人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第32讲 拓展一：中点弦问题（含解析）

第07讲拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；将两式相减，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；最后整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线和曲线的两个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；将两式相减，可得SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且点M平分弦SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，①-②得SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0故选：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线SKIPIF1<0，求过点SKIPIF1<0且被点SKIPIF1<0平分的弦SKIPIF1<0所在直线的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0双曲线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上，又所求双曲线离心率与双曲线SKIPIF1<0离心率相同，SKIPIF1<0可设其方程为：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入双曲线方程得：SKIPIF1<0，则所求双曲线标准方程为：SKIPIF1<0.（2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在，可设其方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，符合题意；SKIPIF1<0所求直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；方法二：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在双曲线上，SKIPIF1<0，两式作差得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经检验：该直线SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0所求直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点.(1)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且倾斜角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且弦SKIPIF1<0恰被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0所在直线的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，又因直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的斜率为4，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得直线的斜率为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，经检验此时SKIPIF1<0与双曲线有两个交点.故选：A【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴比短轴长2，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．．又椭圆SKIPIF1<0的长轴比短轴长2，所以SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）显然点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0内，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，两个方程相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）

易知直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0垂直于动直线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为等边三角形时，其面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为原点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，试问：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0为等边三角形时，其面积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0和抛物线的定义可知，SKIPIF1<0落在准线上，即SKIPIF1<0，设准线和SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）假设存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0线为段SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0三点共线，满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，综上，存在SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点恒成立，SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，且C的一条渐近线经过点SKIPIF1<0.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点SKIPIF1<0的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由见解析【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为双曲线C的一条渐近线经过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：假设存在符合条件的直线SKIPIF1<0，易知直线l的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，把直线SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与C交于SKIPIF1<0两点，使得线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点SKIPIF1<0且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；SKIPIF1<0.【详解】（1）双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0，因为双曲线的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又焦点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，经检验直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有两个交点，满足条件，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线SKIPIF1<0上一动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)动弦SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；【详解】（1）因为动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的斜率存在且不为0时，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入椭圆方程中得：SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0的斜率不存在或为0时，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，也满足SKIPIF1<0；所以点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0；综上，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作一条直线交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试求弦SKIPIF1<0的中点轨迹方程.【答案】SKIPIF1<0.【详解】方法1：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0两式相减，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0斜率不存在，即SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，适合上式，故所求轨迹方程为SKIPIF1<0.方法2：当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0消去参数SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，即SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，适合上式，故所求轨迹方程为SKIPIF1<0.【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0所在直线过点SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0满足上述方程，故点SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆SKIPIF1<0，则该椭圆所有斜率为SKIPIF1<0的弦的中点的轨迹方程为．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】设斜率为SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，与椭圆的交点为SKIPIF1<0，设中点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于在椭圆内部，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0直线与椭圆相切，此时由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所求得轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．题型04确定参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，A为椭圆的下顶点，设椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于不同的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题设，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由题设知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又由题意知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，把②代入①得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和椭圆交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，求线段SKIPIF1<0长度的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）由椭圆的定义知，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由离心率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，由①−②可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将条件SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，带入上式可得点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0长度的取值范围为SKIPIF1<0．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆，点SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在第一象限的交点，且SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于A、B两点，若AB的中点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【详解】（1）设椭圆方程为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用抛物线的定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆定义，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，(当SKIPIF1<0时,弦中点为原点,但原点并不在SKIPIF1<0上,同样SKIPIF1<0弦中点为原点，不适合题意)与SKIPIF1<0联立，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，由韦达定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，②将②代入①得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为SKIPIF1<0，且离心率SKIPIF1<0.（1）求椭圆的方程；（2）直线SKIPIF1<0（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0倾斜角的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0倾斜角的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【详解】（1）设椭圆方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，把②代入①整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0倾斜角的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0被椭圆SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0与坐标轴不垂直的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为垂足.问：是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的长为定值？若存在，求点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，定点SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0上，所以存在定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的长为定值SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线SKIPIF1<0交AB于SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长为定值，若存在，求出圆SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，定圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【详解】（1）设双曲线的右焦点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，AB的中点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0中点的横坐标为2可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF