2021江苏盐城南京高三数学模拟考试题含答案解析

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2021江苏盐城南京高三数学模拟考试题含答案解析

盐城市、南京市2021届高三年级第一次模拟考试

数学试题

（总分150分，考试时间120分钟）

注意・项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色蜃水签字笔填写在试卷及答题卡上.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，诲小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.若普为实数，其中i为虚数单位，则实数"的值为

A.2B.—jC.2D.—2

2.已知函数.\，=3（一炉一工+2）的定义域为集合M,函数.vusinx的值域为N,则MAN=

A.0B.（-2.1]C.（-1.1）D.（-1,1]

4.一次竟赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次.学生甲说：丁第一：学生乙说：我

不是第一：学生丙说：甲第一：学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.化简sin吗-a)—si/g+a)可得

O3

A.cos(2a4-j)B.—sin(2a+?)C.cos(2a-?)D.sin(2a—

高三数学试题第1页（共4页）

6.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得

下方的2x2列联表.则根据列联表可知

年轻人非年轻人总计

经常用流行用语12525150

不常用流行用语351550

总计16040200

A.有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

B.没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

C.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

D.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

参考公式：独立性检验统计量下=;■工又怨痣嗒7H?其中〃=。+力+。+乩

下面的临界值表供参考:_______________________________________________

尸（/次。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

X02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

7.设Fi，B分别为双曲线|一£=1（。>0,b>0）的左、右焦点，圆Fi与双曲线的渐近线相切，过

B与圆月相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角a的正切值

为

A.卷B.\{3C.D.1

8.已知点A,B,C,。在球O的表面上，A8_L平面BCD,BC1.CD,若AB=2,BC=4.AC与平面

ABD所成角的正弦值为芈，则球0表面上的动点P到平面ACO距离的最大值为

A.2B.3C.4D.5

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）

9.下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的有

A.（a+b）c=ac+bcB.（ab）c=a（bc）

C.a-b&IaI•IID.Ia-bIWIaI+IAI

10.下列选项中，关于x的不等式"+（。一】改一2>0有实数解的充分不必要条件的有

A.a=0B.启一3+2近

C.a>0D.aW-3-20

11.己知函数Ar）=log2（l+4'）-x,则下列说法正确的是

A.函数/U）是偶函数B.函数人x）是奇函数

C.函数儿0在（-8,0］上为增函数D.函数兀0的值域为［1,+oo）

12.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如

1221,15351等都是回文数.若正整数i与〃满足2这iWn旦〃24,在［10「，10—1］上任取一

个正整数取得回文数的概率记为P,,在［10,1）-1］上任取一个正整数取得回文数的概率记为

。“，则

高三数学试题第2页（共4页）

1n

A.P,VP,+i（2近iW〃-1）B.Q<--EA

nn—h=2

C.。”>昌，/D.苫RV1

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若函数儿O=sin（2x+0）为偶函数，则°的一个值为.（写出一个即可）

14.（1+恒）m的展开式中有理项的个数为.

15.在平面直角坐标系X。、，中，设抛物线V=2p德与『=2pq在第•象限的交点为4,若OA的斜

率为2,则》=.

22

16.罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线G『+.5=1的性质.其形美观，

常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S___2（选填“>”、“<”、“=”），曲线

。上的动点到原点的距离的取值范围是______________.（第•空2分，第二空3分）

四、解答超（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

设正项数列力的前〃项和为S“，25'=。/+。”.

（1）求数列｛/｝的通项公式；

（2）求证：编n+“1-产彳1

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,A=8+3C.

（1）求sinC的取值范围：

（2）若c=6b,求sinC的值.

高三数学试题第3页（共4页）

19.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEEL平面CDFE.CD//EF,DF1£F,

EF=2CD=2.

（I）若DF=2,求二面角A-CE一尸的正弦值;

（2）若平面ACHL平面BCE,求QF的长.

20.（本小题满分12分）

某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一•次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次

参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100

人的得分为样本，统计得到样本平均数为71,方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活

动，得分Z服从正态分布N（71,81）.

（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？

（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，

均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽

奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10,11,99），若产生的两位数的数字相同，

则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖

活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？

参考数据：岩Z~N（p,a2）.则P（〃一。<2<〃+0）20.68.

21.（本小题满分12分），

设户为椭圆C：的右焦点，过点（2,0）的直线与椭圆。交于A,B两点.

（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线A尸的方程：

⑵设直线A凡8尸的斜率分别为心，及2伏2刃），求证：粉定值.

22.（本小题满分12分）

设函数/0=炉+「*+>1）.

（1）求证：_/U）有极值点：

（2）设/U）的极值点为刈,若对任意正整数。都有冲6（m，n）,其中

求〃一加的最小值.

