广东省深圳市蛇口育才教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023-2024学年第一学期初二年级期中考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号和学校填写在答题卡上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）1.在下列实数中，无理数是（）A. B.π C.16 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．【详解】解：根据无理数的定义得：无理数是π，故选B．2.如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】更多免费优质滋元可家威杏MXSJ663【分析】根据点的坐标特征与象限的关系判断即可．【详解】∵第二象限的坐标符号特征为，∴符合题意，故选B．【点睛】本题考查了坐标特征与象限的关系，熟练掌握坐标的符号特征与象限的关系是解题的关键．3.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可．【详解】解：A、，本选项符合题意；B、，本选项不符合题意；C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.一定没有平方根 B.立方根等于它本身的数是，C.的平方根是 D.的算数平方根是【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一判断即可．【详解】A、当时，有平方根，故错误，不符合题意；B、立方根等于它本身的数为：，，，故错误，不符合题意；C、的平方根是，正确，符合题意；D、负数没有平方根，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查算术平方根，平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．5.若中、、的对边分别是a，b，c，下列条件不能说明是直角三角形的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．【详解】解：A．，，，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；B．，，是直角三角形，故本选项不符合题意；C．，，，，，是直角三角形，故本选项不符合题意；D．，，最大角，不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于是解此题的关键．6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得故选：A．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A.20dm B.25dm C.30dm D.35dm【答案】B【解析】【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故选B．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．8.一次函数与在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限，选项C符合；当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限，无符合条件选项；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，先将代入解得，再将代入即可求解，熟练掌握二元一次方程组的解及利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：将代入得：，解得：，，解得：，故选D．10.如图，在中，，点D在边上，点E在内部，且是等边三角形，，若，，则的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在的延长线上取点，使得，证，得，，设，则，，再由含角的直角三角形的性质得，则，解得，即可解决问题．【详解】解：在的延长线上取点，使得，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，设，则，，，，，，，解得：，，，，，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上．）11.式子有意义，则x的取值范围是__________．【答案】##【解析】【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．【详解】解：根据二次根式的意义，得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式的被开方数是非负数是关键．12.点，在一次函数的图象上，则______．（填“>”、“<”或“＝”）【答案】【解析】【分析】判断出一次函数的增减性即可得到答案．【详解】解：∵一次函数解析式为，，∴对于一次函数而言，y随x增大而增大，∵，在一次函数的图象上，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．13.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为__．【答案】2【解析】【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：※※，故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14.如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD﹣AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．【详解】解：由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣AF）2=AF2，解得：AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∴△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，ED=GE=3∵S△GAE=AG•GE=AE•AE边上的高∴AE边上的高=，∴S△GED=ED•AE边上的高=×3×=．故答案为．15.如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件三角形的三边长度，然后通过旋转发现，…,根据这个规律可得出点的坐标．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，…,（为偶数）∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转的性质和直角三角形的性质，通过给出条件找出题目规律便可求出结果．三、解答题（本大题有7题，其中16题12分，17题5分，18题7分，19题7分，20题8分，21题8分，22题8分，共55分）16.计算下列各题：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化、负整数指数幂及零次幂；（1）先根据负整数指数幂、零次幂、二次根式的化简及取绝对值，再利用二次根式的混合运算法则即可求解；（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（3）先乘方及乘法运算，再加减即可；熟练掌握其运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式．【小问2详解】原式．【小问3详解】原式．17.解方程组：【答案】【解析】【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】解：方程组整理得：，，可得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18.如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线．（1）画出关于直线的轴对称图形，并写出点，，的坐标．（2）的面积为（3）在内有一点，则点P关于直线的对称点R的坐标为（，）（结果用含m，n的式子表示）．【答案】（1）图见解析；，，（2）（3），【解析】【分析】本题考查了作图——轴对称图形、三角形面积、坐标与图形变化—轴对称：（1）关于直线的轴对称得，则点的坐标为，同理可得：，，依次连接即可求解；（2）利用割补法即可求解；（3）根据坐标与图形变化—轴对称的变换规律即可求解；熟练掌握坐标与图形变化—轴对称的变换规律及割补法求三角形面积是解题的关键．【小问1详解】解：关于直线的轴对称得，点的坐标为，同理可得：，，依次连接，如图所示，即为所求：小问2详解】，故答案为：．【小问3详解】点关于直线l的对称点R的坐标为：，故答案为：，．19.如图，在中，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．【答案】（1）直角三角形，见解析（2）3.5【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可；（2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可．【小问1详解】是直角三角形，理由如下：在中，，∵，∴，∴是直角三角形，【小问2详解】设，则．在中，∵，∴，解得，∴的长为．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．20.某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．（1）求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；（2）第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？【答案】（1）A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元（2）A品牌篮球打八折出售【解析】【分析】（1）设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案；（2）设A品牌篮球打折出售，分别算出A、B品牌篮球的利润，然后根据第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，列出方程，解出即可得出答案．【小问1详解】解：设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，根据题意，可得：，解得：，∴A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元；【小问2详解】解：设A品牌篮球打折出售，∴A品牌篮球的利润为：（元），B品牌篮球的利润为：（元），根据题意，可得：，解得：，∴A品牌篮球打八折出售．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，正确列出方程（组）．21.定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．【答案】[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由见解析；[性质探究]：，理由见解析；[问题解决]：【解析】【分析】[概念理解]：根据垂直平分线的判定定理证明即可；[性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；[问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【详解】解：[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下：，点在线段的垂直平分线上，，点在线段垂直平分线上，直线是线段的垂直平分线，，即四边形是垂美四边形；[性质探究]：．理由如下：如图2，已知四边形中，，垂足为，，，由勾