2021-2022学年上学期高中数学北师大高二同步经典题精练直线与圆综合题

2021-2022学年上学期高中数学北师大新版高二同步经典题精练

直线与圆综合题

一.选择题（共7小题）

1.（2021春•资阳期末）对于任意的实数%,直线），="-4+1恒过定点P,则点P的坐标为

（）

A.（-I,-1）B.（-I,I）C.（1,-1）D.（1,1）

2.（2021春•资阳期末）已知直线/1：kx+（KI）y-2=0与fe：2fcv+4y-1=0平行，则k

=（）

A.0或1B.1或2C.0D.1

3.（2021春•眉山期末）经过点尸（0,-1）作直线/,若直线/与连接4（1,-2）,B（2,

1）的线段总有公共点，则直线/的倾斜角的取值范围为（）

A.0°WaW45°或135°WaW180°

B.45°WaW135°

C.45°<a<135°

D.0°WaW45°或135°Wa<180°

4.（2021春•河池期末）已知斜率为-1的直线/被圆C：?+y2+2x-4y+3=0截得的弦长为

加，则直线I的方程为（）

A.2x+2y+]=0或2x+2y-3=0

B.x+y=0或x+y-2=0

C.2x+2y-6=0或2x+2y+3巫=0

D.x+y-亚=0或x+y+2亚=0

5.（2021•全国I卷模拟）已知直线/：3x+4y=15与圆O：/+/=尸（r>0）相离，过直线

/上的动点P做圆O的一条切线，切点为C,若AOPC面积的最小值是血，则r=（）

A.1B.272C.1或2MD.2

6.（2021春•仓山区校级期中）已知“€{1,2,3},bG[4,5,6,7},则方程（x-a）2+（y

-b）2=4可表示不同的圆的个数为（）

A.7B.8C.12D.16

7.（2021春•宣城期末）已知圆A：2x-4y-4=0,圆&/+)2+2x+2y-2=0,则两

圆的公切线的条数是（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

二.填空题(共4小题)

8.(2021春•铜仁市期末)已知直线/i：x-my+\=0,ft：lx-6y+5=0,且则，〃的

值为.

9.(2021春•宝山区期末)若点P(3,4)和。(-1,2),则线段PQ的中垂线的斜率为.

10.(2021春•浦东新区校级期末)若直线，"x+2〃y-4=0(m,n&R)始终平分圆？+丁-4x

-2y=0的周长，则如i的取值范围是.

11.(2021春•沙坪坝区校级期末)已知圆/+)2=4与圆J-1)2+(厂2)2=5相交于A,

B两点，则直线AB的方程为.

三.解答题(共4小题)

12.(2021春•玉林期末)已知两直线/i：2mx+(3-/n)y+l=0,fa：2x+2my+m=0.

(1)求/i和/2平行时m的值；

(2)求人和/2垂直时〃?的值.

13.(2021春•贵阳期末)已知以点A(1,1)为圆心的圆与直线八：x+2y+2=0相切，过点

B(2,0)的动直线/与圆A相交于M、N两点.

(1)求圆4的方程；

(2)当|加川=4时，求直线/的方程.

14.(2021春•瑶海区月考)已知圆C的圆心在直线y=/,且过圆C上一点M(l,3)的

切线方程为y=3x.

(1)求圆C的方程；

(2)设过点M的直线/与圆交于另一点M求&CMN的最大值及此时的直线/的方程.

15.(2021春•渝中区校级期末)已知圆C：("1)2+(厂2)2=9,直线/：kx-y-k+3=

0.

(1)直线/一定经过哪一点；

(2)若直线/平分圆C,求上的值；

(3)若直线/与圆C相交于A,B,求弦长A8的最小值及此时直线的方程.

2021-2022学年上学期高中数学北师大新版高二同步经典题精练

直线与圆综合题

参考答案与试题解析

一.选择题(共7小题)

1.(2021春•资阳期末)对于任意的实数左，直线y=依-什1恒过定点P,则点P的坐标为

()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(1,1)

【考点】恒过定点的直线.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】直线的方程中先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得它经

过的定点坐标.

【解答】解：若蛇R,直线y=fcr-k+l,即k(x-1)-y+l=0,

令x-1=0,-y+l=0,

解得x=l,y=l,

可得直线恒过定点P(1,1),

故选：D.

【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题.

2.(2021春•资阳期末)已知直线Zi：kx+(k+\)y-2=0与h：2kx+4y-1=0平行，则k

=()

A.0或1B.1或2C.0D.1

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.

