梯形（练习）-2022-2023学年八年级数学下册同步沪教版详解

22.4梯形（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海·八年级专题练习）下列四边形中，两条对角线一定不相等的是【

】A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形【答案】D【分析】根据正方形、矩形、等腰梯形、直角梯形的性质，对各个选项分别进行分析即可得出结论．【详解】根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选：D．【点睛】本题考查了正方形、矩形、等腰梯形、直角梯形的性质，熟记相关性质是解题的关键．2．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形【答案】D【分析】根据等腰梯形的概念、菱形和平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是等腰梯形，例如矩形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2022春·上海·八年级专题练习）一组对边平行，且对角线相等的四边形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形【答案】D【分析】已知一组对边平行，则对这组对边是否相等进行分类讨论，分别判断其形状．【详解】解：分为两种情况：①当，且时，四边形是矩形；②当，且时，四边形是等腰梯形．故选：D．【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．4．（2022春·上海·八年级期末）如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】C【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．【详解】解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则2x+2x+x+3x=360°，解得x=45°．则2x=90°，3x=135°．∴这个四边形的形状是直角梯形．故选：C．【点睛】本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．（2022春·上海·八年级专题练习）下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形【答案】C【分析】根据平行四边形、菱形、矩形和等腰梯形的性质进行判断．【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项不符合题意；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项符合题意；D、等腰梯形的对角线相等，所以D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形的两条对角线相等．也考查了平行四边形、矩形、菱形的性质．6．（2022春·上海·八年级期末）下列命题中，假命题是（

）A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】B【分析】利用矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；D、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理，难度不大．7．（2022春·上海·八年级专题练习）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为(

)A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.8．（2022春·八年级单元测试）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的梯形才是等腰梯形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项错误；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确．故选D．9．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD【答案】D【详解】解：如图，A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；D、∵OB=OC，OA=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，在△AOB和△DOC中，OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，同理：∠OAB=∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴，∴四边形ABCD是梯形，∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选D【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的应用，解此题的关键是求出，题目的综合性较强，难度中等.10．（2022春·上海·八年级专题练习）小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是（）A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．无法确定【答案】D【分析】对角线相等的四边形有正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等．【详解】解：用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状可能是正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等，所以是无法确定．故选：D二、填空题11．（2022春·上海·八年级专题练习）如果一个梯形的中位线长为10，上底长为6，那么下底长为______．【答案】14【分析】根据梯形的中位线的长等于上底与下底的和的一半，即可求解．【详解】解：根据题意得：下底长为．故答案为：14【点睛】本题主要考查了梯形的中位线，熟练掌握梯形的中位线的长等于上底与下底的和的一半是解题的关键．12．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）等腰梯形的一个锐角等于，腰长为，下底为，则上底为_______．【答案】##【分析】先画出图形，再过上底一个点作腰的平行线，将等腰梯形拆分成一个等腰直角三角形和一个平行四边形，从而得解．