6.3对数函数原卷版

【考点梳理】考点一：对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．考点二：对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称考点三:不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．考点四：三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax【题型归纳】题型一：对数函数的定义1．（2023·上海·高一专题练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·全国·高一专题练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（

）A． B．C．或 D．不确定3．（2023·全国·高一专题练习）下列给出的函数:①;②且;③;④;⑤且;⑥.其中是对数函数的为（

）A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥题型二：对数函数的定义域与解析式（复合型对数函数）4．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是（

）A． B．或C． D．或6．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．题型三：对数函数的值域问题7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，在上的值域为（

）A． B． C． D．8．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高一假期作业）函数，的值域为（

）A． B． C． D．题型四：对数函数的图像问题10．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·上海·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）12．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）函数的部分图像大致为（

）A．B．C． D．题型五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）13．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（

）A． B． C． D．14．（2023·全国·高一专题练习）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：对数函数的单调性比较大小16．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则的取值范围为（）A． B．C． D．17．（2023·江苏·高一专题练习）已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．18．（2023春·四川泸州·高一泸县五中校考期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型七：对数函数的应用19．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．20．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．21．（2023·全国·高一专题练习）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（

）倍．(参考数据：)A． B． C． D．题型八：对数函数的综合问题22．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数（）．(1)求的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间．23．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，设．(1)当时，解关于的不等式；(2)对任意的，函数的图象总在函数的图象的下方，求正数的范围．24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性；(2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围；(3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围；【双基达标】单选题25．（2023·江苏·高一专题练习）函数的图象的对称点为（）A． B． C． D．26．（2023·江苏·高一专题练习）设，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．27．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知，，，则m、n、p的大小关系为（

）A． B． C． D．28．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2023·高一课时练习）已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.30．（2022秋·江苏苏州·高一苏州中学校考期末）已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．【高分突破】一、单选题31．（2023春·江苏·高一校考开学考试）某企业由于引进新的技术，产值逐年增长，如果从2023年起，每年的产值比上一年平均增加，那么至少经过（

）年产值翻两番（即原来的4倍）．（参考数据：，）A．5 B．8 C．11 D．1432．（2022秋·江苏连云港·高一统考期中）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．33．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）函数的图象大致是（

）A．B．C．D．34．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（

）才能排放（结果保留整数，参考数据：）.A．7 B．8 C．9 D．1035．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．836．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数，正数满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5二、多选题37．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知函数和，则下列说法中正确的有（

）A．与的奇偶性相同B．与在各自定义域上是增函数C．与的图象关于直线对称D．与的图象关于直线对称38．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）函数，则正确的有（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．在区间上是增函数39．（2022秋·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域内为增函数 D．若，则40．（2022秋·高一单元测试）已知e是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（

）A． B．若则C． D．41．（2022秋·高一单元测试）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的定义域是 B．是偶函数C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称42．（2022秋·高一单元测试）关于函数，下列说法中正确的有（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．对任意，，都有三、填空题43．（2023秋·江苏·高一专题练习）方程的实数解为.44．（2023·江苏·高一专题练习）方程的实数解为.45．（2023秋·高一课时练习）已知，则的奇偶性为.46．（2023秋·高一课前预习）已知是上的增函数，那么实数的取值范围是；47．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）函数，（），对，使成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是.四、解答题48．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）已知函数，x∈[，9].(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最小值为6，求实数a的值.49．（2022秋·高一单元测试）已知是定义在R的偶函数，且，．(1)求的解析式；(2)设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围．50．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数．(