.

33、(0分)曲线f(x)=1+2x在x=1处的切线方程为.

34、(0分)yu-x'-x在(4,1)处的导数为_。

35、(0分)设曲线y=ax?在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a的值

是.

三、解答题(共5题；共。分)

36、(0分)已知函数/(%)=a(x—I)2+lnx,aGR.

(1)当(1=-*时，求函数y=/(x)的单调区间与极值：

(2)当a=-l时，令g(x)=f(x)+bix-2x+1+m,若g(x)在［：,e］上有两个零点，求实数m

的取值范围；

(3)当xe［l,+8)时，函数y=f(x)+/—2%+1的图像上所有点都在不等式组｛:所

表示的平面区域内，求实数a的取值范围.

37、(0分)已知函数/'(x)=atec+-(aeR).

(1)当a=-4时，求函数/'(x)在［l,e］上的最大值及相应的x值；

(2)当xe(l,e)时，20恒成立，求实数a的取值范围.

38、(0分)已知函数f(x)=alnx-x+三，其中a>0

X

(.I)若f(x)在(2,+8)上存在极值点，求a的取值范围；

(II)设x)£(0,1),x2G(1,+8),若f(x2)-f(xi)存在最大值，记为M

(a).则aWe+-e时，M(a)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说

明理由.

39、(0分)(本小题满分15分)已知二次函数巽礴:=：蛔产-既由吸f学吸.

(1)当碱=T时，求不等式,频域Y领的解集;

(2)若不等式舞嗡西顿对常在鲍J减恒成立，求阑的取值范围.

40、(0分)已知函数f(x)=xlnx.

(I)设函数g(x)=善，求g(x)的单调区间；

(II)若方程f(x)=t有两个不相等的实数根XJ,X，求证：Xl+x>-.

22e

四、计算题(共2题；共0分)

41、(0分)已知a为实数，/(x)=(x2-4)(x-a)求导数/(无)；42、(0分)设L为曲线

C：y=占在点(1,0)处的切线.求L的方程；

试卷答案

1.【答案】B

【解析】【解答】据切点处的导数值为切线的斜率，故f'(5)为切线斜率，又由切线方

程是y=-x+8,即斜率为-1,故(5)=-1；又f(5)为切点纵坐标，据切点坐标与斜率

可求得答案【解答】因f(5)=-5+8=3,f'(5)=-1,故f(5)+f'(5)=2.故选项为B

2.【答案】D

【解析】【解答】设切点为(x°,yo).则yo=x03+i,由于直线1经过点(1,

1),可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立

关于X。的方程.从而可求方程.,:寸=3xy'|x=xo=3xo>则可知y-(x

o3+l)=3xo2(x-xo)2xo_xo_l=O,xo=l,xo=-#62cb73e8-0ae3-46b2-838d-

a366757cadcc#.•.过点A(1,1)与曲线C：y=x相切的直线方程为27x4y=23三。明

选D.

此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直

线的方程，是一道综合题.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因为y=受，

所以,(cosx),(1-X)-COSX*(1-X)

y=(1-X)2

=(-sinx)"(1-x)+cosx=cosx-sinx+xsinx.

(1-x)2(1-x)2

故选B.

题目给出的是分式函数的导数，运用商的导数的运算法则直接运算.

4.【答案】I)

所以，T

【解析】【解答】因为,切线的斜率为切线

方程为，?=豆内窗一行

纵、横截距分别为一g,2,切线与坐标轴所围三角形的

面积为用，选D。

5.【答案】C

【解析】【解答】函数函数是01是奇函数，所以

孤⑥)运噜石*

是偶函数，a=l.BP由切线的斜率为函数在切点的导数

值，所以3镇‘=2,x=ln2,故选Co

2

6.【答案】C

【解析】•.,/'(%)=/+Q%+2b•・・((-2)=4-2a+2b>0/(2)=4+2a+2b>0/(0)=2b<

ci-b—2Vo

0,即可行域为｛b<0,表示一个三角形ABC内部(不包含边界)，其中

Q+b+2>0

4(2,0),B(-2,0),C(0,-2),而詈表示可行域内的点P到定点C(l,2)连线的斜率，其取值范围

为(-co,kDA)U(kDB,+oo)=(-co,-2)U(|,+oo),选C.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还

是虚线，其次确定目标函数的儿何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜

率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

7.【答案】C

【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即/(x)+/(l-x)=2,

利用倒序相加法即可得到结论.