【详解】根据题意作出如下等腰梯形，则有∠B=∠C=，，，ADBC，过点A作AECD交BC于E，∵AECD，∠B=∠C=∴∠B=∠AEB=，∴△ABE是等腰直角三角形，∴，∴．∵ADBC，AECD，∴四边形AECD是平行四边形，∴，即：上底为．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．13．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：在等腰梯形ABCD中，，AB＝DC，对角线AC⊥BD，梯形高为10厘米，那么它的中位线长为__厘米．【答案】10【分析】过点E作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，由平行四边形与等腰梯形的性质得出BD＝ED，就可以得出△BDE是等腰直角三角形，根据梯形的高就可以求出三角形的高，就可以求出底边，从而求出中位线的长．【详解】解：过点E作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，∴∠BOC＝∠BDE，∠DFB＝90°．∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE．∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AC＝BD．∴BD＝DE．∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．∵DF⊥BC，∴BE＝2DF．∵DF＝10cm，∴BE＝20cm，∴梯形的中位线的长等于BE＝10cm．故答案为：10【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，平行四边形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的中位线的性质和梯形的中位线的性质的运用，解答时根据等腰梯形的性质求解是关建．14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为___．【答案】9【分析】过点D作DEAC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC＝DE＝BD，∠BDE＝90°，根据等腰三角形性质推出BF＝DF＝EF＝BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．【详解】解：过点D作DEAC交BC的延长线于点E，∵ADBC（已知），∴ADCE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE＝2，AC＝DE，在等腰梯形ABCD中，AC＝DB，∴DB＝DE（等量代换），∵AC⊥BD，ACDE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF＝BE＝3，∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•DF＝（2+4）×3＝9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．15．（2022春·上海·八年级专题练习）梯形的面积为平方厘米，中位线长为厘米，则这个梯形的高为________厘米．【答案】3【分析】根据梯形的中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵梯形的中位线为4厘米，∴梯形的上底+下底=2×4=8（厘米），∴这个梯形的高==3（厘米），故答案为：3．【点睛】本题考查的是梯形的中位线定理、梯形的面积公式，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．16．（2022春·上海·八年级专题练习）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周长等于__________．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：，，，，，，，，，，即，，，，，梯形的周长，故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．17．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．【答案】【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是xcm，根据题意得：，解得：x=4，即该梯形的另一条底边的长是4cm．故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．18．（2022春·上海·八年级专题练习）梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为______．【答案】80【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】∵梯形的中位线长8，∴梯形的上底+下底=16，∴该梯形的面积=×16×10=80()，故答案为：80．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．三、解答题19．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图矩形的对角线相交于点，点，分别在，上，．求证：四边形是等腰梯形．【答案】见解析【分析】先利用矩形的性质和已知条件证明四边形是梯形，再通过证明推出，即可证明四边形是等腰梯形．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是梯形．∵四边形是矩形，∴四边形的对角线相等且互相平分，∴，∵，∴．∵，∴，．∴，∴，在和中，，∴．∴．∴四边形是等腰梯形．【点睛】本题考查等腰梯形的判定，通过证明三角形全等推出是解题的关键．20．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．求证：四边形BCDE是等腰梯形．【答案】证明见解析【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BE＝CD，根据三角形的内角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到结论．【详解】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BE＝CD，∴AE＝AD，∴∠AED＝（180°﹣∠A），∵∠ABC＝（180°﹣∠A），∴∠AED＝∠ABC，∴DE∥BC，∴四边形BCDE是等腰梯形．【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2022春·上海·八年级专题练习）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴BE=CF=3，∴，∵梯形面积，∴，∴BC=9，∴梯形的中位线=，∴这个等腰梯形的纵横比=，故选：C．．【点睛】此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】首先证明△ABC≌△BAD，可得∠ACB＝∠BDA，求出∠ADB＝90°，即可得到BD∥EF，进而判断①正确；根据三角形外角的性质求出∠AOD＝∠ABD+∠BAC，结合平行线的性质可判断②正确；求出OA＝OB＝OE，连接OF，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断③正确；根据三角形中位线的性质得到EF＝2OD＝2OC，然后利用线段的等量代换可判断④正确．【详解】解：①∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∵AB＝BA，AD＝BC，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠ACB＝∠BDA，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，∵EF⊥AD，∴∠EFD＝90°，∴∠ADB＝∠EFD，∴BD∥EF，故①正确；②∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴∠AOD＝∠ABD+∠BAC＝2∠BAC，∵BD∥EF，∴∠AEF＝∠AOD＝2∠BAC，故②正确；③∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OA＝OB，∵BE⊥AB，∴∠OBA+∠OBE＝90°，∠OAB+∠OEB＝90°，∵∠OAB＝∠OBA，∴∠OEB＝∠OBE，∴OB＝OE，∴OA＝OE，连接OF，∵∠AFE＝90°，∴OF＝AE＝OA，∵BD∥EF，∴∠ADO＝90°，即OD⊥AF，∴AD＝DF，故③正确；④∵梯形ABCD是等腰梯形，∴OC＝OD，∵OA＝OE，AD＝DF，∴OD是△AEF的中位线，∴EF＝2OD＝2OC，∴AC＝OA+OC＝OE+OC＝OC+CE+OC＝2OC+CE＝EF+CE，故④正确，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识．根据等腰梯形的性质得出角和边相等是解题的基础．3．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）下列命题中，是真命题的是（

）A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形【答案】C【分析】根据平行四边形，等腰梯形的判定，逐项判断即可．【详解】解：A．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；B．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意；C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意；D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，等腰梯形的判定．二、填空题4．（2022春·上海·八年级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10cm，DC＝13cm，BC＝15cm，则AB＝__cm．【答案】12【分析】过D作DE⊥BC于E，求出四边形ABED是矩形，根据矩形的性质求出AB＝DE，AD=BE=10cm，根据勾股定理求出DE即可．【详解】解：如图，作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝180°﹣∠A＝90°，即∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE，AB＝DE，∵AD＝10cm，DC＝13cm，∴BE＝10（cm），∵BC＝15cm，∴EC＝BC﹣BE＝5（cm），∵DC＝13cm，∴AB＝DE＝＝＝12（cm），故答案为：12．【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，能把直角梯形转化成矩形和直角三角形是解此题的关键．5．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）在梯形ABCD中，ADBC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是________．【答案】20或8或16【分析】分三种情况进行讨论，先根据勾股定理和线段的和差关系求出下底，再根据梯形的面积公式即可求解．【详解】解：过D点作DE⊥BC于E，∵AH是高，AH=4，∴DE=4，∵CD=5，∴，∵，∴，∵，∴HE=AD=3，如图①梯形ABCD的面积=（3+1+3+3）×4÷2=20；如图②梯形ABCD的面积=（3+1+3-3）×4÷2=8；如图③梯形ABCD的面积=（3+3+3-1）×4÷2=16．故梯形ABCD的面积是20或8或16．故答案为：20或8或16．【点睛】本题考查了梯形，关键是求出梯形的下底，注意分类思想的应用．6．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）在梯形中，//，，，，点E、F分别是边、的中点，则______．【答案】6【分析】过点E作EG∥AB，交BC于点G，EH∥CD，交BC于点H，根据平行四边形的判定得出四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE＝BG，DE＝CH，求出GH长和GF＝FH，再证出△GEH是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出EF即可．【详解】解：如图，过点E作EG∥AB，交BC于点G，EH∥CD，交BC于点H，∵AD∥BC，EG∥AB，EH∥CD，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，∴AE＝BG，DE＝CH，∵AD＝5，BC＝17，∴GH＝BC−（BG＋CH）＝BC−AD＝17−5＝12，∵E为AD中点，F为BC中点，∴AE＝DE，BF＝CF，∴GF＝FH，∵EG∥AB，EH∥CD，∴∠EGH＝∠B，∠EHG＝∠C，∵∠B＋∠C＝90°，∴∠EGH＋∠EHG＝90°，∴∠GEH＝180°−90°＝90°，∵GF＝FH，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了梯形，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的性质和判定等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．