中考数学专题 综合与实践试题演练

——专题三综合与实践类型一面积平分问题试题演练1.(1)如图①，已知△ABC，在BC上找一点D，连接AD，使得AD平分BC；(2)如图②，已知直线l1∥l2，点A和点B分别为直线l2上两定点，在直线l1上任取两点M、N，连接AM、AN、BM、BN，AN与BM交于点P，则S△AMP________S△BNP(用“＞”、“＜”或“＝”表示)；(3)如图③，已知一块Rt△ABC花园中，∠BAC＝90°，AC＝40米，BC＝50米，AD为花园内平分花园面积的一条小路(小路宽度忽略不计)，现在要从AB边上的水源E点处向BC边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E点距离A点为10米，现有与AB等长的水管，问该水管是否够用？第1题图2.(2019西安交大附中模拟)问题探究(1)如图①，在平面直角坐标系内，M是边长为4的正方形ABCO边上一点，请过点M(0，3)作一条直线，使它将正方形的面积平分，求这条直线的解析式；(2)如图②，在平面直角坐标系中有A(1，4)，B(4，0)两点，请过点C(3，eq\f(4,3))作一条直线将△ABO的面积平分，求这条直线的解析式；问题解决(3)农民张伯伯有一块四边形空地如图③，在四边形ABCD中，AB＝2km，BC＝4km.∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∠ABC＝120°，张伯伯想过点C修一条路将四边形ABCD的面积分为相等的两部分，这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由．第2题图3.问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第3题图4.(2019陕西黑马卷)问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC____BD；(填“＞”，“＜”或“＝”)问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、PN、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD,AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)试题演练1.(2012陕西25题12分)如图，正三角形ABC的边长为3＋eq\r(3).(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．第1题图2.在正方形ABCD中，AB＝100，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF＝45°.问题探究(1)如图①，请直接写出线段AE，EF，CF之间的数量关系：________；(2)如图②，若AE＝25，求四边形DEBF的面积；问题解决(3)如图③，AB＝100m，公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将正方形空地中的DEBF部分作为儿童活动区，并用围栏围起来，只留三个出入口，即点D、E、F，将儿童活动区(即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草，则是否存在一种设计方案，使得儿童活动区面积最大？若存在，求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2019陕师大附中模拟)发现问题(1)如图①，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为________；探究问题(2)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠DAC＝eq\f(1,3)∠BAC，DA＝2，求△ABC面积的最小值；拓展应用(3)如图③，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE＝2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪，根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．(小路的宽忽略不计)第3题图类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)1.问题探究(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF＝eq\f(1,2)AE，并说明理由；(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，连接CM，求eq\f(1,2)AM＋MC的最小值；问题解决(3)如图③，A、B两地相距600km，AC是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B到AC的最短距离为360km.今计划在铁路线AC上修建一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费最少，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．(结果保留根号)第1题图2.