9.5带电粒子在电场中的偏转（讲）

第九章静电场第5讲带电粒子在电场中的偏转一带电粒子在匀强电场中的偏转带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动（1）沿初速度方向做匀速直线运动，t＝（如图）。（2）沿静电力方向做匀加速直线运动①加速度：a＝＝＝________________。②离开电场时的偏移量：y＝at2＝________。③离开电场时的偏转角：tanθ＝＝______。考点一带电粒子在匀强电场中的偏转1.两个重要结论（1）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。证明：在加速电场中有qU0＝mv02在偏转电场偏移量y＝at2＝··（）2偏转角θ，tanθ＝＝得：y＝，tanθ＝y、θ均与m、q无关。（2）粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半。2.功能关系当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。【例题】1.示波器的示意图如图所示，金属丝发射出来的电子（带电量为e）被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场。电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上。设加速电压U1=1640V，偏转极板长l=4cm，偏转板间距d=1cm，当电子加速后从两偏转板的正中央沿板平行方向进入偏转电场。（1）偏转电压为U2多大时，电子束打在荧光屏上偏转距离最大？（2）如果偏转板右端到荧光屏的距离L=20cm，则电子到达荧光屏时最大偏转距离y为多少？【答案】(1)205V；【解析】【详解】(1)设电子电量大小e，质量为m，进入偏转电场初速度v0，根据动能定理，有电子在偏转电场的飞行时间为电子在偏转电场的加速度为要使偏转距离最大，电子经偏转电场后必须沿下板边缘射出，电子在偏转电场中的侧移距离为，所以有联立解得代入数据解得U2=205V(2)电子离开偏转电场后的侧向位移为电子离开偏转电场的侧向速度为vy=at1在荧光屏上最大偏转距离为由以上各式解得最大偏转距离为y。【变式题】2.让氕核（）和氘核（）以相同的动能沿与电场垂直的方向从ab边进入矩形匀强电场（方向沿，边界为abcd，如图所示）。已知两种粒子均能从cd边离开偏转电场，不计粒子的重力，则（）A.两种粒子进入电场时的速度相同 B.两种粒子在电场中运动的加速度相同C.两种粒子离开电场时的动能相同 D.两种粒子离开电场时的速度方向不同【答案】C【解析】【详解】A．两种粒子的质量不同，进入电场时的动能相同，所以速度不同，故A错误；B．设电场强度为E、电荷质量为m、电荷量为q，两种粒子在电场中运动的加速度电场强度相同，电荷量相同，质量不同，所以加速度不同，故B错误；CD．设偏转电场的宽度bc为L，粒子的初动能为Ek，粒子离开电场时沿电场方向的速度为粒子离开电场时的速度方向与初速度夹角的正切为两种粒子离开电场时的速度方向相同，两种粒子离开电场时的动能两种粒子离开电场时的动能相同，故C正确，D错误。故选C。【例题2】3.示波管原理图如图甲所示。它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，产生一个亮斑如图乙所示。若板间电势差UXX′和UYY′随时间变化关系图像如丙、丁所示，则荧光屏上的图像可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】UXX′和UYY′均为正值，电场强度方向由X指向X′，Y指向Y′，电子带负电，电场力方向与电场强度方向相反，所以分别向X，Y方向偏转，可知A正确。【变式题】4.如图装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为，两对极板间偏转电压大小相等均为，电场方向相反。质量为m，电荷量为＋q的粒子无初速地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是（）A.粒子离开加速器时速度B.粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移C.与2L相等D只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开【答案】B【解析】详解】A．根据粒子离开加速器时速度为故A错误；B．粒子平移器电场中的偏转量为又，得故B正确；C．根据类平抛运动的特点和对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动的轨迹延长线分别过平行板中点，根据几何关系可知故C错误；D．由B选项可得由A选项可知当加速电压增大时，粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏转量变小，粒子可以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误。故选B。考点二带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转典例精析变式巩固【例题1】5.空间中存在场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场。一质量为m的带电小球从斜面顶端A水平抛出，落在斜面上的P点。现保持场强大小不变，方向改为竖直向上，小球仍从A点以相同的初速度水平抛出，落在斜面上的Q点。已知AQ的距离是AP距离的3倍，重力加速度为g，求：（1）小球从A到P和A到Q的运动时间之比；（2）小球所带电荷量的大小。【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）设斜面倾角为，则小球从A到P和A到Q的水平位移分别为又因为所以小球从A到P和A到Q的运动时间之比为（2）设小球抛出后加速度为a，下落高度为h，则所以又因为所以设小球带电荷量为q，则由牛顿第二定律得联立解得【变式题】6.如图所示，水平地面上方存在水平向右大小为E的匀强电场，现将一带电的小球从距离地面O点高h处的A点以水平速度v0水平抛出，经过一段时间小球恰好垂直于地面击中地面上的B点，B到O的距离也为h，当地重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A.小球从抛出到落地的时间为B.带电小球的电量C.从A到B的过程中小球的动能先增大后减小D.从A点到B点小球的电势能增加了mgh【答案】ABD【解析】【分析】【详解】A．