7．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、点B，点C的坐标为（2，0），点D在y轴上，联结A、B、C、D四点构成一个梯形，则点D的坐标为___．【答案】或【分析】画出图形，分两种情况：AB∥CD；BC∥AD，即可求得点D的坐标．【详解】在中，令y=0，得x=−3；令x=0，得y=2，即A(−3，0)，B(0，2)，如图所示，则OA=3，OB=2，∵C（2，0），∴OC=2=OB．当AB∥CD1时，设直线CD1解析式为，直线CD1过点C，则有，∴，即直线CD1的解析式为，上式中令x=0，，∴点D1的坐标为；当BC∥AD时，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠BCO=45°，∵BC∥AD，∴∠BCO=∠D2AO=45°，∵∠AOD2=90°，∴∠AD2O=∠D2AO=45°，∴OA=OD2=3，∴点D2的坐标为(0，−3)，综上，满足条件的点D的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题是一次函数的综合，考查了梯形的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，涉及分类讨论，结合题目正确画出图形，熟悉一次函数的图形与性质是解题的关键．8．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是________．【答案】【分析】在等腰梯形ABCD中，过点D作交BC的延长线于点E，证明四边形ADEC为平行四边形，推出，利用等腰梯形对角线相等得出，进而得出，利用，得出，从而得出是等腰直角三角形，可知．【详解】解：如图，四边形ABCD为等腰梯形，其中，，过点D作交BC的延长线于点E，∵，∴四边形ADEC为平行四边形，∴，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即一条对角线与底边的夹角是．故答案为：．【点睛】本题考查等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，熟记等腰梯形的对角线相等是解题的关键．9．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是______．【答案】64【分析】对角线互相垂直的四边形的面积可以用BD2=BE2求出其面积．【详解】解∶延长BC，过点D作于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，且对角线互相垂直梯形两底之和为16cm，∴AD+BC=16cm，AC⊥BD，AC=BD，∴∠BMC=90°，∵，，∴四边形ACED是平行四边形，∠BDE=∠BMC=90°，∴AC=DE，AD=CE，∴BE=AD+BC=20cm，∵∠BDE=∠BMC=90°，∴BD2+DE2=BE2=256，∴BD2=BE2=128，∴梯形的面积∶（cm2），故答案是∶64cm2．【点睛】考查了对角线互相垂直的四边形的面积计算，得出BD=DE是解题关键．10．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为_______．【答案】8【分析】过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．【详解】解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AD∥BC，∵DF∥AC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AC=DF，AD=CF，∴BD=DF，∵，∴DF⊥BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∵DE⊥BF，∴∴，即梯形的中位线是8cm，故答案为：8．【点睛】此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键．11．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在▱ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过__s时，EF＝AB．【答案】4或【分析】分两种情况：①四边形ABFE是平行四边形；②四边形ABFE是等腰梯形；根据长度之间的等量关系列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点B作BG⊥AD于G，∵AB＝2cm，∠A＝45°，BG⊥AD，∴BG＝AG＝2（cm），设经过ts时，EF＝AB，当四边形ABFE是平行四边形时，∴BF＝AE，∴t＝16﹣2t，∴t＝，当四边形ABFE是等腰梯形，∴t+2×2＝16﹣2t，∴t＝4，综上所述：经过4或s时，EF＝AB，故答案为4或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰梯形两腰相等的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质.12．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为______．【答案】【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决．【详解】解：延长DM交CB的延长线于点E，∵AD//CE，∴∠ADM=∠E，∵M是AB的中点，∴AM=BM，在△ADM与△BEM中，，∴△ADM≌△BEM（ASA），∴AD=BE．∵AD=2，BC=8，∴AD+BC=10，∴EB+BC=10，即CE=10，过A作AN⊥BC于N，DF⊥BC于F，则NF=AD=2，∵AB=CD，∴BN=CF=3，∴EF=7∵DM⊥CD，DF⊥BC，∴∴∴∴DF2=21，∴DF=，∴S梯形ABCD=S△DCE=．故答案为：．【点睛】本题考查的是梯形和解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积．13．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）已知直角梯形ABCD中，，，，，，则______．【答案】8或24##24或8【分析】分两种情况画图：①过点C作CE⊥AB于E，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得CD的长；②过点C作BE⊥CD于E，再根据勾股定理求出CE的长，进而可得CD的长．