（学生）2015年安徽中考数学专题复习第七讲 一元二次方程及其应用

PAGE2015年安徽中考数学专题复习第七讲一元二次方程及其应用新课标解读一、新增内容：1、会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根和两个实数根是否相等；2、了解一元二次方程的根与系数的关系；二、调整内容：2011版新课标2001课标（实验版）能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；知识要点一、一元二次方程的定义1、一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数最高次数是的整式方程。2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中二次项是，一次项是，是常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件；2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正。3、一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2。】二、一元二次方程的常用解法1、直接开平方法：（形如（n≥0）的方程）如果ax2=b，则x2=，x1=；x2=；2、配方法：（可化为（n≥0）形式的方程）解法步骤：（1）化二次项系数为，即方程两边都除以二次项系数；（2）移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方：即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式；（4）解方程：如果方程右边是非负数，即n≥0，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解。3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式为：4、因式分解法：一般步骤：（可化为形式的方程）①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。【名师提醒：1、判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a≠0；2、用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式；3、用配方法时二次项系数要化1；4、用直接开平方的方法时要记得取正、负。】三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由___________决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号△表示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式b2-4acb2-4ac0时，方程有两个不相等实数根；b2-4ac0时，方程有两个相等实数根；b2-4ac0时，方程无实数根；根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2韦达定理韦达定理_________【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0。】四、一元二次方程的应用1、解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行。2、常见题型（经济类和利率问题）（1）增长率等量关系：①；②设a为原来量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量时，则有；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有：；（2）利润等量关系：①利润=售价-成本；②；（3）几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程。【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】重要考点考点一：一元二次方程的解例1（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A．2018B．2008C．2014D．2012思路分析：将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，

∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=-5，

∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．对应训练1．（2013•黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是．考点二：一元二次方程的解法例2（2013•宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1B．2C．1和2D．-1和2思路分析：先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．解：x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，

∴x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1．故选D．点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．例3（2013•佛山）用配方法解方程x2-2x-2=0．思路分析：首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．解：x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，

（x-1）2=3，两边直接开平方得：x-1=±，

则x1=+1，x2=-+1．点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．例4（2013•兰州）解方程：x2-3x-1=0．思路分析：利于求根公式x=来解方程．解：关于x的方程x2-3x-1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-1，则

x═=，

解得，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义．对应训练2．（2013•陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是．3．（2013•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．4．（2013•山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．考点三：根的判别式的运用例5（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．思路分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．解答：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

所以k的值为5或4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．对应训练5．（2013•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0B．x2+1=0C．x2-2x+1=0D．x2+2x+3=06．（2013•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.257．（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠18．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点四：一元二次方程的应用例6（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．思路分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm，由题意，得

（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40-12=28cm，

当x=28时，较长的为40-28=12＜28（舍去）

∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm，由题意，得

（）2+（）2=48，变形为：m2-40m+416=0，

∵△=（-40）2-4×416=-64＜0，∴原方程无解，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．对应训练9．（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）聚焦安徽1.（2003•4分）党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（）A．(1+x)2=2B．(1+x)2=4C．1+2x=2D．(1+x)+2(1+x)=42.（2004•4分）方程x2—3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根3.（2005•4分）方程的解是（）A.B.C.D.4.（2009•4分）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．B．C．D．5.（2011•4分）一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是（）A．－1B．2C．1和2D．－1和26.（2013•4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元。设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438D．438（1+2x）=3897.（2014•4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=.8.（2012•8分）解方程：9.（2007•8分）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。（取≈1.41）10.（2010•10分）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2。（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：≈0.95）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由。点击中考一、选择题1．（2013•新疆）方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5C．x1=0，x2=5 D．x=02．（2013•安顺）已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．-1C．2D．-23．（2013•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．-4C．1D．-14．（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解5．（2013•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定6．（2013•潍坊）已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（）A．当k=0时，方程无解B．当k=1时，方程有一个实数解C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．7．（2013•鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根8．（2013•威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥-B．m≥0C．m≥1D．m≥29．（2013•大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4B．m＞-4C．m＜4D．m＞410．（2013•咸宁）关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．-111．（2013•日照）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜012．（2013•丽水）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-413．（2013•兰州）用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空题14．（2013•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=．15．（2013•常州）已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=．16．（2013•天津）一元二次方程x（x-6）=0的两个实数根中较大的根是．17．（2013•温州）方程x2-2x-1=0的解是。18．（2013•张家界）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是．19．（2013•沈阳）若关于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．20．（2013•巴中）方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．21．（2013•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．三、解答题22．（2013•无锡）解方程：x2+3x-2=0．23．（2013•淄博）关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有实根．

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值．24．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．

（1）求出方程的根；

（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？25．（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？能力拔高★1．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长．2．（2013•临沂）对于