【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用两条直线平行的充要条件，列出关于4的方程，求解即可.

【解答】解：因为直线/1：fcc+(k+1)y-2=0与/2：2"+4)，-1=0平行，

所以(4k-2k(k+l)=°,解得y0或［.

l-(k+l)-4X(-2)=0

故选：A.

【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题.

3.(2021春•眉山期末)经过点P(0,-1)作直线/,若直线/与连接A(1,-2),B(2,

1)的线段总有公共点，则直线/的倾斜角的取值范围为()

A.0°WaW45°或135°WaW180°

B.45°WaW135°

C.45°<a<135°

D.0°WaW45°或135°<a<180°

【考点】直线的倾斜角；直线的斜率.

【专题】数形结合；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线/与线段48有公共点的直线/的斜率

的范围与倾斜角的范围.

【解答】解：如图，

VA(1,-2),B(2,1),P(0,-1),

.'.km=-4-(-I)=-1,kpB=二］一］，=1,

1-0-0-2

则使直线/与线段AB有公共点的直线/的斜率的范围为［-1,1］,

.•.倾斜角的范围为0°WaW45°或135°Wa<180°.

故选：D

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合

的解题思想方法，考查运算求解能力，是基础题.

4.(2021春•河池期末)已知斜率为-1的直线/被圆C：/+)2+法-4>3=0截得的弦长为

氓,则直线I的方程为()

A.2x+2y+l=0或2x+2y-3=0

B.x+y=0或x+y-2=0

C.2x+2y-V2=0或2x+2y+3亚=0

D.x+y-V*2=05£x+y+2V2=0

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.

【分析】设直线/的方程为x+y+m=O,计算出圆心到直线的距离d,结合弦长公式可得

m,即可得出答案.

【解答】解：圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,

设直线/的方程为x+y+m=O,

可知圆心到直线I的距离为，(&)2_(坐)：孚，

有蚂有机=0或-2,

V22

所以直线I的方程为x+y=0或x+,y-2=0.

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

5.(2021•全国I卷模拟)已知直线/：3x+4y=15与圆O：/+)?=，(r>0)相离，过直线

I上的动点P做圆O的一条切线，切点为C,若A0PC面积的最小值是则r=()

A.1B.2MC.1或2&D.2

【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.

【分析】求出圆心O到直线/的距离，利用勾股定理求得PC的最小值，代入三角形面

积公式即可求得r值.

【解答】解：•••圆。：/+y2=J(r>0)的圆心。(0,0),当点P与圆心的距离最小时，

切线长PC最小，此时△OPC的面积最小，

|P0

-七H=3,则|PC』=后0

21

此时SA0PC=^-|PC|r=y9-r解得，=或2亚.

故选：C.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，明确尸到圆心距离最小时△OPC的面积最小是

关键，是基础题.

6.(2021春•仓山区校级期中)已知2,3),bE{4,5,6,7},则方程(x-a)2+(y

-6)2=4可表示不同的圆的个数为()

A.7B.8C.12D.16

【考点】排列、组合及简单计数问题；圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；排列组合；数学运算.

【分析】根据题意，分析八6的取法，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，方程(x-a)2+(y-b)2=4中，其圆心为(a,b),半径为2,

a的取法有3种，人的取法有4种，

则圆心的情况有3X4=12种，故可以表示12个不同的圆，

故选：C.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，涉及圆的标准方程，属于基础题.

7.(2021春•宣城期末)已知圆A：?+/-2r-4y-4=0,圆B：/+/+标+2丫-2=0,则两

圆的公切线的条数是()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆方程的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】根据题意，先求出两圆的圆心和半径，分析两个圆的位置关系，据此分析可得

答案.

【解答】解：根据题意，圆A：？+/-2x-4y-4=0,即(x-l)2+(j-2)2=9,其圆

心4(1,2),半径R=3,

圆5：?+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(-1,-1),半径r=2,

圆心距则有3-2〈万<3+2,两圆相交，

则两圆有2条公切线，

故选：B.

【点评】本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的一般方程，属于基础题.

二.填空题(共4小题)

8.(2021春•铜仁市期末)已知直线A：X-，町+1=0,/2：2x-6y+5=0,且则，〃的

值为3.

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】由题意利用两条直行平行的性质，求得机的值.

【解答】解：,直线/i：x-my+\=0,/2：lx-6>'+5=0,且人〃/2,

/.A=_ZSL^JL,3,

2-65

故答案为：3.

