专题8.1直线的方程（讲练）

第八章平面解析几何专题8.1直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．考点一直线的倾斜角与斜率考点二求直线的方程考点三直线方程的综合应用1．直线的方向向量一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.2．直线的倾斜角(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用题型一直线的倾斜角与斜率1．若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【详解】由题意得，解得.故选：A.2．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【详解】∵，，，∴直线的斜率，直线的斜率，∵直线与线段相交，如图所示，∴直线的斜率的取值范围为或．故选：B3．直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.4．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列，所以，，所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.故选：B.5．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【详解】易知关于轴的对称点为，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，将圆化简后可得，所以圆心，易知在该圆上，所以即为切点，因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，即，解得故选：C．题型二求直线的方程6．下列直线方程是两点式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于选项A：是斜截式方程，故A错误；对于选项B：是点斜式方程，故B错误；对于选项C：是截距式方程，故C错误；对于选项D：是两点式方程，故D正确；故选：D.7．如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C8．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故选：D9．过点且方向向量为的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，所求直线的方程为，即．故选：A10．直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将变形为：，令且，解得，所以直线恒过定点.故选：A题型三直线方程的综合应用11．设直线的方程为.(1)已知直线在x轴上的截距为，求的值；(2)已知直线的斜率为1，求的值．【详解】（1）令得，，由题意得，解得.（2）因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为由题意得，解得．12．在中，，，.(1)求的中线所在直线的方程；(2)求的面积.【详解】（1）由，，得的中点为，又，所以，所以中线所在直线的方程为，即.（2）由，，得，直线的方程为，即，点到直线的距离为，又，所以的面积为.13．求满足题意的直线方程：(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；(2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程.【详解】（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率，利用斜截式可得：，化为一般式：.（2）直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即；直线不经过原点时，截距不为0，设直线方程为:，把点代入可得:，解得，化为一般式：；综上：所求直线为或.一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，则，且，则，所以直线的倾斜角为，即.故选：A.2．过，两点的直线的倾斜角为（

）A．60° B．60° C．120° D．150°【答案】C【详解】因为直线过点，，所以，设直线倾斜角为，则，故选：C3．直线的倾斜角的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：B4．已知直线，则直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】方法一：令，得，即，所以直线在轴上的截距为.方法二：将方程化为斜截式得，所以直线在轴上的截距为.故选：B5．直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以，所以，因为直线经过第一、二、四象限，所以斜率，与轴交点纵坐标，解得，故选：A6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】当直线过原点时，方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上所求直线方程为或.故选：C.7．直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由，得，令得所以点A的横坐标与纵坐标之和为．故选：B8．已知直线：的倾斜角的取值范围为，则直线：的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，则，则直线的斜率为，直线的斜率为，所以与的斜率互为相反数,所以与的倾斜角互补,得的倾斜角的取值范围为.故选：D.二、多选题9．下列结论不正确的有（

）A．直线在轴上的截距为B．如果，那么直线不经过第三象限C．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为D．直线恒过定点【答案】BC【详解】A选项，直线中，令得，，故直线在轴上的截距为，A正确；B选项，不妨设，满足条件，此时直线方程为，经过第一、二、三象限，故B错误；C选项，当在轴、轴上截距均为0时，设直线方程为，将代入，故，解得，故此时直线方程为，当在轴、轴上截距不为0时，设直线方程为，将代入得，，解得，此时直线方程为，故过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为或，C错误；D选项，直线变形为，故直线恒过定点，D正确.故选：BC10．下列说法错误的是（

）A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为B．直线在y轴上的截距为3C．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为D．过两点的直线的方程都可以表示为【答案】ABD【详解】对于A中，当直线过点和原点时，此时直线方程为，满足题意；当直线不过原点时，设直线方程为，将点代入方程，可得，解得，即，所以A不正确；对于B中，由直线，令，可得，所以直线在轴上的截距为，所以B不正确；对于C中，若直线l的一个方向向量是，可得直线的斜率为，所以C正确；对于D中，过两点的直线，只有当时，才能得到直线方程为，所以D不正确.故选：ABD.三、填空题11．直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为【答案】【详解】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率，由点斜式方程可得，整理可得：.故答案为：.12．已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是．【答案】或【详解】若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点在l上，得其方程为；若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为，将点代入可得，所以l的方程是.故答案为：或.四、解答题13．如图，射线分別与轴的正半轴成和的角，过点的直线分别交于两点，线段的中点恰好落在直线上．(1)求直线的方程；(2)求的面积．【详解】（1）由题意得，故直线的方程为，直线的方程为，设，，则的中点坐标为因为为线段的中点，故，又，故，联立，解得，故，所以，故直线的方程为，即；（2）由（1）知，，，故，点到直线的距离，故的面积为14．已知直线：，直线：．(1)分别写出直线、恒过定点P、Q的坐标，并求直线PQ的方程；(2)若直线、相交于点R（异于P、Q两点），求△PQR面积的最大值．【详解】（1）直线：，可得直线恒过定点直线：可得，所以直线PQ的方程为：，即；（2）由（1）可得，联立，可得，，即，所以R到直线PQ的距离，因为，所以，所以，即d的最大值为，所以．即的面积的最大值为2．15．已知直线过点，(1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程；(2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程.【详解】（1）法一：设直线的方程为则与轴的交点为，与轴的交点，由