人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）

第01讲1.1.1空间向量及其线性运算课程标准学习目标①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点01：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为SKIPIF1<0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量SKIPIF1<0长度相等而方向相反的向量，称为SKIPIF1<0的相反向量，记为SKIPIF1<0相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段SKIPIF1<0来表示，SKIPIF1<0叫向量的起点，SKIPIF1<0叫向量的终点；（2）字母表示法：用SKIPIF1<0表示．向量SKIPIF1<0的起点是SKIPIF1<0，终点是SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0也可以记作SKIPIF1<0，其模记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0的棱中，与向量SKIPIF1<0模相等的向量有______个.【答案】7【详解】与SKIPIF1<0模长相等的向量有：SKIPIF1<0共有7个.故答案为：7知识点02：空间向量的加法、减法运算1、空间向量的位置：已知空间向量SKIPIF1<0，可以把它们平移到同一平面SKIPIF1<0内，以任意点SKIPIF1<0为起点，作向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<02、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的和．记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<03、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0差，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<04、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：SKIPIF1<0（2）加法结合律：SKIPIF1<0【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0．故选：A.知识点03：空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数SKIPIF1<0与空间向量SKIPIF1<0的乘积SKIPIF1<0仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0的范围SKIPIF1<0的方向SKIPIF1<0的模SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相同SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其方向是任意的SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相反3、对数乘向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的关系的进一步理解：（1）可以把向量SKIPIF1<0模扩大（当SKIPIF1<0时），也可缩小（当SKIPIF1<0时）；可以不改变向量SKIPIF1<0的方向（当SKIPIF1<0时），也可以改变向量SKIPIF1<0的方向（当SKIPIF1<0时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有意义，无法运算．【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为平行四边形，E为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于点M，则SKIPIF1<0＝________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题可设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为M，E，F，G四点共面，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点04：共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是共线向量，则记为SKIPIF1<0．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0不一定成立，因为当SKIPIF1<0时，虽然SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不一定与SKIPIF1<0共线（特别注意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与任何向量共线）．2、共线向量定理：对空间任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．2.1共线向量定理推论：如果SKIPIF1<0为经过点SKIPIF1<0平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直线,那么对于空间任一点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0①，若在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，则①可以化作：SKIPIF1<02.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点SKIPIF1<0，空间中三点SKIPIF1<0共线的充要条件是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<03、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果两个向量SKIPIF1<0不共线，那么向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<03.2空间共面向量的表示如图空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．或者等价于：对空间任意一点SKIPIF1<0，空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内（SKIPIF1<0四点共面）的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，该式称为空间平面SKIPIF1<0的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3.3拓展对于空间任意一点SKIPIF1<0，四点SKIPIF1<0共面（其中SKIPIF1<0不共线）的充要条件是SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为空间任意一点，SKIPIF1<0四点共面，但任意三点不共线．如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为空间任意一点，SKIPIF1<0满足任意三点不共线，且四点共面，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.题型01空间向量的有关概念【典例1】（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A．与SKIPIF1<0共面的单位向量有无数个B．与SKIPIF1<0垂直的单位向量有无数个C．与SKIPIF1<0平行的单位向量只有一个D．与SKIPIF1<0同向的单位向量只有一个【答案】C【详解】解：与SKIPIF1<0共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；与SKIPIF1<0垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；与SKIPIF1<0平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；与SKIPIF1<0同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．故选：C．【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③在正方体SKIPIF1<0中，必有SKIPIF1<0；④若空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中正确的个数为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相同，模也相等，则SKIPIF1<0，③正确；对于④，由向量相等关系可知SKIPIF1<0，④正确．故选：C.【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（

）A．空间向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【详解】对于A，因为空间向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为相反向量，所以空间向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长度相等，所以A正确，对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相等，所以D错误，故选：A【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知SKIPIF1<0为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与SKIPIF1<0相等的向量；

（2）与SKIPIF1<0相反的向量；

（3）与SKIPIF1<0平行的向量．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与SKIPIF1<0相等的向量为SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，由平行六面体的性质可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相反的向量为SKIPIF1<0．（3）连接SKIPIF1<0，由平行六面体的性质可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0平行的向量为SKIPIF1<0．题型02空间向量加减运算及几何表示【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体SKIPIF1<0中，化简SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0.故选：C.【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因为长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0故选：D题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形SKIPIF1<0､SKIPIF1<0都是平行四边形且不共面，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的中点，判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否共线？【答案】共线.【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线.【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在体对角线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线．【答案】证明见解析【详解】证明：