【点评】本题主要考查两条直行平行的性质，属于基础题.

9.（2021春•宝山区期末）若点尸（3,4）和Q（-1,2）,则线段PQ的中垂线的斜率为

2.

【考点】直线的斜率.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.

【解答]解：办°=2±=1，

-1-32

，线段PQ的中垂线的斜率=-二一=-2,

kpQ

故答案为：-2.

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

10.（2021春•浦东新区校级期末）若直线-4=0（.m,neR）始终平分圆-4x

-2y=Q的周长，则mn的取值范围是（-8,1].

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用；直线与圆；数学运算.

【分析】由圆的方程求得圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程，可得〃?+〃=2,再由不等

式的性质求解的取值范围.

【解答】解：圆/+y2-4x-2y=0化为（x-2）2+（y-1）2=5,

可得圆心坐标为（2,1）,

,直线-4=0（m,nGR）始终平分圆W+）?-4x-2y=0的周长，

直线过圆心，则2"i+2〃=4,即M7+〃=2.

又"7,HGR,2=],即,〃〃的取值范围是（-8,i].

故答案为：（-8,1J.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查不等式性质的应用，是基础题.

11.（2021春•沙坪坝区校级期末）已知圆，+）2=4与圆（x-1）2+（厂2）2=5相交于人，

8两点，则直线A8的方程为x+2y-2=0.

【考点】相交弦所在直线的方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】将圆Ci与圆C2的方程作差即可得到直线AB的方程.

【解答】解：I•圆Cl：*2+y2=4①与圆C2：(x-1)2+(y-2)2=5②相交于A、B两点、,

，①-②得：2x+4y=4,

整理得：x+2y-2=0,

此即直线AB的方程，

故答案为：x+2y-2=0.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查运算能力，属于中档题.

三.解答题(共4小题)

12.(2021春•玉林期末)已知两直线A：2mx+(3-加)y+l=0,b：2x+2my+m=O.

(1)求和/2平行时的值；

(2)求和/2垂直时机的值.

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】(1)根据题意，由直线平行的判断方法可得关于根的方程，求出胆的值，排除

重合的情况即可得答案；

(2)根据题意，直线垂直的判断方法可得关于加的方程，求出〃?的值，即可得答案.

【解答】解：⑴因为

所以2〃?X2，*-(3-m)*2=0,

解得m=-3或相=1，

2

当加=1时，两条直线重合.

故

(2)因为/4/2,

所以2mX2+(3-/n)X2〃?=0,

解得m=0或m=5.

当h,/2垂直时，m=0m=5.

【点评】本题考查直线平行和垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题.

13.(2021春•贵阳期末)已知以点A(1,1)为圆心的圆与直线八：x+2y+2=0相切，过点

B(2,0)的动直线/与圆A相交于M、N两点.

（1）求圆A的方程；

（2）当阳2=4时，求直线/的方程.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】（1）利用点到直线的距离求解圆的半径，然后求解圆的方程.

（2）①当直线/的斜率不存在时，判断直线是否满足题意.②当直线/的斜率存在时，

设直线/的斜率为则直线米-y-2k=0,利用点到直线的距离，圆的半径，弦心距转

化求解直线的斜率，得到直线方程即可.

【解答】解：（1）由题意可知，点A到直线h的距离d」I；2-1+2.1

Vl2+22

因为圆A与直线/1相切，则圆A的半径r=d=jm

所以，圆A的标准方程为（x-1）2+（＞-1）2=5.

（2）①当直线/的斜率不存在时，

因为直线/的方程为x=2.所以圆心A到直线/的距离力=1.

由（1）知圆的半径为「小，所以|脚|=2^（粕）2-12=少

故x=2是符合题意的一条直线.

②当直线/的斜率存在时，

设直线/的斜率为％,则直线丘-y-2Z=0,

圆心A到直线/的距离句」产11,

Vk2+1

因为单（号）2==2,

所以（仪止）2+4=5,即（&+1）2=^+1,解得&=0,

Vk2+1

因此，直线/的方程为y=0,

综上所述，直线/的方程为x=2或y=0.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线方程的求法，考查点到直线的距离

公式的应用，是基础题.

14.（2021春•瑶海区月考）已知圆C的圆心在直线y=L,且过圆C上一点M（l,3）的

2

切线方程为y=3x.

(1)求圆C的方程；

(2)设过点M的直线/与圆交于另一点N,求SACMN的最大值及此时的直线/的方程.

【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】(1)由题意写出直径所在直线方程，求出圆心坐标和半径，即可写出圆C的方

程；

(2)要使SACMN最大，则N点满足CN所在直线与CM所在直线垂直，求出△CMN的

最大面积，再求出N的坐标，可得MN所在直线方程.

【解答】解：(1)由题意，过M点的直径所在直线方程为y-3=(x-1),

3

即x+3y-10=0.

'x+3y-10=0,

联立|,解得J'=4,...圆心坐标为(％2).

Y^-xIy=2

半径(4-1)2+(2-3)2=10,

.•.圆C的方程为(x-4)2+(厂2)2=10；

(2)/(1,3),要使SACMN最大，则N点满足CN所在直线与CM所在直线垂直，

;

此时SACMN的最大值为S=*xy3X'TI^Xsing。。=5

Vk=2二3=」，.'.CN所在直线方程为y-2=3(x-4),即y=3x-10,

CM4-13

联立9，得(x=3或产，

(x-4)2+(y-2)2=10ly=-lIy=5

即N的坐标为(3,-1)或(5,5),

当N(3,-1)时，的方程为即2x+y-5=0；

3+11-3

当N(5,5)时，的方程为竺§_±1,即x-2y+5=0.

5-35-1

综上，MN所在直线方程为2x+y-5=0或x-2y+5=0.

y

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力,

是中档题.

15.(2021春•渝中区校级期末)已知圆C：(x+1)?+(>-2)2=9,直线/：kx-y-k+3=

0.

(1)直线/一定经过哪一点；

(2)若直线/平分圆C,求人的值；

(3)若直线/与圆C相交于A,B,求弦长AB的最小值及此时直线的方程.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】(1)直接由直线系方程求得直线所过定点P的坐标；

(2)把圆心坐标代入直线方程即可求得《值；

(3)当直线/与PC所在直线垂直时，弦长最短，求得|PC|,再由垂径定理求解弦长的最

小值，求出PC所在直线的斜率，可得直线/的斜率，则直线/的方程可求.

【解答】解：(1)1：kx-y-k+3=0,即/(x-1)-y+3=0,

联立产上0，得I」

I-y+3=0Iy=3

直线/经过定点尸(1,3)；

(2)圆C：(x+1)2+(y-2)2=9的圆心C(-1,2),

•.•直线/平分圆C,，-k-2-Z+3=0,即a=』；

2

(3)直线/与圆C相交于A,B,直线/过圆内定点PG,3),

要使弦长A8最小，则直线/与PC垂直，

7|PC1=V(-l-l)2+(2-3)2=V5,

...弦长|4B|的最小值为2日元=4;

,3-2_1：.ki=-2,

kpc=i^qy=f

则此时直线/的方程为-2x-y+2+3=0,即2x+y-5=0.

【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理

求弦长，考查运算求解能力，是中档题.

考点卡片

1.排歹U、组合及简单计数问题

【知识点的知识】

1、排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；

②合理分类与准确分步；

③排列、组合混合问题先选后排；

④相邻问题捆绑处理；

⑤不相邻问题插空处理；

⑥定序问题除法处理；

⑦分排问题直排处理；

⑧“小集团”排列问题先整体后局部；

⑨构造模型；

⑩正难则反、等价转化.

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：•是按元素的性质分类，二是按时间

发生的过程进行分步.对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.

2、排列、组合问题几大解题方法：

（1）直接法；

（2）排除法；

（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之

后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”；

（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此

法主要解决“元素不相邻问题”；

（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般

元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即

采用“先特殊后一般”的解题原则；

（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

n「njr>,n

C

（7）平均法：若把加个不同元素平均分成及组，每组“个，共有；

（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；

（9）定位问题：从"个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在

内，并且都排在某r个指定位置则有Z二4二;；

（10）指定元素排列组合问题：

①从〃个不同元素中每次取出h个不同的元素作排列（或组合），规定某，•个元素都包含在

内.先C后4策略，排列组合C：C二：；

②从“个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某，个元素都不包含在

内.先c后A策略，排列C吁:：幺；；组合0吁）

③从〃个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都

只包含某r个元素中的s个元素.先C后A策略，排列组合

2.直线的倾斜角

【知识点的认识】

1.定义：当直线/与x轴相交时，取无轴作为基准，x轴正向与直线/向上方向之间所成的

2.范围：［0,n）（特别地：当直线/和x轴平行或重合时，规定直线/的倾斜角为0°）

3.意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度.