问题探究(1)如图①，试在线段BC上画出点E使得AE＋DE的值最小；(2)如图②，∠B＝30°，点D在射线BC上，且BD＝10，E、F分别为射线BA、BC上的两个动点，试求DE＋EF的最小值；问题解决：(3)如图③，C、A、B三个城市由三条主道路AC、AB、BC连接，已知AC＝6eq\r(2)，∠A＝45°，AB＝10，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC、AB、AC上选取D、E、F处开口修建便捷通道．请说明如何选取D、E、F使得DE＋EF＋FD最小，并请求出该最小值．第2题图3.问题提出(1)如图①，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK＋NK最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30eq\r(3)米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小．是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．第3题图4.(1)如图①，AD是△ABC的中线，则线段AB＋AC________2AD(填“>”、“<”或“＝”)；(2)如图②，在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若点F为CD上任意一点，试确定CF为何值时，△AEF的周长最小；(3)如图③，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，Q为AC上任意一点，连接PO、BQ、PQ.若AC＝2，BC＝1，则当点Q在线段AC上何处时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题图类型四辅助圆问题(2014～2019.25)1.问题提出(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为________；问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口D到弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一点P修建一条笔直的小路DP.已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120eq\r(2)米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交弧eq\o(BC,\s\up8(︵))于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？第1题图2.定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；(1)如图①，已知筝形ABCD的两条对角线长分别为a、b，则该筝形的面积为________；(2)如图②，已知△ABC，BC＝eq\r(2)，∠BAC＝45°，求BC边上的高线AD的最大值；(3)如图③，现有一边长为6cm的正方形木料ABCD，要利用其直角做一个四边形工件，在其相邻的两条边AB、BC上，取它们的三等分点E、F，要在木料内找一点G，使得∠EGF＝30°，且四边形BFGE的面积最大．问正方形木料ABCD内，是否存在符合要求的点G？若存在，请求出四边形BFGE面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3.在四边形ABCD中，AB＝BC，∠B＝60°；(1)如图①，已知∠D＝30°，则∠A＋∠C＝________．(2)已知AD＝3，CD＝4，在(1)的条件下，利用图①，连接BD，并求出BD的长度；(3)如图②，已知∠ADC＝75°，∠ABC＝60°，AB＝BC，BD＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(8，0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB最大时，求点P的坐标；问题解决(3)某游乐场的平面如图③所示，经测量可知：∠DOC＝60°，OA＝400m，AB＝200eq\r(3)m，场所保卫人员想在线段OD上的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明理由．第4题图5.(2019陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM.试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m.根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)第5题图6.(2018西安高新一中模拟)实践探索：(1)如图①，已知线段AB，以AB为弦，在图①中作出一个⊙O；(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝4，点P在边DC上且∠APB＝60°，试判断矩形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，有一块矩形ABCD的板材，AB＝6eq\r(2)＋12，BC＝6eq\r(2)＋6，现截去了一块等腰直角三角形ADE，工人想将剩下的板材合理利用，截出一个四边形AMFN，且满足点F在边BC上，CF∶BF＝1∶eq\r(2)，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．第6题图参考答案类型一面积平分问题1.解：(1)如解图①，D为BC的中点，连接AD，则AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)＝；【解法提示】∵△ABM和△ABN的底边相等，高均为l1与l2之间的距离，∴S△ABM＝S△ABN，∵S△AMP＝S△ABM－S△ABP，S△BNP＝S△ABN－S△ABP，∴S△AMP＝S△BNP.(3)∵AD平分△ABC的面积，即S△ABD＝S△ACD，∴AD为斜边BC上的中线，∴D为BC的中点，如解图②，连接DE，过点A作AF∥DE交BC于点F，连接EF交AD于点G，第1题解图②∵AF∥DE，由(2)得S△AEG＝S△DFG，∵S△BEF＝S△ABD－S△AEG＋S△DFG，S四边形AEFC＝S△ACD－S△DFG＋S△AEG，∴S△BEF＝S四边形AEFC，∴EF平分S△ABC，过点E作EH⊥BC于点H，∵△ABC是直角三角形，AC＝40米，BC＝50米，∴AB＝eq\r(BC2－AC2)＝30米，∵AE＝10米，∴BE＝20米，∵sinB＝eq\f(EH,BE)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,5)，∴EH＝16米，在Rt△BEH中，∵BE2＝EH2＋BH2，∴BH＝12米，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝600(平方米)，EF平分S△ABC，∴S△BEF＝eq\f(1,2)S△ABC＝300(平方米)，又∵S△BEF＝eq\f(1,2)BF·EH，且EH＝16米，∴BF＝eq\f(75,2)米，∴HF＝BF－BH＝eq\f(51,2)米，在Rt△EHF中，HF＝eq\f(51,2)米，EH＝16米，∴EF＝eq\r(HF2＋EH2)＝eq\f(5\r(145),2)＞eq\f(5\r(144),2)＝eq\f(5×12,2)＝30米＝AB，∴该水管不够用．2.解：(1)如解图①，∵四边形ABCO是正方形，点M在AO上，根据中心对称图形面积平分模型，直线必过正方形ABCD的对称中心，即对角线的交点H，易知H(2，2)．第2题解图①设直线MH的解析式为y＝kx＋3.∵直线MH过点H(2，2)，∴直线MH：y＝－eq\f(1,2)x＋3；(2)设直线AB的解析式为y＝k1x＋b1.∵直线过点A(1，4)，点B(4，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝k1＋b1,0＝4k1＋b1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(4,3),b1＝\f(16,3)))，∴直线AB：y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(16,3)，∴C(3，eq\f(4,3))在直线AB上，如解图②.第2题解图②设直线CD将△AOB的面积二等分，则S△ADC＝eq\f(1,2)S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×4×4＝4.易知直线OA的解析式为y＝4x，如解图②，过点C作CE∥x轴交AD于点E，∴点E的坐标为(eq\f(1,3)，eq\f(4,3))．∴CE＝3－eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)，∴S△ADC＝eq\f(CE·（yA－yD）,2)＝4，∴yD＝1，∴点D的坐标为(eq\f(1,4)，1)．设直线CD的解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)．将点C(3，eq\f(4,3))，D(eq\f(1,4)，1)代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k2＋b2＝\f(4,3),\f(1,4)k2＋b2＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝\f(4,33),b2＝\f(32,33)))，∴这条直线的解析式为y＝eq\f(4,33)x＋eq\f(32,33)；(3)存在．如解图③，建立平面直角坐标系，使AD在x轴上，AB在y轴上，过点C作CG⊥y轴，CF⊥x轴，过点B作直线BE∥AC交x轴于点E，连接CE.由题意，得S四边形ABCD＝S△CED，取DE的中点H，连接CH，直线CH即为所求直线．第2题解图③在Rt△CGB中，∠CBG＝180°－∠ABC＝60°，BC＝4，∴GB＝2，CG＝OF＝2eq\r(3)，∴C(2eq\r(3)，4)，∴OG＝CF＝4.在Rt△CFD中，∠CDF＝180°－∠ABC＝60°，CF＝4，∴FD＝eq\f(4\r(3),3)，∴OD＝eq\f(10\r(3),3)，设直线AC的解析式为y＝k3x，∵直线过点C(2eq\r(3)，4)，∴直线AC：y＝eq\f(2\r(3),3)x.又∵BE∥AC，∴直线BE：y＝eq\f(2\r(3),3)x＋2.当y＝0时，x＝－eq\r(3)，∴E(－eq\r(3)，0)．