人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第36讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（含解析）

第11讲拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）一、知识点归纳在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题二、题型精讲题型01圆锥曲线中的定点问题【典例1】（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的不同两点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断直线SKIPIF1<0是否经过定点并说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0,理由见解析【详解】（1）由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）直线经过定点SKIPIF1<0,理由如下，

若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，则将直线方程代入椭圆方程消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0，不合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，显然过点SKIPIF1<0综上，直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0.椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0并且与直线SKIPIF1<0相切.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)斜率存在且不为0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于点SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.则直线SKIPIF1<0是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线恒过定点SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0；

（2）因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，由题意设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即SKIPIF1<0时，不论SKIPIF1<0为何值都符合SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则直线恒过定点SKIPIF1<0.

【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右顶点，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析，定点SKIPIF1<0．【详解】（1）根据题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，恒过定点SKIPIF1<0．【典例4】（2023春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0在第一象限上的一点，且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的标准方程；(2)已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且以SKIPIF1<0为直径的圆过点SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且以SKIPIF1<0为直径的圆过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0．

【变式1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C：SKIPIF1<0经过圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心，C的左焦点F到圆SKIPIF1<0上的点的距离的最小值为SKIPIF1<0．(1)求C的标准方程．(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与C相交于A，B两点，SKIPIF1<0与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线PQ过定点SKIPIF1<0．【详解】（1）圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程得SKIPIF1<0．设C的左焦点F的坐标为（－c，0），则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）直线PQ过定点SKIPIF1<0，理由如下．由（1）知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积为－1，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率存在且不为0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知点P为线段AB的中点，点Q为线段MN的中点．设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P的坐标为SKIPIF1<0．将点P坐标中的k换成SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，此时直线PQ的方程为SKIPIF1<0，恒过x轴上的点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线PQ过定点SKIPIF1<0．综上所述，直线PQ过定点SKIPIF1<0．【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的离心率为SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0到渐近线的距离等于SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程.(2)点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0【详解】（1）由题意，取渐近线SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0到该渐近线的距离SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0的方程联立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由韦达定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0（显然此时SKIPIF1<0），同理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率不存在，易知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0.综上，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.

【变式3】（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，SKIPIF1<0的三个顶点都在抛物线上，且SKIPIF1<0的重心为抛物线的焦点，若SKIPIF1<0所在直线l的方程为SKIPIF1<0．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足SKIPIF1<0．试说明动直线SKIPIF1<0是否过定点．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)过定点SKIPIF1<0【详解】（1）解：设抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）解：当动直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设动直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以动直线的方程为SKIPIF1<0，此时动直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.当动直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，显然SKIPIF1<0轴，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0也过定点SKIPIF1<0，综上可得，动直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.题型02圆锥曲线中的定值问题【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称，椭圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称，讨论：直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是定值，0【详解】（1）因为椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0.（2）直线SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由于直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0SKIPIF1<0故直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和为0.

【典例2】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一动点，定点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0恰有一个共点，且SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由双曲线的定义可知，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的双曲线，所以点SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．

（2）设直线斜率为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，所以SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0恰有一个公共点，所以直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.不直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.同理可求SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又渐近线方程为：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面积为定值，且定值为SKIPIF1<0.

【典例3】（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作射线SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0位于直线SKIPIF1<0的右侧）使得SKIPIF1<0，设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程.(2)设过点SKIPIF1<0的两条射线分别与曲线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，请判断直线SKIPIF1<0的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是，定值1；定点SKIPIF1<0.【详解】（1）设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，由此可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方程可得：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，根据韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，结合条件可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，结合直线SKIPIF1<0的方程可化简为：SKIPIF1<0，代入韦达定理可得SKIPIF1<0，通过分解因式可得SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率为定值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·湖南湘潭·高二校联考期末）已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程(2)设曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0.请判断SKIPIF1<0的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是，8【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0,

因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的垂直平分线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹即曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，设曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的面积是定值，理由如下：

由题意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率不为0，可设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点分别为SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0的面积是定值，为SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0为右焦点，过点SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作双曲线渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与双曲线相交于点SKIPIF1<0，求证点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）解：由双曲线SKIPIF1<0，可得焦点SKIPIF1<0，其中一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到渐近线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：由双曲线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，可设点SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0共线，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为定值.

【变式3】（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，过点F且斜率为SKIPIF1<0的直线与C交于A，B两点SKIPIF1<0（O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作两条斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知SKIPIF1<0，问：是否存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值?若存在，求SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.【详解】（1）抛物线C：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0.

（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.依题意，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值0.题型03圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)点M在定直线SKIPIF1<0上【详解】（1）设椭圆E的方程为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故椭圆E的方程为SKIPIF1<0．（2）依题可设直线l的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线AP的方程为SKIPIF1<0，直线BQ的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.故点M在定直线SKIPIF1<0上．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【详解】（1）由已知C：SKIPIF1<0，点A的坐标为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C：SKIPIF1<0.（2）设l的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.与双曲线方程联立得：SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②由①②得：SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，故存在定直线l：SKIPIF1<0满足条件.【典例3】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线SKIPIF1<0给出如下三个条件： ①焦点为SKIPIF1<0②准线为SKIPIF1<0③与直线SKIPIF1<0相交所得弦长为SKIPIF1<0．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0(2)已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中抛物线的阿基米德三角形，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0在弦SKIPIF1<0两端点处的两条切线的交点，若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，试判断点SKIPIF1<0是否在一条定直线上SKIPIF1<0如果是，求出定直线方程SKIPIF1<0如果不是，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上【详解】（1）SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，若选①，SKIPIF1<0抛物线方程为SKIPIF1<0，选②，由准线为SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0.选③，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以弦长为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆SKIPIF1<0左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为SKIPIF1<0，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线AD与直线BE的交点在定直线SKIPIF1<0上【详解】（1）设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0．联立椭圆方程，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直线AD的方程为SKIPIF1<0，直线BE的方程为SKIPIF1<0．联立得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴直线AD与直线BE的交点在定直线SKIPIF1<0上．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左支上不同于SKIPIF1<