小球在竖直方向上做自由落体运动，小球从抛出到落地的时间为解得A正确；B.水平方向小球做匀减速运动，逆向思维，做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得又因为小球带负电，解得带电小球的电量B正确；C．因为电场力等于重力，合力方向为左偏下45°，从A到B的过程中，合力与速度方向先成钝角后成锐角，先做负功后做正功，小球的动能先减小后增大，C错误；D．电场力做负功，电势能增加，从A点到B点小球的电势能增加量为解得D正确。故选ABD。【例题2】7.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B．A不带电，B的电荷量为q（q>0）．A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为．重力加速度为g，求（1）电场强度的大小；（2）B运动到P点时的动能．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a．根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，有mg+qE=ma①②解得③（2）设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有④且有⑤⑥联立③④⑤⑥式得⑦带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化（如方波）的情形。1.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。3.注重全面分析（分析受力特点和运动规律）：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。4.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。【例题1】8.在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问：(1)若电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？(2)若电子从t=0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？【答案】(1)；(2)v0T；(3)＋k·（k=0，1，2，……），T【解析】【详解】(1)由动能定理得e=mv2－mv02解得v=(2)t=0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向正极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子继续在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电场方向上的速度减到零，此时实际速度等于初速度v0，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；要使电子恰能平行于极板飞出，则电子在OO′方向上至少运动一个周期，故极板长至少为L=v0T(3)若要使电子从OO′平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，反向加速、再减速，每阶段时间相同，一个周期后恰好回到OO′上，可见应在t=＋k·（k=0，1，2，……）时射入，极板间距离要满足电子在加速、减速阶段不打到极板上，由牛顿第二定律有a=加速阶段运动的距离解得d≥T故两极板间距至少为T【变式题】9.如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10cm，极板间距d＝10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求：（1）在t＝0.06s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离；（2）荧光屏上有电子打到的区间长度。【答案】（1）13.5cm；（2）30cm【解析】【详解】（1）设电子经电压U0加速后的速度为v0，根据动能定理得设电容器间偏转电场的场强为E，则有设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y，则有沿中心轴线方向垂直中心轴线方向有联立解得设电子通过偏转电场过程中产生的侧向速度为vy，偏转角为θ，则电子通过偏转电场时有vy＝at则电子在荧光屏上偏离O点距离为由题图乙知t＝时刻U＝U0解得Y＝（2）由题知电子偏转量y的最大值为，根据可得当偏转电压超过2U0时，电子就打不到荧光屏上了。所以代入得所以荧光屏上电子能打到的区间长度为2Ymax＝3L＝30cm（2014·山东·高考真题）10.如图所示，场强大小为E，方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h.质量均为m，带电量分别为＋q和－q的两粒子，由a，c两点先后沿ab和cd方向以速率v0进入矩形区域(两粒子不同时出现在电场中)．不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】两个粒子都做类平抛运动，轨迹相切时，速度方向恰好相反，即在该点，速度方向与水平方向夹角相同，而，两个粒子都做类平抛运动，水平方向：，竖直方向：，由以上各式整理得：，因此B正确，ACD错误．（2022·江苏·高考真题）11.某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【详解】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示粒子在水平方向的速度为根据可知解得（2）粒子进入电场时初动能粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，则要求解得所以入射角的范围为或（3）设粒子入射角为时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度运动时间为粒子在沿电场方向，反复做加速大小相同的减速运动，加速运动，则则则粒子在分层电场中运动时间相等，设为，则且代入数据化简可得即解得（舍去）或解得则从边出射的粒子与入射粒子的数量之比（2020·全国·统考高考真题）12.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