高三数学试题第4页（共4页）

盐城市、南京市2021届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.B2.C3.D4.C5.B6.A7.C8.B

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9ACD10.AC11.AD12.BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.：+蛇，A&Z（写一个即可）14.3415.；16.<,[p1]

四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.（本小题满分10分）

解：（1）当〃=1时，由2SM=a“2+Q”，得m（m-]）=o.|分

因为正项数列，所以m>0,所以m=l.

因为当〃21时，2s产”十丽......................①

所以当〃22时，2S»-i=an-I2+A»-I»..............................②

①一②，得25n—2Si=a”2—。“_]2+5—a”],

即加aa-r+a“-a”」，3分

所以an+an-i=（an-^an-i）（an—aH..i）.

因为数列S”｝的各项均正，所以劣+q7>0.

所以当时，a«-!=1.

故数列｛为｝是公差为I的等差数列.

故数列｛/｝的通项公式为小=〃.5分

⑵因为加+工7=而5百=1+hi77分

J1L.1、/

------17)】一式1一_TT)＜；-10分

蛀工亡n〃+12n+\2

18.（本小题满分12分）

解：（1）由/=8+3。及4+8+。=心得28+4C=7t,

所以6=尸2。，所以公尹。2分

OV^+CVit,

OV/IVTI,

由0<B<n,得0<--2C<n,

0<C<n,2

O<C<JI,

得。VCV%故sine的取值范围为（。,5分

（2）若c=6b,由正弦定理有sinC=6sin从①

由(I)知8=：—2。，则sin8=sing-2C)=cos2c.②...........................................7分

由®®得KinC=cos2c=1-2sin2。，所以12sin2C+sinC—6=0»

6

解得sinC=|或sinC=—j,10分

又singO,圻所以sinC=；...............................................................................12分

19.(本小题满分12分)

解：方法一

（1）因为平面/18EF1平面。/石，平而力BEFC平面COFE=EF.DF*EF，。产平面。FE,

所以。尸1平面ABEF.2分

所以。尸1力尸，DF^FE.XAF1EF.

所以，以｛石，蔗，而｝为正交基底，建龙如图所示空间直角坐标系”一X户.

则网0,0,0),4(2,0,0),£(0>2,0).C(0.b2),

则滔=(2,-2,0),EC=(O,-1,2).

设平面力”的一个法向量为帆=(x,y,二)，

则“L滔，m±EC.

B

ni-EA=0»"-2y=0,

所以‘一即

l-j+2r=0,

in-EC=0,

不妨取二=I，x=y=2,

所以帆=(2,2,1).3分

又E=(2,0,0),FE=(0,2,0),FC=(0,1,2),

所以片］丘=0，E4-7T=O.

所以高_L蔗，7717c.又FECFC=F,

所以百二(2,0,0)为平面CE产的一个法向量............................4分

—>

―»mFA2

所以cosVin.FA>=二一=--

\m\\FA\3

所以二面角A-CE-F的正弦值为邛6分

(2)段。>=«/>0),则C(0,I,/).

EB=(2.0,0),EC=(0,-1./)♦E4=(2,0,0),爪=(0,1,/).

设平面底下的一个法向量为〃=(。，b,c),则〃_L百，nlEC.

〃而=0，

玄=0,

所以一即1―b+c，=0.

“•Ed=o,

不妨令c=l,则b=，，所以〃=(0,h1).8分

设平面/b的一个法向量为$=(p,q，吟,

—►—►(2p=0j

则由s_LEl，ilFC.得，+〃=o.

不妨取，=1,则4=一，，得$=(0,—h1).....................................................10分

因为平面NO」平面BCE,

所以才$=0,即一产+1=0.得1=1,

即£>广=|.....................12分

3

方法二

(1)因为平面/1BE/1平面CQ左，YffilABEFC\^CDFE=EF,DF^EF,。产平面CDFE,

所以。尸1平面/!跖凡所以DF±AF.

又因为gEF,。产平面CO产E,E产平面COPE,DFCEF=F.

所以平面CDFE........................................................................................2分

在平面CEF内过点产作产6，。£于6,连结4G,则4Gle£.

所以N/1GF为二面角/1一。七一户的平面角...............................，

在△(?£：/中，CE=CF=®EF=2,0---------

由5ACEF=^XEFXDF=|XCEXFG,得FG=空./；/\\

在中，AG3gFG?誓,三二

所以si山GF="=坐牍:一1.二_

所以二面角彳一3一尸的正弦值为坐...................................6分

(2)设平面力。印平面底尸=/.

因为四边形力屈尸为正方形，所以片户〃BE.又/IRz平面6CE,8Eu平面BCE,

所以/产〃平面8CE.