4.斜率与倾斜角的区别和联系

（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是［0,7T）,但并不是每条直线都有斜率.

②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向.

(2)联系：①当“W三时，Z=tana；当a=2L时，斜率不存在；

22

②根据正切函数％=tana的单调性：当ae|O,2L)时，&>0且tana随a的增大而增大，

2

当ae(-2L,ir)时，k<0且tana随a的增大而增大.

2

【命题方向】

直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，

是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中

多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题.

(1)直接根据直线斜率求倾斜角

例：直线心+y-1=0的倾斜角是()

430°2.60°C.1200£>.150°

分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.

解答：因为直线，-1=0的斜率为：-

直线的倾斜角为：a.

所以tana=-

a=120°

故选C.

点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用.

(2)通过条件转换求直线倾斜角

例：若直线经过A(0,1),B(3,4)两点，则直线的倾斜角为()

A.30°8.45°C.60°D.120°

分析：由直线经过A(0,1),B(3,4)两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线

A8的倾斜角.

解答：•.•直线经过4(0,I),B(3,4)两点，

...直线AB的斜率仁生1=1,

3-0

直线AB的倾斜角a=45°.

故选B.

点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理

地进行等价转化.

3.直线的斜率

【考点归纳】

1.定义：当直线倾斜角aW三时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母k

2

表示，BP左=lana.

2.斜率的求法

(1)定义:A=tana(awJL.)

2

⑵斜率公式：&=±l(x

X1

X2~12

3.斜率与倾斜角的区别和联系

(1)区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0,7T),但并不是每条直线都有斜率.

②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向.

(2)联系：

①当时，k=tana；当a=H■时，斜率不存在；

22

②根据正切函数人=tana的单调性：当a€[0,2L)时，上>0且随a的增大而增大，当a€

2

(―,n)时，％<0且随a的增大而增大.

2

【命题方向】

直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，

是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中

多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题.

常见题型：

(1)己知倾斜角范围求斜率的范围；

(2)已知斜率求倾斜角的问题.

(3)斜率在数形结合中的应用.

4.直线的一般式方程与直线的平行关系

【知识点的知识】

1、两条直线平行与垂直的判定

对于两条不重合的直线八、12,其斜率分别为内、k2,有：

(1)/1〃/2=内=心；(2)liU2=ki*k2=-1.

2、直线的一般式方程：

(1)一般式：Ar+8y+C=0,注意A、8不同时为0.直线一般式方程Ar+8)，+C=0(BW0)

化为斜截式方程y=-&-C,表示斜率为-A,y轴上截距为-©的直线.

BBB-B

(2)与直线/：Ar+B)，+C=0平行的直线，可设所求方程为心+力+。=0；与直线Ax+By+C

=0垂直的直线，可设所求方程为Bx-Ay+Ci=0.

(3)已知直线人,/2的方程分别是：/I：Aix+Biy+Ci=0(Ai,Bi不同时为0),/2：A2x+B2y+C2

=0(A2,B2不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别：

①/1_L/2<=>A1A2+B1B2=O;

②人〃/20Al82-A2B1=0,A1C2-A2B1WO；

③/1与12重合QA1B2-4231=0,41c2-A2B1=0；

@/i与/2相交04及-A1B1与0.

AiB<C,AiB(C1

如果A282c2不0时，则/1〃/2Q'=—L;/l与/2重合=」=」•=」•；l\与/2相交

A?B2c2A2B2C2

卜2^2

5.直线的一般式方程与直线的垂直关系

【知识点的知识】

1、两条直线平行与垂直的判定

对于两条不重合的直线/I、12,其斜率分别为内、kl,有：

(1)h〃120kl=ki；(2)11〃120kl・k2=-1.

2、直线的一般式方程：

(1)一般式：Ax+By+C=0,注意A、B不同时为0.直线一般式方程Ax+B)，+C=0(B#0)

化为斜截式方程y=-4-C,表示斜率为-A,)，轴上截距为-C的直线.

BBBB

(2)与直线/：At+By+C=0平行的直线，可设所求方程为4计为+。=0；与直线Ar+By+C

=0垂直的直线，可设所求方程为Bx-A)，+Ci=0.

(3)已知直线力，/2的方程分别是：/i：Aix+Biy+Ci=O(Ai,Bi不同时为0)，/2：Azx+B2)：+C2

=0(A2,32不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别：

①/1_L，2=A1A2+5182=0：

②/1〃/2=4历-4281=0,AIC2-A28I#0；

③h与12重合0A1B2-A2B]=0,A1C2-A2B1=0;

(4)/1与/2相交04历-A2B1W0.

A<B<C<AiB1C1

如果A2B2c2不0时，则/l〃/2='=—L;/1与/2重合=」=」-=」-;/1与/2相交

A?B2c2A2B2C2

卜2^2

6.恒过定点的直线

【概念】

如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线.这里面可以看出，

过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成.

【直线表达式】

假如有一定点A的坐标为（〃3〃），那么过该定点的直线的表达式为y=Z（x-M+〃

或者是x—tn.

【例题解析】

例：方程kx+y-3=0所确定的直线必经过的定点坐标是

解：方程质+k3=0所确定的直线必经过的定点坐标满足八二°,解得［x=°,故定

ly-3=oly=3

点坐标为（0,3）,

故答案为（0,3）.

这是个典型的考查本知识点的例题，所用的方法其实就是待定系数法，也可以说就是套

公式，正如前面所言，过A点的坐标的直线可以写成y=k（x-,〃）+〃，这里的根=0,〃=3,

所以必过（0,3）点.

【考点解析】

从上面的例题可以看出，这是一个比较简单的考点，所以请大家都要掌握，知道为什么

就过定点，过定点的直线怎么求.

7.圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定

长就是半径.

2.圆的标准方程：

(x-a)2+(y-b)2—i2(r>0),

其中圆心CCa,b),半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为，•的圆的方程为：

其中，圆心(a,b)是圆的定位条件，半径/•是圆的定形条件.

【解题思路点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是

求出。，从，•的值再代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下：

(1)根据题意设出圆的标准方程为(x-a)2+(y-h)2=/；

(2)根据已知条件，列出关于a,，，厂的方程组；

(3)求出a,4r的值，代入所设方程中即可.

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程.

【命题方向】

可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a,6,，•值的求解可能和直线

与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度.在解答题中，圆的标准

方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，

找出a,4/•的值或解得圆的一般方程再进行转化.

例1：圆心为(3,-2),且经过点(1,-3)的圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=5

分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程.

解答：设圆的标准方程为(x-3)2+(>2)2=网，

由圆M经过点(1,-3)得产=5,从而所求方程为(x-3)2+(y+2)2=5,

故答案为(x-3)~+(y+2)2=5

点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径.

例2：若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的

标准方程是()

A.(x-2)2+(y-1)2=1

B.(%-2)2+(>•+1)2=1

C.(x+2)2+(y-1)2=1

D.(x-3)2+(y-1)2=1

分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为(a,b),由已

知圆与直线4x-3），=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与6的关

系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即⑸等于半径1,由圆心在

第一象限可知人等于圆的半径，确定出6的值，把b的值代入求出的。与人的关系式中，求

出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可.

解答：设圆心坐标为（〃，b）（a>0,方>0）,

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=14a-3bl=「=b

5

化简得:|4°-3勿=5①，

又圆与x轴相切，可得|例=厂=1,解得6=1或6=-1（舍去），

把6=1代入①得：4“-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-▲•（舍去），

2

圆心坐标为（2,1）,

则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1.

故选:A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直

线的距离4等于圆的半径r,要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标

和半径写出圆的标准方程.

例3：圆』+y2+2y=l的半径为（）

A.1B.A/2C.2D.4

分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径.

解答：圆/+/+2y=l化为标准方程为，+（y+1）2=2,

故半径等于加，

故选用

点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题

的关键.

8.圆的切线方程

【知识点的认识】

圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切

点的直线垂直切线.

圆的切线方程的类型：

（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出

切线的斜率，继而求出直线方程

（2）过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有

一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程.

【实例解析】

例1：已知圆：（x-1）2+^=2,则过点（2,1）作该圆的切线方程为.

解：圆：（X-1）2+）2=2,的圆心为c（l,0）,半径

①当直线/经过点P（2,1）与x轴垂直时，方程为x=2,

•.•圆心到直线x=2的距离等于1井证,.♦.直线/与圆不相切，即x=2不符合题意；

②当直线/经过点P（2,1）与x轴不垂直时，设方程为厂1=左（x-2）,即fee-y+1-24

=0.

•.•直线/与圆：（X-1）2+9=2相切，

...圆心到直线I的距离等于半径，即d」k：『2k|=我,解之得％=一],

跖

因此直线/的方程为y