连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线．题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是空间的一个基底，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023春·高二课时练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的空间向量，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则实数SKIPIF1<0的值为______.【答案】SKIPIF1<0/0.4【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵A，C，D三点共线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·高二课时练习）设SKIPIF1<0是空间两个不共线的非零向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【答案】SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又A，B，D三点共线，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不共线，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数k的值是SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设SKIPIF1<0是空间中两个不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0三点共线，则实数SKIPIF1<0______．．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点SKIPIF1<0及空间任意一点SKIPIF1<0，由下列条件一定可以得出SKIPIF1<0四点共面的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】对A：SKIPIF1<0，定有SKIPIF1<0共面，且有公共顶点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四点共面，故A正确；对B：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四点不共面，故B错误；对C：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0四点一定共面，故C正确；对D：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四点一定共面，故D正确.故选：ACD.【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点SKIPIF1<0和不共线的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足向量关系SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），试问：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点是否共面？【答案】共面【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面．理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线，可知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共线，由共面定理可知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面．【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】对于A选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于B选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于D选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共面.故选：D.【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知SKIPIF1<0是不共面向量，SKIPIF1<0，证明这三个向量共面.【答案】证明见解析【详解】由SKIPIF1<0是不共面向量，得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以这三个向量共面.题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）【典例1】（2023春·高一课时练习）已知SKIPIF1<0三点不共线，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面的充要条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0四点共面的充要条件是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A.【典例2】（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0为空间中一点，SKIPIF1<0四点共面且任意三点不共线，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意，SKIPIF1<0四点共面且任意三点不共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面SKIPIF1<0内的小方格均为正方形,点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内的一点,SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0外一点,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选:B【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）SKIPIF1<0是空间向量的一组基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0______.【答案】3【详解】因为点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，所以存在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故答案为:3.题型07空间向量共面（推论及其应用）【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知SKIPIF1<0三点不共线，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外任意一点，若由SKIPIF1<0确定的一点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三点共面，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三点共面以及SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023春·高一课时练习）已知SKIPIF1<0为空间中任意一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是空间任意一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：设SKIPIF1<0是平面上任一点，SKIPIF1<0是平面上的三点，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不共线），则SKIPIF1<0三点共线SKIPIF1<0，把此结论类比到空间上就是：SKIPIF1<0不共面，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，M是平面ABC上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为M是平面ABC上一点，即SKIPIF1<0四点共面，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0确定的平面内，SKIPIF1<0是空间任意一点，实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】A【详解】由题意因为SKIPIF1<0四点共面且平面唯一确定，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由一元二次函数的图像和性质可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，所以SKIPIF1<0，故选：A题型08空间向量数乘运算及几何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的中点，点F是SKIPIF1<0的三等分点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图所示，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知SKIPIF1<0为空间的9个点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱SKIPIF1<0中，D是四边形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体SKIPIF1<0中，点M满足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则下列向量中与SKIPIF1<0相等的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由点M满足SKIPIF1<0，所以M为SKIPIF1<0中点，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为SKIPIF1<0中点,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C1.1.1空间向量及其线性运算A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共线时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定【答案】A【详解】根据平行四边形法则可得，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面.故选：A.2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体SKIPIF1<0中，化简SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由长方体的结构特征，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】G是CD的中点,所以SKIPIF1<0故选：A.4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．2 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C.5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体SKIPIF1<0中，点E满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故选：A.6．（2023·全国·高二专题练习）已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0确定的平面内，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外任意一点，实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0确定的平面内，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的有最小值2．故选：D7．（2023·江苏·高二专题练习）已知SKIPIF1<0为空间任一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点满足任意三点不共线，但四点共面，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点满足任意三点不共线，但四点共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0分别交棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0），SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，则下列命题错误的是（

）A．存在平面SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在平面SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．对任意的平面SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0D．对任意的平面SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0【答案】D【详解】对于A选项，当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A对；对于B选项，当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B对；对于C选项，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0上，即线段SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，C对；对于D选项，若线段SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，又因为线段SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，事实上，四边形SKIPIF1<0不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.故选：D.二、多选题9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【详解】A.如图所示：，SKIPIF1<0三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中SKIPIF1<0三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中SKIPIF1<0三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0共线的必要条件C．SKIPIF1<0三点不共线，对空间任一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面D．若SKIPIF1<0为空间四点，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不共线），则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三点共线的充要条件【答案】ACD【详解】对于A,由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，则一定有SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由SKIPIF1<0反向共线，可得SKIPIF1<0，故B不正确；对于C，由SKIPIF1<0三点不共线，对空间任一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共面，故C正确；对于D,若SKIPIF1<0为空间四点，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不共线），当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，反之也成立，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三点共线的充要条件，故D正确.故选：ACD.三、填空题11．（2023·全国·高二专题练习）已知SKIPIF1<0是不共面向量，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三个向量共面，则实数SKIPIF1<0______.【答案】4【详解】以SKIPIF1<0为空间一组基底，由于SKIPIF1<0三个向量共面，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由SKIPIF1<0确定的一点P与A，B，C三点共面，则SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，O是平面ABC外任意一点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若A，B，C三点共线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0