详解：函数g(x)=扣3一12+3%一卷,

函数的导数=%2-%+3,g'(%)=2%-1,

由g'(&)—。得2%0-1=0,

解得而=L

故函数g(x)关于点91)对称，

•••g(x)+g(i-％)=2,

故设g(短)+g(E)+•••+g(翳)=m，

则g(黑)+。(熬)+…+。岛)=如

两式相加得2x2018=2m,则m=2018,故选C.

点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的

对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.

8.【答案】A

【解析】分析：把给出的等式变形得到f'(x)s讥x-f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数

g(x)=^，由其导函数的符号得到其在(0弓)上为增函数，则g(5)<gG)，整理就得到答案.

详解：因为不€(0(),所以sin%>0,cosx>0.

由f(%)</'(x)tanx,得f(x)sinx-/(x)cosx>0.

令g(x)=3,(阳0,9),则g，(x)=四吟警丝>0,

°stnx、2，0z(sinx)2

所以函数g(x)在(0,今上为增函数，

贝嫄<g⑨即瞿〈翼，所以学<整，

6322

即故答案为A.

点睛：本题主要考查导数的运算、函数的单调性以及构造新函数等基础知识，综合性强.

意在考查学生的运算求解能力、构造函数解决问题的能力，难度一般.

9.【答案】A

【解析】分析：/Q)的定义域为(0,4-00),f(x)=1+ax-b,由/''(1)=0,得力=。+

1.所以/'(x)=比半3能求出a的取值范围.

详解：f(x)的定义域为(0,+8),f(%)=^+ax-b,由/(1)=0,得b=a+l.

所以1(%)=g：xT).

①若a=0,当0cx<1时，f(x)>0,此时/'(%)单调递增；

当x>l时，f(x)<0,此时f(x)单调递减.所以x=1是函数/(%)的极大值点.

满足题意，所以a=0成立.

②若a>0,由/'(x)=0,得x=l.x=：,当；>1时，即a<l,此时

当0cxe1时，f(x)>0,此时f(x)单调递增；

当x>l时，f(x)<0,此时/(x)单调递减.所以x=1是函数f(x)的极大值点.

满足题意，所以a<l成立..

如果a>l,x=l函数取得极小值，不成立；

②若a<0,由((x)=0，得x=1.x=^.

因为％=1是f(x)的极大值点，成立；

综合①②：a的取值范围是a<l.

故选：A.

点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注

意合理地进行等价转化.

10.【答案】B

【解析】

首先对等式两边求导得到关于f(e)的等式解之.

1

由关系式f(x)=2xf'(e)+lnx,两边求导得「(x)=2f，(x)+x,令x=e得f

i

(e)=2f(e)+

i

所以r(e)=-；；

故选：B.

【点睛】

本题考查了求导公式的运用，关键是对已知等式两边求导，得到关于r(X)的等式，对

x取e求值.

11.【答案】A

【解析】【解答】f'(x)=3x2-2ax+4,；f(x)在区间(0,1)上有极大值，无极小

值，

vy

...［叩J<电，即3-2a+4V0,解得

故选Ao

中档题，利用导数研究函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。

12.【答案】D

【解析】【解答】设臣⑶二尸f(淳

蛾:礴=-短每跳护却燃=蒯，所以g(X)为减函数。

=f(l>2/(2)=«7<=2>-飘啰

2)>g(0)>g(l)，故选Do

13.【答案】B

【解析】【解答】因为，函数承=竟礴的定义域为成，满足鳏-独躅球;:滔叫所以，

R-2>。即卜三(2；+©时,|/'(x)>0,函数承=£电璃是增函数：又函数，般=.2甄%:*瀚为

偶函数，所以，其图象关于直线R7T对称，即在区间|(-x:2),函数为减函数.