∴DE＝OE＋OF＋FD＝eq\f(13\r(3),3)，易得HF＝eq\f(5\r(3),6).在Rt△CHF中，由勾股定理得CH＝eq\r(（\f(5\r(3),6)）2＋42)＝eq\f(\r(651),6)(km)．∴存在这样的路，且路的长度为eq\f(\r(651),6)km.3.解：(1)作直线如解图①所示；第3题解图①(2)如解图②所示，直线AP、AQ即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12.设过点A的直线分别交BC、CD于点P、Q，使直线AP、AQ把矩形ABCD的面积三等分，则S△ABP＝S△ADQ＝4，即eq\f(1,2)×3BP＝eq\f(1,2)×4DQ＝4，∴BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2，∴当BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2时，直线AP、AQ把矩形ABCD的面积三等分；第3题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB＝AC＝100米，BC＝120米，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝60米，∴在Rt△ABE中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝80米，∴S▱ABCD＝BC·AE＝120×80＝9600(平方米)，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，∵CD＝AB＝100米，CD·AF＝BC·AE，∴AF＝eq\f(BC·AE,CD)＝eq\f(120×80,100)＝96(米)．设过点A的直线分别交BC、CD于点P、Q，使直线AP、AQ把平行四边形ABCD的面积三等分，则S△ABP＝S△ADQ＝eq\f(1,3)×9600＝3200(平方米)，即eq\f(1,2)BP·AE＝eq\f(1,2)DQ·AF＝3200，∴BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米，∴当BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米时，直线AP、AQ把平行四边形ABCD的面积三等分．第3题解图③4.解：(1)＝；(2)1；【解法提示】∵在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝eq\f(1,2)BC，∴S△AMN＝eq\f(1,4)S△ABC，∴S四边形BCNM＝3S△AMN，∵S四边形BCNM＝3，∴S△AMN＝1.又∵直线a∥BC，MN∥BC，∴直线a∥MN，∴S△PMN＝S△AMN＝1.(3)如解图，在CD上取点G，使得CG＝DG，过点G作HK∥AB，交AD于点H，交BC的延长线于点K，连接BH、AK，相交于点O，连接EO并延长交AD于点F，此时EF即为所求．第4题解图过点A作AQ⊥BC于点Q，在Rt△ABQ中，AB＝10米，∠ABQ＝60°，∴BQ＝5米，AQ＝5eq\r(3)米．∵BE＝2米，∴EQ＝3米．过点E作EP⊥DA交DA的延长线于点P，则四边形EQAP是矩形，∴EP＝5eq\r(3)米，AP＝EQ＝3米．∵G是CD的中点，CK∥HD，∴∠KCG＝∠HDG，∠CKG＝∠DHG，CG＝DG.∴△CKG≌△DHG(AAS)．∴CK＝DH，又由作图及题知HK∥AB，AD∥BC.∴四边形ABKH是平行四边形，∴AH＝BK.∴AH＝BC＋CK＝BC＋HD＝AD－HD.∴HD＝eq\f(1,2)(AD－BC)＝eq\f(1,2)×(30－8)＝11米．∴AH＝AD－HD＝30－11＝19米．∵FH＝BE＝2米，∴AF＝AH－FH＝17米．∴PF＝PA＋AF＝3＋17＝20米．在Rt△EPF中，由勾股定理得EF＝eq\r(EP2＋PF2)＝eq\r(（5\r(3)）2＋202)＝5eq\r(19)米．类型二面积最值问题1.解：(1)如解图①，正方形E′F′P′N′即为所求；(2分)第1题解图①(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝eq\f(\r(3),3)x，∴x＋eq\f(2\r(3),3)x＝3＋eq\r(3)，∴x＝eq\f(9＋3\r(3),2\r(3)＋3)，即x＝3eq\r(3)－3.∴(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长是3eq\r(3)－3；(3)如解图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP＝∠NEM＋∠PEH＝90°.第1题解图②设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝eq\r(2)m，PE＝eq\r(2)n.∴PN2＝NE2＋PE2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)．∴S＝m2＋n2＝eq\f(1,2)PN2.延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.在Rt△PGN中，PN2＝PG2＋GN2＝(m＋n)2＋(m－n)2.∵AB＝AD＋DE＋EF＋BF＝eq\f(\r(3),3)m＋m＋n＋eq\f(\r(3),3)n＝eq\r(3)＋3，即m＋n＝3，∴①当(m－n)2＝0时，即m＝n时，S最小．∴S最小＝(eq\f(3,2))2×2＝eq\f(9,2).②当(m－n)2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m＋n＝3，由(2)知，m最大＝3eq\r(3)－3.∴n最小＝3－m最大＝3－(3eq\r(3)－3)＝6－3eq\r(3).∴S最大＝(3eq\r(3)－3)2＋(6－3eq\r(3))2＝27＋9－18eq\r(3)＋36＋27－36eq\r(3)＝99－54eq\r(3).2.解：(1)EF＝AE＋CF；【解法提示】如解图①，将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCE′，∴ED＝E′D，∠ADE＝∠CDE′，又∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，即∠CDE′＋∠FDC＝∠E′DF＝45°，∴∠EDF＝∠E′DF.在△DEF和△DE′F中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ED＝E′D,∠EDF＝∠E′DF,DF＝DF))，∴△DEF≌△DE′F(SAS)，∴EF＝E′F＝E′C＋CF＝AE＋CF.(2)如解图②，将△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCN′处，设EF＝N′F＝a(a＞0)，∵正方形ABCD的边长为100，∠EDF＝45°，AE＝25，∴BE＝100－25＝75，∴BF＝eq\r(a2－752)，∴a＝100＋25－eq\r(a2－752)，解得a＝85，∴S四边形DEBF＝S正方形ABCD－S△DFN′＝1002－eq\f(1,2)×85×100＝5750；(3)存在．如解图③，连接AC，将△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCE″处，由(2)得S四边形DEBF＝S正方形ABCD－S△DFE″＝10000－50EF，∴当EF最小时，S四边形DEBF最大，∵EF2＝BE2＋BF2，∴当BE＝BF时，EF最小，此时EF∥AC，∴eq\f(BE,BA)＝eq\f(EF,AC)，即eq\f(BE,100)＝eq\f(EF,100\r(2))，∴eq\f(BE,EF)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠EFB＝45°，∴BE＝BF，∴AE＝FC＝BC－BF＝100－BE，∴EF＝E″F＝FC＋CE″＝200－2BE＝eq\r(2)BE，解得BE＝100(2－eq\r(2))，∴EF＝eq\r(2)BE＝200eq\r(2)－200，∴S四边形DEBF＝10000－50×(200eq\r(2)－200)＝20000－10000eq\r(2).∴当BE＝BF＝100(2－eq\r(2))m时，儿童活动区的面积最大，最大面积为(20000－10000eq\r(2))m2.第2题解图3.解：(1)1；【解法提示】∵a∥b，∴∠MAD＝∠NCD，∵AD＝DC，∠ADM＝∠CDN，∴△ADM≌△CDN(ASA)，∴S△ADM＝S△CDN，∴S四边形AMNB＝S△ABC＝1.(2)如解图①，延长AD至点F，使得DF＝DA，过点F作FG⊥AB于点G，交BC于点H，FE⊥AC交AC的延长线于点E，连接EG.∵∠FEA＝∠FGA＝∠GAE＝90°，∴四边形AEFG是矩形，∵∠DAC＝eq\f(1,3)∠BAC＝30°，AD＝DF＝2,∴AF＝4，EF＝eq\f(1,2)AF＝2，AE＝eq\r(3)EF＝2eq\r(3)，∴S矩形AEFG＝4eq\r(3)，∵矩形AEFG是中心对称图形，D是对称中心，∴过点D的任意直线平分矩形AEFG的面积，∴S四边形ACHG＝eq\f(1,2)S矩形ABCD＝2eq\r(3)，∵S△ABC≥S四边形ACHG,∴S△ABC≥2eq\r(3)，∴当BC与GE重合时，△ABC的面积最小，最小值为2eq\r(3)；图①图②第3题解图(3)如解图②，取AE的中点G，作GH⊥CD于点H，GF⊥BC于F，连接FH，则四边形GHCF是矩形．∵AE＝2EC，AG＝EG，∴EC＝EG，∴点E在FH上，∵AC＝3EC，∴S△ACM＝3S△ECM，S△ACN＝3S△ECN,∴S四边形AMCN＝3S△CMN,∴当△CMN的面积最小时，四边形AMCN的面积最小，∵矩形CFGH是中心对称图形，由(2)可知：当MN与FH重合时，△MCN的面积最小，∵AC＝eq\r(3002＋4002)＝500(米),∴CG＝eq\f(2,3)×500＝eq\f(1000,3)(米),∵GH∥AD，∴eq\f(CG,CA)＝eq\f(GH,AD)＝eq\f(CH,CD)，即eq\f(\f(1000,3),500)＝eq\f(GH,400)＝eq\f(CH,300)，∴GH＝eq\f(800,3)米，CH＝200米，∴△MCN的面积的最小值为eq\f(1,2)×200×eq\f(800,3)＝eq\f(80000,3)(平方米),∴四边形AMCN的面积的最小值为80000平方米，此时CM＝CF＝GH＝eq\f(800,3)米，CN＝CH＝200米．类型三线段最值问题1.解：(1)如解图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E是正△ABC的高AD上的一点，∴∠BAD＝30°.