又/Fu平面NCR平面/C尸D平面5C£=/,所以彳户〃/.8分

因为/月平面CQ/下，。尸:平面CQPE,所以彳产1CF,所以CF11.

又平面/ICF1平面8CE,平面彳C7TI平面5C£=/,。产平面力CR

所以。口平面BCE.

又。6=平面6CE,所以。产13,所以。产+。炉=£产.10分

设QF=B>0),则。尸=^/??1,CE=y[pT\,所以(1+1)+(5+1)=22,

解得，=1,即。尸=1一................................................12分

20.(本小题满分12分)

解：(1)因得分Z-M7I.81),所以标准差b=9,所以优秀者得分Z2〃+o,

由P(〃一orVZV〃+o户068得，尸(Z2〃+o)巾16.

因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10x0.16=1.6(万人).4分

(2)方法一

设抽奖一次获得的话费为X元，

RiJP(X=40)=—=—,P(X=10)=—,..................................6分

901010

所以抽奖一次获得电话费的期望值为仇¥)=440+"10=13.8分

又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，

所以抽奖总次数为10+10x0.16=116万次，10分

因此，估计这次活动所需电话费为11.6x13=150.8万元.12分

方法二

设每位参加活动者获得的电话费为X元,则X的值为10,20,40.50.80.

且"(ggi⑹喘=儡，

?(^=20)=016x(—)2=-^-,

9010000

/>(X=40)=(1-0.l6)x^=i^,

P(X=50)=06(甥、(2K2=上迄，

909010000

P(X=80)=016x(—)2=-^-..........................................9分

9010000

所以£(X)=10X^-4-20X-^^-4-40X-^-4-50X-^-+80X—^-=1508.II分

10001000010001000010000

因此，估计这次活动所需电话费为10x15.08=150.8(万元).12分

21.(本小题满分12分)

解：(1)若8为椭圆的上顶点，则6(0,1).

又48过点(2,0),故宜线48：x+2y-2=0.

代入椭圆G《+炉=1，可得如2—卬+1=0,

5

解得yi=l，^2=1.................................................2分

即点冏；，从而直线力产：y=x-I................................4分

（2）设/（xi，川，8（X2，A），

方法一

设直线48：x=（y+2,代入椭圆方程可得：（2+户产+4少+2=0.

—4/0

所以"+力=^^，•......................................6分

11J1J

故ki4-A2=--+--=-7-4-...............................9分

xi-14—1（yi+1夕2+1

_2.~4;

=2蛆9+5+闻=27+2_7+2=0,

协+1）（也+1）（f+ixs+i）

又比，*2均不为0,故£=-1'即个为定值-1.12分

方法二

设直线.4&*=/+2,代入椭圆方程可得：（2+尸川+4夕+2=0.

—4/2

所以“+乂=;二，W=7T7•....................................6分

广十2:十2

所以工资即夕必=一"要，9分

112

所以色rR-l_H（X2-l）jKO^+l）一师m+yi_2__1

h,g（xi-1）tyiyz+yiyi+yi.

X2-12”

即空为定值一I...................................................12分

b

方法三

设直线48：x=ty+2,代入椭圆方程可得：（2+产炉+4）+2=0.

—4/2

所以/iy2=7T7，....................................6分

六十2广十2

所以£L±22=J_+l=-2,............................................9分

yiyiy!”

口一什

所以—1（X2-1）Ji（以+1）=中A+w=_丝

h,心（XL1）yi（fy\+1）ty\yi+y2-_L

X2-1y\

6

把工=-21一~1代入得去=-1.........................................12分

yijiki

方法四

设直线48：y=k（X-2）,代入椭圆的方程可得（1+2好M一8七+（8公-2）=0,

皿,_8A28r-2

则X'+XL用"纪k布、..…6分

所以h_xi—lH（X2-l）=（xi~~2XM-1）=XIM-2x2-xi+2

9分

kl-"（XI-I）（X2-2）（X|-1）XlX2-X2-2xi+2

因为Xg_X|_X2+2=.2+2=-4底~;,X2

--------XI.

1+2"1+”2I+2A2

4-

诋一（薪f）_,

代入或=富12分

--------

1+2K”1+”2沏

22.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得/（x）=eno-e-\所以/"（幻=。|（1M户+6-。>0,所以函数1（x）单调递增,

由/'（幻=0，得（aeNna=l,（ae>=J-.

Ina

因为所以J~>0,所以x=l0gllc...............................2分

InaIna

当xAlo&e-1"，fW>0,九0单调递增：WlxVlo&cj寸，/'（x）VO,4x）单调递减.

InaIna

因此，当一因丹7M函数危）有极值...................................4分

Ina

（2）方法一

由（1）知，函数<