由于|/(2^)=/(4-2^),|4-2^<log:3<2,所以，|/(4-2^)>/(log：3)>/(2),

即南熟题睁娥，选屏

应用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性.

14.【答案】C

‘.J(x)

【解析】【解答】函数______的导数为

，笑黜'-负:枷'一建磁-的侬

故函数是定义在R上的减函

数，即故有同理可得

F(MS)〈曲距唠⑥i).故选C.

15.【答案】D

【解析】【解答】设纲词=.施礴-鲜&-1卷=施域-寞田返，则

,盘礴=的减-售.EMM窜曰展总有耨*圈，二.科筑=施减-如:财，

v/w=-s

二尹(4〕三户〔4》一3乂411」U¥%一15二尹00岸夕〔期一3K十15七。：,其累4

D.

16.【答案】B

。_»

【解析】由题意知贲¥礴=豳F小磁:，所以消卜购=瞬-儡=4,解得侬,二9.

考点：导函数的应用.

17.【答案】B

【解析】由题意得/j河=/带的理取所以/*斜=T琴我，所以寅朝匚-%

所以/*'卿=6罂绦fV=』一室.故选B.

考点：函数的导数.

18.【答案】C

【解析】因为/(x)=2x,；./'(x)=/n2x2x/(0)=m2x2°=/n2,故选C.

19.【答案】C

【解析】由导函数的运算法则可得若函数/(%)=6-/,。⑺=1-1,

则这两个函数的导函数分别为f'(%)=-3%2,g，(x)=ex.

本题选择c选项.

20.【答案】D

【解析】由题意结合函数的解析式有:

f(Xo+d;v)-f(%o)(Ao+d%)2一(%0)2

—2%Q+Ax»

自=AxAx

/(00)/(久0」幻_(%0)2一(%0一力％)2

2x—Ax,

AxAx0

则k-i-k2=4dx,因为Ax可大于零也可小于零，所以*与kz的大小不确定.

本题选择D选项.

21.【答案】A

【解析】/'(x)=审，故当0cx<e时函数单调递增，当x>e时，函数单调递减，故x=e

为函数的极大值点.

22.【答案】D

【解析】【解答】由函数,翼磁=4-蛔;的导数可得,消修=轴-密，又因为图像在点

A(l,f(1))处的切线1与直线x十3y+2=0垂直.所以解得渤i=—51-

工_131

所以舞减=或#案=域>，喝飘所以数列｛看｝的通项公式为西田一京一嬴工所以前2013

项和为

23.【答案】D

【解析】【解答】/:(x)=6旃其一口嚣%)十］(域观x-cogx):有2金虻或其令

典域a8,则IK€｛笈*及冤a福瞋嬴)令黑礴冷顿，则

%箝(2用+2面霭:3霍+2面笈)|“2年"反得啊¥电场取极小值，其极小值为

翼翔#醯母=即锚便喧飙升源砥-域碱裨朴额喊I=爱*癌*斛-1：=一再除通

跳胤1--期唯

蓼=4一秒—

所以函数,真。磁的各极小值之和故选D.

24.【答案】A

【解析】【解答】根据题意由函数,舞蝴=翻？朴巅£仙溪*感，\f(0)=0=/台©则

/(力言3圆屋!-2&芯十◎:/?(C')三/'(p)台。w君=0.二户工”命少加£又有

二,"俨1蹴=黑感?-微髀；，又

=喊端W浑#锻触渗＞■浑•而福磁嗓:升礴，其中

0年一闾七六］够度取二招鲫9

鲜施黜4,则有

*］|457

般色管喋?量中心濯*叱啤蜘gm，所以翼礴分别在窜=叱=罩处取

得极小值和极大值，则诵F%耻冲顾，

故选A

25.【答案】B

MV秘■痴...

【解析】【解答】苏皿"=媪*帼;+〒=冽的两根为

且用支(o3D

［了踊心嘎

故有‘L律娜*心；

即作出区域D,如图阴影部分,

可得帆望飙:虱11<«<3故选B.

26.【答案】20

【解析】【解答】解：函数的导数f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)

则f'(1)——20(-1)9=20,

故答案为：20.

根据函数的导数公式进行计算即可.

27.【答案】

(l+exy

一，，，x

【解析】【解答】解：y'=(三)(1e)(l+e*)-(l-e*)(l+e")_-2e故答案为:

1+e”~(l+ex)2—(l+ex)2

-2ex

(1+吟2.

又要导数运算法则进行求导即可.

28.【答案】一4

【解析】由题，圆C：/+(y—1产=产与曲线y=smx有唯一的公共点得到这两条曲线相切，

则对两条曲线求导得2x+2y，(y-1)=0,y，=cosx,由此可得a=(1—sina)cosa,则

由2sin2a—4cosa=A-a可得4=2sin2a-4cosa___4sinacosa-4cosa_4cosa(sina-l)—4

a(l-sina)cosa(l-sina)cosa

故答案为—4

29.【答案】，号]

【解析】因为y'=e*+1,所以心=?必+1,心=e"2+1,由题意可得®-心1=|e”】一e*2],

22

\AB\=J(X\-x2)+-e*2+与-x2)»又因为与一&=1，所以+(e^i-ex?+1)2,

故(o(AB)=1矽一跖1=|gX1-gX21______X1X2X1X2

(>0,令刃=\e—e\=e—e,则(p(A,5)=

故火4")一|明2-J1+—―1)2)2U2+2U+2

1因为a+；Z2四,所以以4B)=+<嬴=亨，应填答案(0,年］。

U+-+2UU+-+22V2+222

u

点睛：解答本题的关键是如何理解“曲线y=f(x)在点4、B之间的“平方弯曲度””这一

新概念的新信息，然后依据此概念建立了目标函数9(4B)=犒科2=；7”‘妥1、二，再通

丁''\AB\(Jl+(e"i-eX2+i)2)2

过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解。旨

在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创新意识与分析问题解决问题的创新能力。

30.【答案】3x+y+6=0

【解析】【解答】解：设切点为P(a,b),函数y=x3+3X2-5的导数为y'=3x2+6x

(J

切线的斜率k=y'Ix=a=3a'+6a=-3,得a=-1,代入到y=x+3x-5,

得b=-3,即P(-l,-3),y+3=-3(x+1),3x+y+6=0.

故答案为：3x+y+6=0.

欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P(a,b),先利用导数求出在切点处

的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a,b值.从而问

题解决.

31.【答案】

【解析】【解答】解：若函数y=x，x2+mx+l是R上的单调函数，

只需y'=3x~+2x+mN0恒成立，

BPA=4-12m<0,

二而2-.

3

故m的取值范围为［；,+8).

故答案为：［3,+8).

对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可.

32.【答案】2

【解析】分析：由导数的概念可得，小)=*产甯&=2,即可得到所求.

详解：f'(x)=alnx+a,

••・八1)=加1+。=。=杷产嘤也=2,即a=2.

故答案为：2.

点睛：本题考查曲线在某处切线斜率的意义，运用导数的概念判断尸⑴=您『8黑-’⑴

是解题的关键.

33.【答案】x-y+2=0

【解析】分析：求出导数得出切线斜率后可得切线方程.

详解：/'(x)——5+2,/'(I)=—1+2=1,又/"(1.)=1+2=3,所以切线方程为y—3=x—

1,即x—y+2=0.

故答案为x-y+2=0.

点睛：本题考查导数的几何意义.可导函数y=/(x)在点(无o,f(xo))的切线方程为y-/Qo)=

f(xo)(x-xo)-

34.【答案】一49

【解析】主要考查导数的概念。

解：/'(4)=Um-(45户(4+"*)卜(-4'-4)=[-3x42-3x44x-(Ax')2]--49.

Ax->0Ax->0

35.【答案】1

【解析】切线的斜率就是函数在x=l处的导数，据此可求a./=2ax,当x=l,y'=2a,

又切线的斜率为2,故a=l,填1.

曲线y=/(x)在点(xoJOo))处的切线方程是：y=-％0)+f(xo),另外注意曲线在某点

处的切线与过某点处的切线的区别.

36.【答案】(1)详见解析；(2)(1,2+^];(3)a<-l.

【解析】试题分析：(1)代入数据，求导，利用导函数的符号变换确定函数的单调性和

极值；(2)代入数据，求导，利用导函数的符号变换确定函数的单调性和极值，再利用

极值的符号确定函数的零点；(3)合理构造函数，将不等式恒成立问题转为求函数最值

问题，再利用导数求函数的最值.

试题解析：(1)a=-2,/(x)=—工(x—1)2+Inx,(x>0)f'(x)=--%+-+-=+x+b=

12八'12、'、'66X6x

生辿±父，当0<x<3时，/(x)在(0,3)单调递增；当x〉3时，/,(x)<0,/(x)在

(3,+8)单调递减；所以函数的单调递增区间是(0,3),单调递减区间是(3,+00),所以函

数的极大值是f(3)=ln3-$无极小值.

2

(2)当a=-1时，g(x)=21nx—x+m,则g'(%)=^—2%=二2(£：)(士D.・.・％e**,当

g'3=0时，％=1.当1时，g'(x)>0：当1vx<e时，g'(%)<0.故g(x)在%=1处取得

极大值g⑴=m-1.又gg)=m-2-2，g(e)=m+2-e2,g(e)-gg)=4-e24-^<0,则

g⑻vg©，・・・g(x)在E，e]上的最小值是g(e).g(x)在已印上有两个零点的条件是

g⑴=m-1>0

9

{rS=m-2--<0解得1<加42+a.•・实数m的取值范围是(1,2+2],

e2一

(3)由题意得(Q+1)(%-I)2+Inx<x-1对xG[1,+oo)恒成立，设g(%)=/?(%-I)2+Inx-x+

1,xe[1,+«>),则9(X)maxS0，X€[l,+8),求导得g'Q)=23-(7+1)/1=(2bx-?(x-l),当人式。

时，若%>1,则所以g(x)在［1,+8)单调递减，g(x)max=g(l)=。，9(%)工0成立，

得6W0；当b对时，x=^<1,在［1,+8)单调递增，所以存在x>l,使。(乃想⑴二

0,则不成立；当0<b<:时,x=或>1,则/(x)

在［1,却上单调递减，取,+8)单调递增，则存在台岛,+8),有渥)=%-1)2+吟一/1=

-\nb+b-l>0,所以不成立，综上得bWO,即a〈-1.

点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数(作差、作商、转化

等)，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值.

37.【答案】(1)f(x)max=/(e)=e2-4(2)见解析

【解析】试题分析：(1)先求函数导数，并求导函数在定义域［l,e］上零点声，列表分析

导函数符号变化规律确定单调性(先减后增)，进而确定函数最大值(两个端点值中较大

值)(2)不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：Inx的最

丫2

大值，利用导数求函数g(x)=—-最大值，即得实数a的取值范围.

八,Inx

试题解析：⑴尸(x)合(x>0),当［1,囱时，尸(x)<0.当时，((x)>0,又/(e)一

2

f(1)=-4+62—1>0,故/(%)max=/(e)=e-4,当x=e时，取等号