∵EF⊥AB，∴EF＝eq\f(1,2)AE；(2)如解图②，作MN⊥AB，垂足为点N，第1题解图②∵△ABC是正三角形，AD为高，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，MN＝eq\f(1,2)AM，当C、M、N三点共线时，eq\f(1,2)AM＋MC＝MN＋MC＝CN.此时eq\f(1,2)AM＋MC的值最小，最小值即为CN的长．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴CN＝BC·sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)AM＋MC的最小值为eq\r(3)；(3)如解图③，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN＝30°.过点B作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求．第1题解图③在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(6002－3602)＝480km，在Rt△MBD中，∠MBD＝∠MAF＝30°，则MD＝BD·tan30°＝120eq\r(3)km，∴AM＝(480－120eq\r(3))km.2.解：(1)如解图①，过点A作BC的对称点A′，连接A′D交BC于点E.则点E即为使得AE＋DE的值最小的点；第2题解图①(2)如解图②，作点D关于AB的对称点D′，过点D′作D′F⊥BC于点F，交AB于点E，则DE＋EF＝D′E＋EF≥D′F，连接BD′.∵点D和点D′关于AB对称，∴∠D′BE＝∠ABC＝30°，BD′＝BD＝10，∴∠D′BF＝2∠ABC＝60°，∴D′F＝BD′·sin∠D′BF＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，即DE＋EF的最小值为5eq\r(3)；第2题解图②(3)如解图③，分别作点D关于AB、AC的对称点D1、D2，连接D1D2、AD1、AD2、ED1、FD2，第2题解图③根据对称性，有DE＝D1E，DF＝D2F，则DE＋EF＋DF＝D1E＋EF＋FD2≥D1D2，由轴对称可得：AD＝AD1＝AD2，∠DAC＝∠D2AC，∠DAB＝∠D1AB，∴D1D2是顶角为90°的等腰三角形的底边，要想底边长D1D2最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，腰长最小，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，在Rt△ACH，∵AC＝6eq\r(2)，∴AH＝CH＝6，∴BH＝AB－AH＝4，在Rt△BHC中，由勾股定理得BC＝2eq\r(13)，根据等面积法AB·CH＝BC·AD，∴AD＝eq\f(30\r(13),13)，∴D1D2＝eq\f(30\r(26),13)，即DE＋EF＋DF最小值为eq\f(30\r(26),13).3.解：(1)如解图①，连接MN，与直线l交于点K，点K即为所求；第3题解图①(2)如解图②，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°；第3题解图②(3)如解图③，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′，由旋转的性质，A′B＝AB＝30eq\r(3)，BE′＝BE，A′E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A′BA＝60°，∴△E′BE是等边三角形，∴BE＝EE′，∴EA＋EB＋EC＝A′E′＋EE′＋EC≥A′C.即EA＋EB＋EC的最小值为A′C的长度．过点A′作A′G⊥BC交CB的延长线于点G，则∠A′BG＝90°－∠A′BA＝90°－60°＝30°.∴A′G＝eq\f(1,2)A′B＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×30eq\r(3)＝15eq\r(3)米，GB＝eq\r(3)A′G＝eq\r(3)×15eq\r(3)＝45米，∴GC＝GB＋BC＝45＋60＝105米，在Rt△A′GC中，A′C＝eq\r(A′G2＋GC2)＝30eq\r(13)米，∴EA＋EB＋EC的最小值为30eq\r(13)米．第3题解图③4.解：(1)>；(2)如解图①，作点E关于CD的对称点E′，连接AE′交DC于点F，连接EF、AE.若在边CD上任取与点F不重合的一点F′，连接AF′、EF′、E′F′，由EF′＋AF′＝E′F′＋AF′＞AE′＝E′F＋AF＝EF＋AF可知，当点F为AE′与DC的交点时，△AEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，∴AB＝3，E′C＝EC＝2，BE′＝6，∵CF∥AB，∴Rt△E′CF∽Rt△E′BA，∴eq\f(CF,BA)＝eq\f(E′C,E′B)，∴CF＝eq\f(E′C,E′B)·AB＝eq\f(2,6)×3＝1，∴当CF为1时，△AEF的周长最小；第4题解图①(3)如解图②，作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，PO′，B′O′，B′P，BB′，AO′，OO′，则QB＝QB′，OP＝O′P.∴OP＋PQ＋QB＝O′P＋PQ＋QB′，当点Q在AC的中点(与点O重合)，点P在AB的中点时，B′O′≤B′P＋O′P≤PQ＋QB′＋O′P，∴OP＋PQ＋QB的最小值为B′O′.∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，∴∠BAC＝30°，AB＝eq\r(3)，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝eq\r(3)，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝eq\r(AB′2＋AO′2)＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，∴OP＋PQ＋QB的最小值为2.设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB＋∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′在AC的中点处，∴当点Q为AC的中点时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题解图②类型四辅助圆问题1.解：(1)eq\f(25,4)；【解法提示】如解图①，记AO交BC于点K，∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，∴AK⊥BC，BK＝eq\f(1,2)BC＝6，∴AK＝eq\r(AB2－BK2)＝8，在Rt△BOK中，OB2＝BK2＋OK2，设OB＝x，∴x2＝62＋(8－x)2，解得x＝eq\f(25,4)，∴OB＝eq\f(25,4).第1题解图①(2)如解图②，连接EO并延长，交半圆于点P，此时E、P之间的距离最大，在eq\o(BC,\s\up8(︵))上任取异于点P的一点P′，连接OP′，P′E，∴EP＝EO＋OP＝EO＋OP′＞EP′，即EP＞EP′.∵AB＝4，AD＝6，∴EO＝4，OP＝OC＝eq\f(1,2)BC＝3.∴EP＝OE＋OP＝7.∴E、P之间的最大距离为7；第1题解图②(3)如解图③，延长FE交BD于点M，∵EF⊥BC，BE＝CE，eq\o(BC,\s\up8(︵))是劣弧，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))所在圆的圆心在射线FE上，设圆心为O，半径为R，连接OC，则OC＝R，OE＝R－40，BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝80,在Rt△OEC中，R2＝802＋(R－40)2,解得：R＝100，∴OE＝OF－EF＝60.过点D作DG⊥BC，垂足为点G，∵AD∥BC，∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°.在Rt△BDG中，DG＝BG＝eq\f(BD,\r(2))＝120，在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，∵ME＞OE.∴点O在△BDC内部．∴连接DO并延长交eq\o(BC,\s\up8(︵))于点P，则DP为入口D到eq\o(BC,\s\up8(︵))上一点P的最大距离．在BC上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D.∴DP＝OD＋OP＝OD＋OP′＞DP′，即DP＞DP′.过点O作OH⊥DG，垂足为点H，则OH＝EG＝BG－BE＝40，DH＝DG－HG＝DG－OE＝60，∴OD＝eq\r(OH2＋DH2)＝20eq\r(13).∴DP＝OD＋OP＝20eq\r(13)＋100,∴修建这条小路最多要花费40×(20eq\r(13)＋100)＝(800eq\r(13)＋4000)元．第1题解图③2.解：(1)eq\f(1,2)ab；【解法提示】∵四边形ABCD是筝形，∴AB＝AD，CB＝CD.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠DAC＝∠BAC.∴AC垂直平分BD.∴S△ABC＝S△ADC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)b·a.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)ab.(2)∵BC＝eq\r(2)，∠BAC＝45°，∴点A在以BC为弦，且弦BC所对的圆心角为90°的eq\o(BAC,\s\up8(︵))上．设△ABC的外接圆圆心为O，∴∠BOC＝90°.如解图①，连接OB、OC，∴OB＝OC＝eq\f(\r(2),2)BC＝1.要使得BC边上的高线最长，则点A在BC的垂直平分线上，过点O作OD⊥BC于点D，延长DO，交⊙O于点A.∵△BOC是等腰直角三角形，OD⊥BC，∴OD＝eq\f(\r(2),2).∴BC边上的高线AD的最大值为AO＋OD＝1＋eq\f(\r(2),2)；第2题解图①(3)存在．∵四边形ABCD是正方形，E、F分别为AB、BC的三等分点，∴AB⊥BC，BE＝BF＝eq\f(1,3)AB＝2cm.∴△BEF为等腰直角三角形，且S△BEF为定值，EF＝2eq\r(2)cm.∴要使得四边形BFGE面积最大，只需使得△EFG面积最大即可．