【详解】解：①如下图，过点C作CE⊥AB于E，得四边形DAEC为矩形，∴CE=AD=15，CD=AE，在Rt△ABE中，BC=17，根据勾股定理，得，，∴AE=AB-BE=16-8=8，∴CD=8；②如下图，过点C作BE⊥CD于E，得四边形ADEB为矩形，∴BE=AD=15，DE=AB=16，在Rt△CBE中，BC=17，根据勾股定理，得，∴CD=DE+CE=16+8=24，综上所述：CD的长为8或24，故答案为：8或24．【点睛】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用分类讨论思想画图解答．14．（2022春·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么________．【答案】或##或【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解．【详解】解：∠C存在两种情况：①当为锐角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，，，，，四边形是矩形，，，，∵，，∴，∴，∴；②当为钝角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，同理①可得，又∵，．∴综上，或，故答案为或．【点睛】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.15．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．【答案】8【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．【详解】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，∵，，∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，∵，∴，∵，∴DE=2，∵BM⊥CE，∴∠BMD=90°，∴四边形ABMD是矩形，∴DM=AB=4，∴EM=2+4=6，∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC，∵BM⊥CE，∴EC=2EM=12，∴CD=12-2=10，∴梯形ABCD的中位线为：，故答案为：8．【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题16．（2022春·上海·八年级期末）如图，在中，，是上一点，交于点，且，是上一点，，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)求证：．【答案】(1)四边形是等腰梯形；证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）结论：四边形是等腰梯形．首先证明四边形是梯形，再证明即可；（2）只要证明四边形是平行四边形即可．（1）解：结论：四边形是等腰梯形．理由：∵、是的两边，∴与不平行，即与不平行，∵，∴四边形是梯形，∵，∴，∴梯形是等腰梯形．（2）证明：∵梯形是等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识．解题的关键是掌握等腰梯形的判定方法，平行四边形的判定方法．17．（2022春·上海·八年级期末）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．求：(1)求∠A的度数；(2)当AD＝4时，求梯形ABCD的面积．【答案】(1)60°(2)【分析】（1）首先根据，求出的度数是多少；然后根据角平分线的性质，求出的度数是多少即可．（2）首先判断出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可．【详解】（1）解：，，平分，．（2）解：，，，，，梯形的高，平分，．，，．【点睛】此题考查梯形的问题，平行线的性质、角平分线，解题的关键是根据，求出的度数．18．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接EG，根据梯形的中位线定理得到EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，根据题意得到EG=BF，得到四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=GF，BE∥GF，进而证明AE=GF，根据平行四边形的判断定理证明结论；（2）根据矩形的性质得到OA=OG，得到∠OAG=∠OGA，根据平行线的性质得到∠DAG=∠OGA，根据角平分线的定义证明即可．【详解】解：证明：（1）连接EG交AF于点O，∵E、G分别是AB、CD的中点，∴EG是梯形ABCD的中位线，∴EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，∵BF=（AD+BC），∴EG=BF，∴四边形BEGF是平行四边形，∴BE=GF，BE∥GF，∵AE=BE，∴AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形；（2）∵四边形AEFG是矩形，∴OA=OG，∴∠OAG=∠OGA，∵AD∥EG，∴∠DAG=∠OGA，∴∠OAG=∠DAG，即AG平分∠FAD．【点睛】本题考查的是梯形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的性质，得到OA=OG解题的关键．19．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知，，m，m，求CD、EF的长．【答案】CD=0.58m，EF=0.66m【分析】根据梯形中位线的性质，求出EF=(AB+KL)，GH=(EF+KL)，CD=(EF+AB)，求出KL的值，即可得答案．【详解】解：∵AC=CE=EG=GK，AC+CE=AE，EG+GK=EK，∴AE=EK，同理，可得BF=FL，∴EF是梯形AKLB的中位线，∴EF//AB//KL，EF=(AB+KL)，同理，可得GH=(EF+KL)，CD=(EF+AB)，∵AB=0.5m，GH=0.74m，∴EF=(AB+KL)=（0.5+KL）=+KL，∵GH=(EF+KL)，∴0.74=×（+KL+KL），解得：KL=0.82，∴EF=(AB+KL)=×（0.5+0.82）=0.66（m），∴CD=(EF+AB)=×（0.66+0.5）=0.58（m），∴CD=0.58m，EF=0.66m．【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质，一元一次方程的解法，解题的关键是掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的