∵∠EGF＝30°，EF为定长，∴点G在以EF为弦，所对圆心角为60°的eq\o(EGF,\s\up8(︵))上(不含E、F两点)．设△EFG的外接圆圆心为O，在△EFG中，EF为定长，要使得△EFG面积最大，即底边EF上的高取得最大值即可；如解图②，连接BD，连接BO并延长，交⊙O于点G，交EF于点M，第2题解图②∴BO垂直平分EF，即MG垂直平分EF，此时△EFG的面积最大，连接OE、OF，则∠EOF＝60°.∵OE＝OF，∴△EOF为等边三角形．∴OE＝OF＝EF＝2eq\r(2)cm，OM＝eq\r(6)cm.∵OM⊥EF，∴M为EF的中点．∴BM＝eq\f(1,2)EF＝eq\r(2)cm.∴BG＝BM＋OM＋OG＝(3eq\r(2)＋eq\r(6))cm.∵△BEF为等腰直角三角形，∴BM为∠EBF的平分线．∴BG在正方形ABCD的对角线所在的直线上，且BD＝6eq\r(2)cm.∵3eq\r(2)＋eq\r(6)＜6eq\r(2)，∴点G在线段BD上，即点G在正方形ABCD内部．∴存在符合要求的点G，且四边形BFGE面积的最大值为eq\f(1,2)EF·BG＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(3eq\r(2)＋eq\r(6))＝(6＋2eq\r(3))cm2.3.解：(1)270°；【解法提示】∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，且∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A＋∠C＝270°.(2)如解图①，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ，连接DQ，则∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ，∠DBQ＝60°，∴△BDQ是等边三角形．∴BD＝DQ.∵∠C＋∠BAD＝270°，∴∠BAQ＋∠BAD＝270°.∴∠DAQ＝90°.则BD＝DQ＝eq\r(AD2＋AQ2)＝5；第3题解图①(3)能．如解图②，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH，作△AHD的外接圆⊙O，连接AO，与DH交于点K.第3题解图②由(2)知△BDH是等边三角形，∴S四边形ABCD＝S△BAH＋S△ABD＝S△DBH－S△ADH.∴当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．∵∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠BAD＋∠BAH＝∠BAD＋∠BCD＝360°－75°－60°＝225°.∴∠DAH＝135°.∵DH＝DB＝6，∴点A在定圆⊙O上运动，当O、A、B共线时，△ADH的面积最大，此时OB⊥DH.则HK＝KD＝3.∵AH＝AD，∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°.在HK上取一点F，使得FH＝FA，则△AKF是等腰直角三角形，设AK＝FK＝x，则FH＝AF＝eq\r(2)x,∴3＝x＋eq\r(2)x，解得x＝3eq\r(2)－3.∴△ADH的面积最大值为eq\f(1,2)×6×(3eq\r(2)－3)＝9eq\r(2)－9.∴四边形ABCD的面积的最小值为eq\f(\r(3),4)×62－(9eq\r(2)－9)＝9eq\r(3)－9eq\r(2)＋9.4.解：(1)如解图①，等腰三角形CBP即为所求(点P为正方形ABCD内的弧eq\o(BD,\s\up8(︵))上的任意一点)；第4题解图①(2)以AB为弦的圆，圆心Q必过AB的垂直平分线，如解图②，取AB的中点D，则D(5，0)，∴圆心Q的横坐标为5，⊙Q与y轴交于点P，即以AB为弦的圆，圆半径PQ最小为5，∵sin∠AQD＝eq\f(\f(1,2)AB,AQ)＝eq\f(3,AQ)，∴当AQ＝BQ取得最小值时，sin∠AQD最大，∠AQD最大，即∠AQB最大，此时其所对圆周角∠APB最大，连接PQ.当PQ＝5时，AQ＝BQ＝5，此时PQ⊥y轴且点P为⊙O与y轴的切点，则Q点的纵坐标为±eq\r(52－（\f(8－2,2)）2)＝±4，∵点P在y轴正半轴上，∴点P的坐标为(0，4)；第4题解图②(3)存在．如解图③，过点A、B作⊙N且与OD相切于点M，连接MN并延长，交OC于点E，连接MA、MB、NA、NB，过点N作NF⊥AB于点F，第4题解图③∵∠MOA＝∠BOM，OM为⊙N的切线，∴∠OMA＝∠OBM.∴△OMA∽△OBM.即eq\f(OM,OB)＝eq\f(OA,OM)，∴OM2＝OA·OB＝400×(400＋200eq\r(3))．∴OM＝(200＋200eq\r(3))m.易得FB＝eq\f(1,2)AB＝100eq\r(3)m，∵∠O＝60°，∠OME＝90°，∴∠MEO＝30°.∵OM＝(200＋200eq\r(3))m.∴OE＝2OM＝(400＋400eq\r(3))m，∴BE＝OE－OB＝200eq\r(3)m.∴FE＝FB＋BE＝300eq\r(3)m.∴在Rt△NFE中，NF＝FE·tan∠MEO＝300m.∴在Rt△BNF中，tan∠BNF＝eq\f(FB,NF)＝eq\f(100\r(3),300)＝eq\f(\r(3),3).∴∠BNF＝30°.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠AMB＝eq